Questions du sujet
1. I.A – Écrire une séquence d’instructions permettant le calcul de $u_n$ pour $n$ donné (on ne cherchera pas à optimiser les calculs).} 2. I.B – Déterminer la constante $k$ telle que la suite $v$ définie par $\forall n : v_n = u_n + k$ vérifie la relation de récurrence $v_{n+1} = a v_n$.} 3. I.C – En déduire la valeur de $u_n$ en fonction de $u_0$ et de $n$.} 4. I.D – On appelle série ordinaire associée à la suite $u$ la fonction $S$ de la variable complexe $z$ qui est somme de la série entière de terme général $u_n z^n$. Autrement dit : \[ S(z) = \sum_{n=0}^{\infty} u_n z^n \] Déterminer la valeur $\rho$ du rayon de convergence de cette série (une discussion précise des cas particuliers est demandée). Quelle est la valeur minimale $\rho_S$ de ce rayon pour $a$ fixé ?} 5. I.E – On suppose $|z| < \rho_S$. Partir de la relation évidente : \[ \sum_{n=0}^{\infty} (u_{n+1} - a u_n - b) z^n = 0 \] et obtenir une équation ordinaire (non différentielle) vérifiée par $S(z)$. Résoudre cette équation et exprimer $S$ sous la forme : \[ S(z) = u_0 A + b B \] où $A$ et $B$ sont deux fractions rationnelles dépendant de $z$ et $a$.} 6. I.F - On appelle série exponentielle associée à la suite $u$ la série entière de la variable $z\in\mathbb{C}$ définie par : \[ G(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u_n}{n!} z^n \] Déterminer le rayon de convergence $\rho_G$ de cette série $G$. On pose : \[ G'(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u_{n+1}}{n!} z^n \] Montrer que $G'(z)$ a même rayon de convergence $\rho_G$ que $G(z)$ et que si $x$ est un réel avec $|x| < \rho_G$, $G'(x)$ est effectivement la dérivée de la fonction réelle $x \mapsto G(x)$.} 7. I.G - Partir de la relation évidente : \[ \sum_{n=0}^\infty (u_{n+1} - a u_n - b) \frac{x^n}{n!} = 0 \] et obtenir (par des transformations justifiées) une équation différentielle du premier ordre vérifiée par la fonction $G$. Résoudre cette équation en remarquant que (4) fournit aussi une condition initiale pour $G(x)$. Obtenir $G$ sous la forme \[ G(x) = u_0 C + b D \] où $C$ et $D$ dépendent de $x$ et $a$.} 8. I.H - En utilisant (6), retrouver l’expression de $u_n$ en fonction de $n$. Écrire une séquence d’instructions utilisant cette expression pour calculer $u_n$ pour chaque valeur donnée de $n$. Ce programme est-il plus rapide que celui du I.A ? Que peut-on faire pour obtenir un programme réellement plus rapide ?} 9. II.A - Réécrire (pour cette seule question) le système (7) en fonction de $a$, $b$, $\lambda$, $\mu$. Diagonaliser la matrice $M$ et exprimer $(u_n, v_n)$ sous la forme : \[ \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} = (\text{expression matricielle simple en } a, b, \lambda, \mu \text{ et } n) \begin{pmatrix} u_0 \\ v_0 \end{pmatrix} \] } 10. II.B - On revient à la notation en $a, b, c, d$ et, comme à la section I-D, on appelle séries ordinaires associées aux suites $u$ et $v$ les fonctions $S$ et $T$ de la variable complexe $z$ qui sont les sommes des séries entières de termes généraux $u_n z^n$ et $v_n z^n$. Autrement dit : \[ S(z) = \sum_{n=0}^\infty u_n z^n, \qquad T(z) = \sum_{n=0}^\infty v_n z^n \] On admet, dans la suite de cette partie, qu’il existe un réel $\rho > 0$ tel que les deux séries $S(z)$ et $T(z)$ sont convergentes pour $|z| < \rho$. Pour un tel $z$, partir des relations évidentes : \[ \sum_{n=0}^\infty (u_{n+1} - a u_n - b v_n) z^n = 0 \] et \[ \sum_{n=0}^\infty (v_{n+1} - c u_n - d v_n) z^n = 0 \] et obtenir un système de deux équations ordinaires (non différentielles) vérifiées par $S(z)$ et $T(z)$. Résoudre ce système et exprimer $S(z)$ et $T(z)$ sous la forme : \[ A u_0 + B v_0 \] où $A$ et $B$ sont deux fractions rationnelles en $z$ (chacune dépendant des coefficients $a, b, c, d$). Que peut-on dire des rayons de convergence de $S$ et $T$ ?} 11. II.C - On appelle séries exponentielles $G$, $H$ associées aux suites $u$ et $v$ les fonctions de la variable $x\in\mathbb{R}$ qui sont les sommes des séries entières ayant respectivement pour termes généraux $\frac{u_n}{n!} x^n$ et $\frac{v_n}{n!} x^n$. Autrement dit : \[ G(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{u_n}{n!} x^n \qquad\text{et}\qquad H(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{v_n}{n!} x^n \] Déterminer les rayons de convergence de ces deux séries.} 12. II.D - Procéder comme précédemment et obtenir (par des transformations justifiées) un système de deux équations différentielles permettant d’exprimer $G'$ et $H'$ en fonction de $G$ et $H$.} 13. II.E - En déduire que $G$ et $H$ sont solutions de la même équation différentielle linéaire du second ordre $(E)$ dont on exprimera les coefficients en fonction de $\lambda$ et $\mu$. À quelle condition les fonctions $G$ et $H$ forment-elles une base de l’espace des solutions de $(E)$ ?} 14. II.F - Résoudre les équations différentielles précédentes et obtenir $G(x)$ et $H(x)$ sous une forme simple mettant en évidence la dépendance par rapport aux conditions initiales.} 15. III.A - On suppose que $f$ est CDI$(\alpha)$. Démontrer que pour tout nombre complexe $p$ dont la partie réelle est strictement supérieure à $\alpha$, $\operatorname{Lap}(f)(p)$ est une intégrale convergente.} 16. III.B - On suppose que $f$ est de classe $C^1$ sur $[0,+\infty[$ et que $f$ est CDI$(\alpha)$. Démontrer que pour tout nombre complexe $p$ dont la partie réelle est strictement supérieure à $\alpha$, $\operatorname{Lap}(f')(p)$ est une intégrale convergente et calculer $\operatorname{Lap}(f')(p)$ en fonction de $\operatorname{Lap}(f)(p)$, de $p$ et de $f(0)$.} 17. III.C - Pour une suite $(u_n)$ quelconque de nombres réels, on rappelle que les séries $S$ et $G$ ont été définies respectivement dans les sections I.D et I.F par les formules : $S(z) = \sum_{n=0}^\infty u_n z^n$ et $G(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{u_n}{n!} z^n$. En admettant (pour cette seule question) que l’on puisse permuter série et intégrale et en admettant l’existence des intégrales rencontrées, effectuer les calculs reliant la transformée de Laplace de la fonction $t \mapsto G(t)$, $t > 0$ avec la série $S$. On obtiendra un résultat sous la forme : \[ \operatorname{Lap}(G)(p) = \text{expression simple en } S \text{ et } p \] lorsque $p$ est un nombre complexe dont la partie réelle est strictement positive.} 18. III.D – On souhaite appliquer la formule précédente aux séries $S$ et $G$ associées à la suite récurrente $u$ étudiée dans la Partie I. (par les formules (2) et (4)). Utiliser la linéarité de $\operatorname{Lap}$ et les résultats précédents pour transformer l’équation différentielle concernant $t \mapsto G(t)$ en une équation ordinaire concernant $S$. Vérifier que l’on retrouve l’expression déjà obtenue en I.E.} 19. IV.A.1) Établir l’encadrement : \[ \forall (u, v)\in\mathbb{R}^2, \quad -u^2-v^2 \leq 2uv \leq u^2+v^2. \] } 20. IV.A.2) Démontrer que, pour tout $n$, $\omega(n)$ n’est jamais nul. Obtenir, pour $n > 1$, un encadrement de la forme : \[ \alpha(n)\leq \frac{\omega(n+1)}{n^2\omega(n)}\leq \beta(n) \] où les quantités $\alpha(n)$ et $\beta(n)$ ont des limites finies quand $n\rightarrow\infty$.} 21. IV.B.1) En utilisant la formule (11), démontrer que $S(z)$ et $T(z)$ ont le même rayon de convergence. Quel est ce rayon de convergence commun (on pourra utiliser la section A.) ?} 22. IV.B.2) Démontrer que $G(z)$ et $H(z)$ ont le même rayon de convergence et qu’il est supérieur à $1/\max\{|a|,|d|\}$.} 23. IV.C – Soit $q$ la suite de terme général $q_n = \frac{u_n}{n v_n}$. Écrire la relation de récurrence existant entre $q_n$ et $q_{n+1}$. On obtiendra une fonction $z\mapsto \varphi_n(z)$ (dépendant du paramètre $n$) telle que : \[ q_{n+1} = \varphi_n(q_n) \quad\text{avec}\quad q_n = \frac{u_n}{n v_n}. \] } 24. IV.D – Écrire une séquence d’instructions permettant le calcul des valeurs successives de $q_n$ en fonction de la valeur initiale $q_1 = q_1$ entrée en paramètre et s’arrêtant lorsque la variation entre $q_{n+1}$ et $q_n$ devient inférieure à une précision donnée, $\varepsilon$.} 25. IV.E – Partir des relations évidentes : \[ \sum_{n=0}^\infty (u_{n+1} – a n u_n – b v_n)\, \frac{x^n}{n!} = 0 \] et \[ \sum_{n=0}^\infty (v_{n+1} – c u_n – d n v_n)\, \frac{x^n}{n!} = 0 \] et obtenir, dans un domaine que l’on précisera, un système différentiel du premier ordre vérifié par les fonctions $x\mapsto G(x)$, $x\mapsto H(x)$.} 26. IV.F – En déduire une équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par la fonction $G$. Faire de même pour $H$.} 27. IV.G – Démontrer que l’équation du deuxième ordre en $G$ possède une solution polynomiale non nulle si et seulement si $\frac{bc}{ad}$ est le carré d’un nombre entier.}FAQ
Maîtriser les suites récurrentes linéaires d’ordre 1 et 2, leur résolution explicite, les techniques de récurrence et d’initialisation, ainsi que la compréhension profonde des comportements asymptotiques, sont indispensables. Savoir manipuler les changements de variables et détecter les cas particuliers te permettra d’aborder sereinement ce type de thème classique au concours Centrale.
Les séries génératrices (ordinaires ou exponentielles) sont des outils extrêmement puissants : elles permettent de transformer des problèmes de suites en équations fonctionnelles ou différentielles, facilitant la résolution globale et l’analyse comportementale. On les retrouve fréquemment en probabilités, combinatoire et calcul formel, et leur étude croise souvent le programme d’algèbre et d’analyse en CPGE scientifique.
Commence toujours par identifier la nature de la série entière (ordinaire ou exponentielle), puis applique les critères classiques (racine, quotient) pour discuter le rayon de convergence. Il est fondamental de bien justifier chaque étape et d’illustrer avec les cas limites, notamment lorsque des paramètres (comme a, b, c, d) interviennent dans la suite. Un entraînement régulier sur des variantes te rendra beaucoup plus à l’aise le jour J. Astuce : débloque les corrigés sur Prépa Booster pour retrouver ces méthodes pas à pas !
Oui, dans ce sujet comme souvent au concours Centrale, les liens entre suites récurrentes et équations différentielles (EDO du premier ou du second ordre) t’obligent à manipuler la dérivation term à term, la résolution (variation de la constante, homogène/particulière), et à maîtriser les conditions initiales. Ces techniques croisent le programme d’analyse et demandent d’avoir du recul sur les méthodes, ce qui est valorisé par les correcteurs.
La transformée de Laplace intervient pour relier suites, séries et fonctions continues, notamment lorsqu’il est question d’étudier la convergence ou de résoudre des équations. Savoir calculer Lap(f), justifier l’échange série/intégrale et exploiter le lien entre génératrices ordinaires/exponentielles t’apportera des points précieux sur ces sujets. Prends le temps de t’entraîner car c’est une compétence transversale utile jusqu’en physique !
On attend de toi une compréhension claire des liens entre mathématiques discrètes et calcul effectif. Tu dois savoir écrire une séquence d’instructions fidèle à l’algorithme demandé, discuter la complexité, et éventuellement proposer des optimisations. C’est un vrai plus que de relier analyse théorique des suites et efficacité algorithmique, non seulement pour le concours mais aussi pour la suite de ta scolarité et ton avenir d’ingénieur. Pour aller plus loin, débloque les corrigés de Prépa Booster pour accéder à des programmes commentés et à un dashboard personnalisable !
De nombreux passages du sujet exigent de démontrer des majorations/minorations, obtenir des bornes, voire des équivalents, que ce soit sur les suites, les termes de séries ou les rayons de convergence. C’est un point clé de compréhension du comportement des objets mathématiques étudiés. Ces techniques sont évaluées sur toutes les épreuves, alors entraîne-toi en conditions concours et n’hésite pas à explorer les corrigés détaillés pour progresser !
Ils te donnent une vision claire des attendus du jury (rigueur, capacité à enchainer calculs et rédaction, esprit d’initiative face à l’inconnu), révèlent la récurrence de certains thèmes (récurrence, génératrices, analyse asymptotique, Laplace), et surtout te permettent de monter en compétence sur les points faibles fréquents des candidats. Pour une correction détaillée, des exercices corrigés associés, et un suivi sur mesure, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.