Questions du sujet
1. I.A – Soit $(I, f)$ et $(I, g)$ deux éléments conjugués de $\varepsilon$. Montrer que $f'(0) = g'(0)$.} 2. I.B – Soit $f$ une application de $[0, 1]$ dans lui-même telle que $( [0, 1], f )$ appar\-tienne à $\varepsilon$. 3. I.B.1) Montrer que $f’ (0) \in ]0, 1[$. 4. I.B.2) Montrer que la suite de fonctions $f^n$ converge simplement vers $0$ sur $[0, 1]$. 5. I.B.3) Montrer que cette convergence est uniforme.} 6. I.C – Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ une suite de réels strictement positifs. On suppose que la série de terme général $\ln \left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$ converge absolument et on pose, si $n \in \mathbb{N}$~: \[P_n = \prod_{k=0}^n u_k\] En considérant la série de terme général $\ln \left(\frac{P_{n+1}}{P_n}\right)$, montrer que la suite $(P_n)$ converge vers un réel strictement positif.} 7. I.D – Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $(\varphi_n)_{n\geq 0}$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb{R}_{+}^*$. On suppose que la série de fonctions de terme général $\ln(\varphi_n)$ converge normalement sur $I$. On pose, si $n \in \mathbb{N}$~:\[Q_n = \prod_{k=0}^n \varphi_k\] Montrer que la suite de fonctions $(Q_n)$ converge uniformément sur $I$ vers une fonction à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$.} 8. II.A – Si $u_n(x) = \lambda^n x$, calculer $h_\lambda(u_n(x))$.} 9. II.B – 10. II.B.1) Montrer qu’il existe $\epsilon > 0$ tel que $\lambda + \epsilon < 1$ et $f(x) \leq (\lambda + \epsilon)x$ pour tout $x$. 11. II.B.2) Montrer qu’il existe $a \in ]0, 1[$ tel que $f([0, a]) \subset [0, a]$.} 12. II.C - 13. II.C.1) Montrer qu’il existe $C \geq 0$ tel que \[\forall x\in [0,1],~ |f(x)-\lambda x| \leq Cx^2\] 14. II.C.2) Montrer qu’il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que \[\forall n \geq n_0,~\forall x \in [0,1],~ f^n(x) \in [0, a]\] 15. II.C.3) Pour $n\geq n_0$ et $x \in [0,1]$, majorer $|u_{n+1}(x) - u_n(x)|$ et prouver que la suite de fonctions $(u_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$. Sa limite sera notée $u$.} 16. II.D - 17. II.D.1) Montrer que la série de fonctions de terme général $\frac{u_{n+1}'}{u_n'}-1$ converge normalement sur $[0,1]$. 18. II.D.2) En déduire que $u$ est un $C^1$-difféomorphisme de $[0, 1]$ sur son image.} 19. II.E - Conclure que $([0,1], f)$ et $([0,1], u^{-1}\circ f u)$ sont conjugués.} 20. III.A.1) Pour $q \in \mathbb{N}^*$, soit la fonction $\theta_q$ définie sur $[0,1]$ par : \[\theta_q(x) = x + x^{q+1}\] Montrer que $( [0,1], \theta_q )$ est dans $\varepsilon_1^*$. Préciser $\nu(\theta_q)$.} 21. III.A.2) 22. III.A.2.a) Vérifier que $a_f$ est strictement positif. 23. III.A.2.b) Si $g$ appartient à $\varepsilon_1^*$ et est conjugué à $f$, vérifier que $a_g$ est aussi dans $\mathbb{R}_+^*$ avec $a_g=a_f$.} 24. III.A.3) Dans ce III.A.3, on suppose qu’il existe $k \in \mathbb{N}$ et $b \in \mathbb{R}^*$ tels que pour $x\to0$, $f(x)=x+a x^{q+1} - b x^{q+k} + o(x^{q+k})$. Soit $\beta$ un nombre réel et la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par \[h(x) = x + \beta x^k\]. 25. III.A.3.a) Montrer qu’il existe $r, r' \in \mathbb{R}_+^*$ tels que $h$ induise un $C^1$-difféomorphisme de $[0, r]$ sur $[0, r']$. 26. III.A.3.b) Établir~: pour $y \to 0$, $h^{-1}(y) = y - \beta y^k + o(y^k)$.} 27. III.A.3.c) Déterminer les développements limités à l’ordre $q+k$ en $0$ de $h \circ f \circ h^{-1}$ puis de $g$.} 28. III.A.4) De ce qui précède déduire l’existence d’un réel $E$ et d’un couple $( [0,1], g )$ de $\varepsilon_1^*$ conjugué à $( [0,1], f )$ tels que~: pour $y \to 0$, $g(y) = y + y^{q+1} - \frac{E}{q} y^{2q+1} + o(y^{2q+1})$.} 29. III.B.1) a) Identifier $T_q$. 30. III.B.1) b) Quelles propriétés de $G$ déduit-on des propriétés ii) et iii) du début de l’énoncé ? 31. III.B.1) c) Déterminer un nombre réel $R$ tel que : pour $x \to +\infty$, $G(x) = x + \frac{1}{q} + O(\frac{1}{x})$.} 32. III.B.2) a) Montrer qu’il existe un entier naturel $n_0$ tel que~: pour tout $n \geq n_0$, pour tout $x \in [1+1/q, +\infty[$, $G^{n}(x) \geq x + n/2q$.\\ Pour tout entier naturel $n \geq n_0$ et tout réel $x \geq 1$, on pose $u_n(x) = G^n(x) - n/q$.} 33. III.B.2) b) Montrer qu’il existe $C > 0$ tel que pour tout $n \geq n_0$, pour tout $x \in [1+1/q, +\infty[$, $|u_{n+1}(x) – u_n(x)| \leq C/n$.} 34. III.B.2) c) Pour tout entier naturel strictement positif $n$ et réel $x\geq1$, on pose $v_n(x) = u_n(x) – R \ln n$, où $R$ est la constante définie au III.B.1-c). Démontrer, en procédant comme au II.C.3), que la suite de fonctions $(v_n)$ converge vers une fonction $v$ et que cette convergence est uniforme sur tout segment inclus dans $[1+1/q, +\infty[$.} 35. III.B.2) d) Si $x\geq1$, vérifier que $v(Gx) = v(x)+1$.} 36. III.B.3) a) Montrer que pour $x\to+\infty$, $G'(x) = 1 + O(1/x^2)$.} 37. III.B.3) b) Montrer que $v \in C^1([1+1/q, +\infty[)$ et, en procédant comme en II.D.1), prouver que $v$ est un $C^1$-difféomorphisme de $[1+1/q, +\infty[$ sur son image.} 38. III.B.4) a) Montrer que $\lim_{x\to + \infty} v(x) = +\infty$.} 39. III.B.4) b) Conclure, si $f$ est une fonction de $[0, 1]$ dans lui-même telle que $( [0, 1], f )$ soit dans $\varepsilon_1^*$ et $\nu(f) = q$, que $( [0, 1], f )$ est conjugué à $( [0, 1], \theta_q )$.} 40. III.C.1) a) Utiliser ce qui précède pour montrer que $(w_n)$ admet un équivalent du type $\frac{a}{n^\alpha}$ avec $a$ et $\alpha$ réels. Déterminer $a$ et $\alpha$.} 41. III.C.1) b) Montrer qu’il existe des nombres réels $b$ et $c$ tels que : \[w_n = \frac{a}{n^\alpha} + \frac{b}{n^{3\alpha}} + \frac{c \ln n}{n^{5\alpha}} + O\left(\frac{1}{n^{5\alpha}}\right).\]} 42. III.C.2) Établir un programme permettant de calculer $w_n$ (on utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel).}FAQ
Ce sujet de mathématiques du concours Centrale PC 2004 aborde la conjugaison de fonctions, l’étude des suites et des séries (notamment de produits et de logarithmes), la convergence simple et uniforme de suites de fonctions, les difféomorphismes, les développements limités, ainsi que certaines propriétés de fonctions comme la régularité (C^1), les équivalents de suites, et des problématiques de récurrence sur les suites de fonctions. On y retrouve aussi des applications autour des théorèmes d’analyse, particulièrement ceux liés à la convergence et aux changements de variables.
Pour réviser la convergence simple et la convergence uniforme, je te conseille de bien revoir leurs définitions, de savoir distinguer les deux à partir d’exemples classiques, et de t’entraîner à prouver l’une ou l’autre sur des suites de fonctions. Pense aussi à observer l’impact sur la continuité de la limite (le fameux théorème de convergence uniforme). Les exercices similaires à ceux du concours, disponibles en déblocant les corrigés sur Prépa Booster, te permettront de t’entraîner dans le même esprit que cette épreuve.
La conjugaison de fonctions permet de classifier les comportements locaux des applications, en simplifiant l’étude dynamique autour d’un point (souvent 0 ou un point fixe). Cela intervient dans la résolution d’équations fonctionnelles, l’étude locale des suites récurrentes, et même en dynamique (réduction à une forme normale pour analyser une itération). Savoir manipuler cette notion donne un vrai avantage dans de nombreux sujets de concours, notamment pour Centralienne où l’abstraction via les changements de variables est fréquente.
Pour les développements limités d’ordre supérieur, il faut d’abord maîtriser ceux d’ordre 1 ou 2 (Taylor, Maclaurin), et ensuite savoir les combiner par composition, inversion ou multiplication. Ce type de calcul se retrouve souvent sous des questions sur le comportement asymptotique ou les changements de variables. Astuce : chaque étape doit être détaillée avec soin pour éviter les erreurs sur les petits o et les coefficients ! Si tu veux t’entraîner, les corrigés de Prépa Booster proposent des corrections détaillées pour ce genre de manip.
Pour ces séries (logarithmes, produits de suites positives, convergence normale), pense immédiatement à la convergence absolue, à l’utilisation du critère majeurant, et à la traduction série ↔ produit (via le logarithme, notamment : ln(prod) = somme(ln)). La convergence normale, elle, s’analyse comme une convergence uniforme appliquée aux séries de fonctions. Se souvenir que la convergence normale assure beaucoup de bonnes propriétés (continuité, intégrabilité terme à terme). Ces subtilités sont illustrées en détail dans les exercices corrigés accessibles en débloquant les corrigés sur Prépa Booster.
L’étude des suites de fonctions (notamment les itérées et leurs limites) dans ce sujet amène naturellement à la notion de difféomorphisme, car on cherche à prouver qu’une fonction limite est bijective, régulière, et a une réciproque aussi régulière. Cela permet notamment de ramener des problèmes complexes à des cas plus standards par conjugaison. La manipulation correcte du C^1-difféomorphisme est un atout pour bien aborder les sujets d’analyse au concours.
Les équivalents de suites servent à caractériser précisément le comportement asymptotique quand n devient grand. Pour les trouver, utilise les outils comme les développements limités et l’analyse fine des récurrences, puis adapte ta manipulation en fonction du contexte (suites arithmétiques, géométriques, suites définies par récurrence complexe…). Savoir justifier rigoureusement chaque étape est essentiel ! Si tu sens que tu veux pousser la technique, retrouve des exemples détaillés dans les corrigés complets accessibles sur Prépa Booster.
Entraîne-toi en conditions réelles, avec un timing strict, sur les annales et en t’imposant de rédiger au propre (pas seulement brouillon). Identifie les points classiques (convergence, conjuguaison, DL…) et entraîne-toi à décomposer les raisonnements. Utiliser les corrigés détaillés et les dashboards personnalisés de Prépa Booster t’aidera à cibler tes lacunes et à progresser sur mesure, bien au-delà d’un bachotage classique.