Questions du sujet
1. I.A.1) Écrire la matrice de $M_n$ dans la base $(1, X, …, X^n)$ de $\mathbb{C}_n[X]$. 2. I.A.2) Vérifier que $M_n$ est inversible ; expliciter $M_n^{-1}$. 3. I.B.1) Montrer que $(H_i)_{i \in \mathbb{N}}$ est une base de $\mathbb{C}_n[X]$. 4. I.B.2) Si $j \in \mathbb{Z}$ et $i \in \mathbb{N}^*$, donner une expression simple de $H_i(j)$ montrant que $H_i(j)$ est dans $\mathbb{Z}$. On distinguera les trois cas : $j<0$, $0 \le j \le i-1$, $j \ge i$. 5. I.C.1) Vérifier l’égalité suivante : \[ M_n \begin{pmatrix} P(0) \\ \vdots \\ P(n) \end{pmatrix} = M_n^t \begin{pmatrix} a_0 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \] où $M_n^t$ est la transposée de la matrice $M_n$. } 6. I.C.2) Établir : \[ \forall i \in \{0,\ldots, n\} \qquad a_i = \sum_{j=0}^i (-1)^{i-j} \binom{i}{j} P(j) \] Si $i \geq n+1$, que vaut $a_i$ ? 7. I.C.3) Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes : a) $\forall i \in \{0,\ldots,n\} ~:~ P(i) \in \mathbb{Z}$ b) $\forall i \in \{0,\ldots,n\} ~:~ a_i \in \mathbb{Z}$ c) $P \in \mathbb{Z}[X]$. En particulier, les polynômes de $\mathbb{C}[X]$ tels que $P(\mathbb{N}) \subset \mathbb{Z}$ sont les combinaisons linéaires à coefficients dans $\mathbb{Z}$ des polynômes de Hilbert. 8. I.D) Soit $(u_j)_{j \in \mathbb{N}}$ une suite complexe. Démontrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes : a) il existe $P \in \mathbb{C}_n[X]$ tel que : $\forall j \in \mathbb{N},~u_j = P(j)$ \\ b) $\forall i \in \mathbb{N},~i \ge n+1~\Longrightarrow~\sum_{j=0}^i (-1)^{i-j} \binom{i}{j} u_j = 0$ 9. II.A.1) Si $p \in \mathbb{N}$, prouver : \[ a_p = \frac{1}{2\pi r^p} \int_{-\pi}^{\pi} f(re^{it}) e^{-ipt} dt \] 10. II.A.2) Montrer : \[ f(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{f(re^{it})}{re^{it} - \omega}dt \] } 11. II.B.1) Justifier la définition de $M_f(r) = \max \{|f(z)|, z \in C_r\}$. 12. II.B.2) Montrer : $|f(\omega)| \leq M_f(r)$. 13. II.B.3) Montrer : $M_f(r) \leq M_f(R)$. 14. II.C.1) Si $f \in \mathcal{E}_R$, montrer la convergence de la série de terme général $a_n \omega^{n-1-j}$ pour $|\omega| < R$. On pose~: $b_j = \sum_{n=j+1}^{+\infty} a_n \omega^{n-1-j}$. 15. II.C.2) Montrer que, lorsque $j \to +\infty$, $b_j = O\left(\frac{1}{r^j}\right)$.} 16. II.C.3) Montrer que le rayon de convergence de la série entière est supérieur ou égal à $R$. Pour $z$ dans $D_R$, on pose $g(z) = \sum_{j=0}^{+\infty} b_j z^j$. Vérifier~: $\forall z \in D_R$, $(z-\omega)g(z) = f(z) - f(\omega)$. 17. II.D.1) On suppose que $f \in \mathcal{E}_R$, que $f$ s’annule en $p$ points distincts $z_1,...,z_p$ de $D_R \setminus \{0\}$. Montrer qu’il existe $F \in \mathcal{E}_R$ telle que : $\forall z \in D_R$, $F(z) = \prod_{j=1}^p (z-z_j) f(z)$. 18. II.D.2) Si $j \in \{1,\ldots,p\}$, que vaut $F(z_j)$ ? 19. II.D.3) En appliquant II.B.3 à $F$ au point $z=0$, montrer : \[ \prod_{j=1}^p |z_j| \cdot |f(0)| \leq r^p M_f(r) \] 20. II.D.4) On suppose $f(0) \neq 0$ où $\rho = \min_{j \in \{1,...,p\}} |z_j|$. Prouver : \[ \rho^p |f(0)| \leq r^p M_f(r) \] } 21. II.E) On suppose que $f \in \mathcal{E}_\infty$ , $f(0) \neq 0$ , $f$ est nulle sur $\mathbb{N}$ et que lorsque $r \to +\infty$, $M_f(r) = O(c^r)$ avec $c \in ]0,e[$. Montrer que $f = 0$. 22. III.A.1) Soient $z_1, ..., z_n$ dans $\mathbb{C}$ et un réel $r > r_n = \max(|z_1|, …, |z_n|)$. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle : \[ \frac{r^n}{(X-z_1)…(X-z_n)}. \] 23. III.A.2) À l’aide de II.A.2, prouver : \[ F_n = \frac{n!}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{f(re^{it})}{(re^{it}-z_1)…(re^{it}-z_n)}dt = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} f^{(k)}(0) \] 24. III.A.3) Montrer : \[ |F_n| \leq n! M_f(r) \frac{r(r-1)…(r-n+1)}{(r-z_1)…(r-z_n)}. \] 25. III.B.1) En appliquant III.A.3 à $z_1=…=z_n=2$ au point $r=2n+1$, prouver qu’il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N$, $\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} f^{(k)}(0)=0$.} 26. III.B.2) À l’aide de I.D) et II.E), prouver le résultat désiré.}FAQ
Le sujet explore la représentation matricielle d’opérateurs sur les espaces de polynômes, en particulier les matrices de passage dans des bases spécifiques (monomiale et base de polynômes de Hilbert). Il teste ta compréhension de l’inversibilité des matrices, du changement de base, et des liens entre valeurs des polynômes en des points entiers et coefficients dans différentes bases. Ces compétences sont fondamentales en algèbre linéaire, et seront utiles tout au long de ta prépa !
Le sujet introduit les polynômes de Hilbert, connus pour leur capacité à interpoler les suites et à relier directement les valeurs d’un polynôme en des entiers à ses coefficients. Il t’amène à explorer les expressions symétriques, les calculs autour des combinaisons binomiales et la caractérisation des polynômes à valeurs entières. C’est l’occasion de maitriser ces notions qui reviennent souvent dans les exercices de concours.
À travers des questions portant sur le rayon de convergence, les majorations sur des cercles, la croissance des coefficients et la notion d’extremum sur un disque, ce sujet te plonge dans l’analyse complexe classique. Il insiste sur le lien entre propriétés analytiques globales (comme la croissance sur les cercles) et comportement des séries entières, point central pour la maîtrise des fonctions holomorphes en vue des oraux et écrits de concours.
Parce qu’elle permet d’attaquer efficacement tout problème d’intégration, de calcul de résidus ou d’inversion de transformées. Dans ce sujet, tu la retrouves dans la manipulation de fractions rationnelles pour exploiter les propriétés des fonctions analytiques et relier les résultats à des séries de Taylor ou à des polynômes interpolateurs. C’est une technique indispensable pour beaucoup de questions d’analyse de concours.
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