Questions du sujet
1. A – Soit $h \in C, h \neq 0$. Justifier l’égalité $C = \text{Vect}(h) \oplus \text{Vect}(h)^\perp$ et montrer soigneusement que $(\text{Vect}(h))^\perp = \text{Vect}(h)^\perp$. On note $\Pi_h$ le projecteur orthogonal sur $\text{Vect}(h)^\perp$. Démontrer que, pour $f \in C$ : $\Pi_h(f) = f – \dfrac{\langle f,h \rangle}{\lVert h \rVert^2}h$. 2. B – Montrer que l’application $\xi \mapsto \xi”$ est un isomorphisme de $A$ sur $H$ dont l’isomorphisme réciproque est défini par $z \mapsto t \mapsto \displaystyle{\int_{0}^{t}(t-s)z(s)ds}$. 3. I.A – Démontrer que $\left(e_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ est une famille orthonormale de $C$. 4. I.B.1) Donner, sans démonstration, quelques éléments de symétrie du graphe de $f$. Montrer que $f$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$. À quelle condition est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? 5. I.B.2) Expliciter, pour $k\in\mathbb{N}$, $a_{2k+1}(\tilde{f})$ en fonction de $\langle f, e_k \rangle$. Calculer les autres coefficients de Fourier de $\tilde{f}$.} 6. I.B.3) Montrer, en citant précisément les théorèmes utilisés, que, si $f\in C$, alors : $\lVert f \rVert^2 = \sum_{k=0}^{\infty} |\langle f, e_k \rangle|^2$, et $\lim_{n\to\infty} \lVert f – \sum_{k=0}^{n} \langle f, e_k \rangle e_k \rVert = 0$. 7. I.B.4) Montrer de même que, si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$ et si $f(1) = 0$, alors, pour tout $t \in [0,1]$,\newline $f(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \langle f, e_k \rangle e_k(t)$. La série de fonctions du second membre converge-t-elle uniformément sur $[0,1]$~? 8. I.B.5) En appliquant les résultats des deux questions précédentes aux fonctions $u$ et $u’$, prouver les relations~:\newline $u(t) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{\omega_k^2}\sin(\omega_k t)$\newline $1 = \sum_{k=0}^\infty \frac{2}{\omega_k^2}$\newline et, pour $\omega \in \Omega$, $\tan\omega = 2\omega/(\omega^2 – 2)$. 9. I.B.6) On note $\varphi$ la fonction définie, pour $\omega \in \Omega$, par~: $\varphi(\omega) = \frac{1}{2\omega}\left[\omega – \tan\omega\right]$. Démontrer que, pour tout~: $\omega \in \Omega$, $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\omega_k^2 – \omega^2} = \varphi(\omega)$. 10. I.C.1) Montrer que, pour $n \geq 2$, $\varphi_n$ a une unique racine dans l’intervalle $]\omega_0, \omega_1[$. On note $\mu_n$ la plus petite de ces racines, c’est-à-dire la racine de $\varphi_n$ appartenant à l’intervalle $]\omega_0, \omega_1[$.} 11. I.C.2) Comparer $\varphi$ et $\varphi_n$ sur $]\omega_0,\omega_1[$. En déduire que la suite $(\mu_n)_{n\geq 2}$ converge en décroissant vers une limite $\mu$. 12. I.C.3) Montrer que la suite $(\varphi_n)_{n\geq 2}$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $]\omega_0,\omega_1[$. En conclure que $\varphi$ est différent de $0$ et que $\mu$ est l’unique racine de $\varphi$ dans l’intervalle $]\omega_0,\omega_1[$. Calculer une valeur approchée de $\mu$ à $10^{-6}$ près en justifiant l’algorithme utilisé. 13. II.A.1) Montrer que $y$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $[0,1]$ et vérifie les relations suivantes : $y” = -z$, $y(1) = 0$, $y'(0) = 0$. 14. II.A.2) Prouver que $T$ est un endomorphisme de $C$ et que, si $z_1$ et $z_2$ appartiennent à $C$, $\langle Tz_1, z_2\rangle = \langle z_1, Tz_2\rangle$. 15. II.A.3) Montrer que $e_k$ est un vecteur propre de $T$ pour une valeur propre à préciser en fonction de $\omega_k$. Déduire de la question I.B.3 que, pour tout $z\in C$ : $\lVert Tz \rVert^2 \leq \frac{4}{\pi^2} \lVert z \rVert^2$, et donner un cas d’égalité avec $z = e_0$.} 16. II.B.1) Montrer que $H_n = \text{Vect}(e_0, e_1, \dots, e_n) \cap \text{Vect}(u_n)^\perp = \{z \in \text{Vect}(e_0, e_1, \dots, e_n)~|~\langle z, u_n \rangle = 0\}$. Calculer les coordonnées de $u_n$ dans la base $(e_0, e_1, \dots, e_n)$ et préciser la dimension de $H_n$. 17. II.B.2) Montrer que $H_n$ est stable par l’endomorphisme $T_n$. On note $T_n$ l’endomorphisme de $H_n$ induit par $T$, c’est-à-dire tel que : $\forall z\in H_n,~T_n(z) = T(z)$. Démontrer que, pour tout couple de vecteurs $z_1, z_2 \in H_n$ : $\langle T_n z_1, z_2 \rangle = \langle z_1, T_n z_2 \rangle$. En déduire que $T_n$ est diagonalisable. 18. II.B.3) Calcul des valeurs propres de $T_n$. Soit $z \in \text{Vect}(e_0, …, e_n)$, déterminer, par ses coordonnées dans la base $(e_0, …, e_n)$, l’unique vecteur $z \in \text{Vect}(e_0, …, e_n)$ tel que~: $Tz = \lambda z$ et $\langle z, u_n \rangle = 0$. À quelle condition sur $\lambda$, $z$ appartient-il à $H_n$~? En déduire que les valeurs propres de $T_n$ sont les réels de la forme $1/\omega^2$ où $\omega$ est un zéro de la fonction $\varphi_n$ définie à la question I.C. 19. II.B.4) Montrer que, pour tout $z \in H_n$ : $\langle Tz, z \rangle \leq \frac{1}{\mu_n}\langle z, z \rangle$ ($\mu_n$ a été défini à la question I.C.1). 20. II.C.1) Soit $z_n$ la projection orthogonale de $z$ sur $H_n$. Montrer que : $z_n = \sum_{k=0}^n \langle z, e_k \rangle e_k$, $z_n \in H_n$, $z_n \to z$ lorsque $n\to\infty$, $T(z_n) \to T(z)$ lorsque $n\to\infty$. En déduire que $\langle Tz, z \rangle \leq \frac{1}{\mu} \langle z, z \rangle$.} 21. II.C.2) Montrer que si $\mu$ est un réel tel que, pour tout $z\in C^2$, $\langle Tz, z \rangle \leq \frac{1}{\mu} \lVert z \rVert^2$, alors $\frac{1}{\mu} \leq \frac{1}{\mu}$. 22. II.D – Soit $\xi\in A$. Montrer que $\lVert \xi’ \rVert^2 \leq \frac{1}{\mu} \lVert \xi” \rVert^2$ et conclure.}FAQ
Pour ce sujet du concours Centrale PC 2002, tu dois parfaitement connaître la décomposition d’un espace vectoriel en somme directe, les notions de projecteur orthogonal, et la définition du complément orthogonal. Il est également essentiel de savoir utiliser le produit scalaire dans un espace de fonctions et de bien manipuler l’écriture explicite d’un projecteur orthogonal sur un sous-espace. Ces notions sont des incontournables des sujets de concours et réapparaissent très souvent aux écrits.
Les séries de Fourier permettent de décomposer une fonction en une somme (potentiellement infinie) de fonctions sinusoïdales orthogonales. En prépa PC, tu dois savoir calculer les coefficients de Fourier, connaître leurs propriétés de convergence (normale ou ponctuelle), et comprendre comment exploiter les bases orthonormées de fonctions (typiquement les sinus ou cosinus) pour résoudre des équations fonctionnelles ou différentielle. Cette théorie est pratiquement toujours utilisée dans les sujets de concours, car elle relie de façon très naturelle analyse, algèbre et applications physiques. Pour approfondir, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster : tu trouveras des exercices intégralement corrigés, étape par étape.
Un endomorphisme autoadjoint (ou auto-adjoint) dans un espace préhilbertien réel ou complexe vérifie la relation ⟨Tu, v⟩ = ⟨u, Tv⟩ pour tous vecteurs u, v. En pratique, cela permet la diagonalisabilité et l’existence de bases orthonormées de vecteurs propres. Ces endomorphismes apparaissent typiquement dans l’étude d’opérateurs différentiels (comme dans ce sujet, avec T et T_n), ou quand il s’agit de maximiser des quotients impliquant des produits scalaires. Repère-les quand on te demande de montrer une telle relation ou que le sujet évoque la stabilité d’un sous-espace sous l’action d’un opérateur. Sur le dashboard Prépa Booster, tu trouveras des fiches méthodes dédiées à cette notion indispensable.
Les fonctions propres et valeurs propres fournissent une base adaptée (souvent orthonormée) dans laquelle l’opérateur devient diagonal (plus simple à manipuler), ce qui permet d’étudier efficacement les équations différentielles ou les processus de minimisation de formes quadratiques. En concours, cela sert souvent à exhiber des solutions explicites ou à établir des majorations/minorations uniques (inégalités de Rayleigh, etc). Dans ce sujet, toute la partie II en est un bel exemple, avec la recherche des valeurs propres et l’étude de leur convergence. Les corrigés complets sur Prépa Booster t’aident à t’exercer spécifiquement sur ce type de questions.
Les espaces de Hilbert généralisent ton intuition sur les espaces euclidiens à des espaces de fonctions, en conservant toutes les propriétés du produit scalaire (orthogonalité, projections, etc.). Les questions de convergence forte, uniforme ou dans la norme proviennent directement de cette structure. Cela te permet de justifier la décomposition de toute fonction en série orthogonale et d’utiliser des outils puissants pour démontrer l’existence ou l’unicité de solutions. Savoir jongler avec ces notions, c’est t’assurer de la maîtrise attendue en maths des concours.
Il est essentiel d’être à l’aise avec la caractérisation d’un projecteur orthogonal, la détermination explicite de l’application projetée, la compréhension des propriétés de linéarité et la capacité à calculer le projeté d’une fonction sur un sous-espace donné (en particulier de dimension 1 ou finie). Ces compétences reviennent à la fois en analyse et en algèbre linéaire dans tous les concours scientifiques.
Les théorèmes de Bessel et de Parseval sont centraux pour justifier les égalités entre la norme L2 d’une fonction et la somme des carrés de ses coefficients de Fourier. Ils sont fréquemment mobilisés dans les sujets d’écrits pour valider des calculs ou démonstrations liées à la convergence des séries. Sur Prépa Booster, tu peux débloquer des corrigés d’épreuves antérieures et des exercices inédits avec corrections détaillées sur ces points précis.
En concours, fais bien attention à identifier la plus grande et la plus petite valeur propre selon le contexte (maximum ou minimum de Rayleigh) et à vérifier les hypothèses sur la régularité des fonctions et les espaces considérés. Les démonstrations doivent s’appuyer sur une formulation rigoureuse des inégalités et de la manipulation des suites de valeurs propres. En général, on attend de toi des arguments sur la convergence, la minoration ou majoration des quotients associés et le lien explicite avec la norme. Ces notions sont abordées pas à pas dans les corrigés Prépa Booster.
Lorsque tu travailles sur des espaces de fonctions, la convergence de suites (ou séries) de fonctions propres vers la solution d’un problème dépend du mode de convergence : forte (dans la norme) ou uniforme. Il est crucial de distinguer les cas où la convergence uniforme est assurée (régularité supplémentaires, type de série, etc.) ou non. Souvent, la convergence forte est un préalable pour valider le passage à la limite dans les égalités fonctionnelles. C’est un détail technique souvent exigé aux écrits.
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