Questions du sujet
1. Vérifier que $\delta$ est un élément neutre pour la loi $\ast$. 2. Justifier que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $$(f \ast g)(n) = \sum_{(d_1,d_2)\in\mathcal{C}_n} f(d_1)g(d_2).$$ 3. En déduire que $\ast$ est commutative. 4. De même, en exploitant l’ensemble $\mathcal{C}’_n = \{(d_1, d_2, d_3) \in (\mathbb{N}^*)^3 ~|~ d_1 d_2 d_3 = n\}$, montrer que $\ast$ est associative. 5. Que peut-on dire de $(\mathcal{A}, +, \ast)$ ?} 6. Soient $f$ et $g$ deux fonctions multiplicatives. Montrer que si $$\forall p \in \mathcal{P},\ \forall k \in \mathbb{N}^*\ ,\ f(p^k) = g(p^k),$$ alors $f = g$. 7. Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Montrer que l’application $$\pi : \begin{cases} \mathcal{D}_n \times \mathcal{D}_m \to \mathcal{D}_{mn}\\ (d_1, d_2) \mapsto d_1 d_2 \end{cases} $$ est bien définie et réalise une bijection entre $\mathcal{D}_n \times \mathcal{D}_m$ et $\mathcal{D}_{mn}$. 8. En déduire que si $f$ et $g$ sont deux fonctions multiplicatives, alors $f \ast g$ est encore multiplicative. 9. Soit $f$ une fonction multiplicative. Montrer qu’il existe une fonction multiplicative $g$ telle que, pour tout $p \in \mathcal{P}$ et tout $k \in \mathbb{N}^*$, $$g(p^k) = – \sum_{i=1}^k f(p^i) g(p^{k-i})$$ et qu’elle vérifie $f \ast g = \delta$. 10. Que dire de l’ensemble $\mathcal{M}$ muni de la loi $\ast$ ?} 11. Montrer que $\mu$ est multiplicative. 12. Montrer que $\mu \ast \mathbf{1} = \delta$. 13. Soit $f \in \mathcal{A}$, et soit $F \in \mathcal{A}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $F(n) = \sum_{d|n} f(d)$. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $$f(n) = \sum_{d|n} \mu(d) F\left(\frac{n}{d}\right).$$ 14. Démontrer que $\varphi = \mu \ast I$. 15. Soient $f$ une fonction arithmétique, $n \in \mathbb{N}^*$ et $g = f \ast \mu$. On note $M = (m_{ij})$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ de terme général $m_{ij} = f(i \wedge j)$. On définit aussi la matrice des diviseurs $D = (d_{ij})$ par : $$d_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si $j$ divise $i$,} \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$$ Soit $M’$ la matrice de terme général $$m’_{ij} = \begin{cases} g(j) & \text{si $j$ divise $i$,} \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$$ Montrer que $M = M’ {D}^{\top}$, où $D^\top$ est la transposée de $D$.} 16. En déduire que le déterminant de $M$ vaut $$\det M = \prod_{k=1}^n g(k).$$ 17. Montrer que si $s > A_c(f)$, alors la série $\sum f(k)/k^s$ converge absolument. 18. Soient $f$ et $g$ deux fonctions arithmétiques d’abscisses de convergence finies. Montrer que si, pour tout $s > \max(A_c(f), A_c(g))$, $L_f(s) = L_g(s)$, alors $f = g$. 19. Soient $f$ et $g$ deux fonctions multiplicatives d’abscisses de convergence finies. Montrer que, pour tout $s > \max(A_c(f), A_c(g))$, $$L_{f\ast g}(s) = L_{f}(s)L_{g}(s).$$ 20. Pour toutes permutations $\rho, \rho’ \in \mathfrak{S}_n$, montrer que $P_{\rho\rho’} = P_\rho P_{\rho’}$. En déduire que, pour toutes permutations $\sigma, \tau \in \mathfrak{S}_n$, si $\sigma$ et $\tau$ sont conjuguées alors $P_\sigma$ et $P_\tau$ sont semblables.} 21. On considère, dans cette question uniquement, $n = 7$ et les cycles $\gamma_1 = (1~3~7)$ et $\gamma_2 = (2~6~4)$. On considère également une permutation $\rho \in \mathfrak{S}_7$ telle que $\rho(1) = 2$, $\rho(3) = 6$ et $\rho(7) = 4$. Vérifier que $\rho \gamma_1 \rho^{-1} = \gamma_2$. 22. Plus généralement, montrer que, dans $\mathfrak{S}_n$, deux cycles de même longueur sont conjugués. 23. Montrer que $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ et $\tau \in \mathfrak{S}_n$ sont conjugués si et seulement si, pour tout $\ell \in \llbracket 1, n \rrbracket$, $c_\ell(\sigma) = c_\ell(\tau)$. 24. Soit $\ell \in \llbracket 2, n \rrbracket$ et soit $\gamma \in \mathfrak{S}_\ell$ un cycle de longueur $\ell$. Montrer que $\chi_\gamma(X) = X^\ell – 1.$ On pourra se ramener au cas $\gamma = (1~2~\dots~\ell)$ et considérer la matrice $$\Gamma_\ell = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_\ell(\mathbb{C}).$$ 25. Montrer que si $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, alors $$\chi_\sigma(X) = \prod_{\ell=1}^n (X^\ell – 1)^{c_\ell(\sigma)}.$$ On pourra justifier que $P_\sigma$ est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs sont des matrices de la forme $\Gamma_\ell$ $(\ell \geq 1)$, où $\Gamma_\ell$ est définie ci-dessus si $\ell \geq 2$ et où $\Gamma_\ell = (1)$ si $\ell = 1$.} 26. En raisonnant sur la multiplicité des racines de $\chi_\sigma$ et de $\chi_\tau$, montrer que si $P_\sigma$ et $P_\tau$ sont semblables, alors, pour tout $q \in \llbracket 1, n \rrbracket$, \[ \sum_{\substack{\ell=1\\ q|\ell}}^n c_\ell(\sigma) = \sum_{\substack{\ell=1\\ q|\ell}}^n c_\ell(\tau). \] (On somme sur les valeurs de $\ell$ multiples de $q$ et appartenant à $\llbracket 1, n \rrbracket$.) 27. En déduire la propriété (S). On pourra calculer $T_\sigma D$ où $T_\sigma$ est le type cyclique de $\sigma$ et $D$ est la matrice des diviseurs définie au I.D. 28. Montrer que $u$ est un endomorphisme de permutation si et seulement s’il existe une base dans laquelle sa matrice est une matrice de permutation. 29. Soit $u$ un endomorphisme de permutation de $E$. Montrer que $u$ est diagonalisable et que sa trace appartient à $\llbracket 0, n \rrbracket$. 30. Soient $A$, $B$ deux matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables si et seulement si elles ont même polynôme caractéristique.} 31. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ tel que $u^2 = \mathrm{Id}_E$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de permutation si et seulement si $\mathrm{Tr}(u)$ est un entier naturel. 32. Étudier si l’équivalence de la question précédente subsiste lorsqu’on remplace l’hypothèse $u^2 = \mathrm{Id}_E$ par $u^k = \mathrm{Id}_E$ pour $k=3$, puis pour $k=4$. 33. Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de permutation si et seulement s’il vérifie les deux conditions suivantes : \begin{itemize} \item[(a)] il existe des entiers naturels $c_1, \dots, c_n$ tels que $\chi_u = \prod_{\ell=1}^n (X^\ell – 1)^{c_\ell}$ ; \item[(b)] il existe $N$ tel que $u^N = \mathrm{Id}_E$. \end{itemize} 34. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $\mathrm{Tr}(u^k) = \mathrm{Tr}(v^k)$. Montrer que $u$ et $v$ ont même polynôme caractéristique. 35. Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable de $E$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de permutation si et seulement s’il existe des entiers naturels $c_1, \dots, c_n$ tels que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $$ \mathrm{Tr}(u^k) = \sum_{\ell=1}^n \,_{\ell|k} \ell c_\ell. $$ (On somme sur les valeurs de $\ell$ divisant $k$ et appartenant à $\llbracket 1, n \rrbracket$.)} 36. Soient $A_n = (a_{ij})_{(i,j) \in \llbracket 1, n\rrbracket^2}$ la matrice de terme général $$ a_{ij} = \begin{cases} \mu(j)& \text{si $i=1$},\\ 1 & \text{si $i=j$},\\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$ et $C_n = A_n H_n$. En calculant les coefficients de $C_n$, montrer que $\det H_n = M(n)$.\\ Pour le calcul du terme d’indice $(i,j)$ de $C_n$, on pourra distinguer le cas $i = j = 1$, le cas $i > 1, j = 1$ et le cas $i > 1, j > 1$. 37. En calculant le produit $B_n(\lambda)(\lambda I_n – H_n)$, montrer que $$ \chi_n(\lambda) = (\lambda – 1)^n – (\lambda – 1)^{n-1} \sum_{j=2}^n \mathbf{b}(j). $$ 38. Montrer que $\mathbf{f} \ast \mathbf{b} = \delta$, où $\mathbf{f} = (1+w)\delta – w\mathbf{1}$. 39. En utilisant les notations des séries de Dirichlet données dans la sous-partie I.E, exprimer, pour des valeurs du réel $s$ à préciser, $L_{\mathbf{f}}(s)$ en fonction de $w$ et $L_{\mathbf{1}}(s)$. 40. Montrer que, pour $s$ réel suffisamment grand, $$ \frac{1}{L_{\mathbf{f}}(s)} = 1 + \sum_{m=2}^\infty m^{-s} \sum_{k=1}^{\lfloor \log_2 m \rfloor} w^k D_k(m) $$ où $D_k(m)$ est le nombre de manières de décomposer l’entier $m$ en un produit de $k$ facteurs supérieurs ou égaux à 2, l’ordre de ces facteurs étant important.} 41. Pour $n \geq 1$, on pose $S_k(n) = \sum_{m=2}^n D_k(m)$. Déduire de la question précédente que $$ \chi_n(\lambda) = (\lambda-1)^n – \sum_{k=1}^{\lfloor \log_2 n \rfloor} (\lambda-1)^{n-k-1} S_k(n). $$ 42. Montrer enfin que $H_n$ possède $1$ comme valeur propre et que sa multiplicité est exactement $n – \lfloor\log_2 n\rfloor – 1$.}FAQ
Le sujet de mathématiques MP du concours Centrale 2020 fait intervenir de nombreuses notions classiques d’arithmétique et d’algèbre : fonctions arithmétiques, produit de convolution (ou de Dirichlet), fonctions multiplicatives, matrices liées aux diviseurs, séries de Dirichlet, théorie élémentaire des groupes finis en particulier le groupe symétrique \\( \\mathfrak{S}_n \\) et les matrices de permutation. On y trouve également un important volet sur la diagonalisabilité, les polynômes caractéristiques, et le lien entre propriétés de matrices et structures arithmétiques. N’oublie pas que les corrigés détaillés ainsi que des exercices similaires sont accessibles en débloquant les corrections sur Prépa Booster.
Une fonction arithmétique f est dite multiplicative si, pour tous entiers n et m premiers entre eux, on a f(nm) = f(n)f(m). C’est une notion clé de l’arithmétique, en particulier pour l’étude des coefficients des séries de Dirichlet, de la structure de l’anneau des fonctions arithmétiques, et dans la manipulation du produit de Dirichlet (convolution). Dans ce sujet, la multiplicativité intervient à plusieurs reprises, à la fois dans les raisonnements de base et dans les propriétés des célèbres fonctions comme la fonction de Möbius ou la fonction indicatrice d’Euler.
Le produit de Dirichlet permet de structurer l’ensemble des fonctions arithmétiques en un anneau (voire un groupe pour certaines sous-familles), et d’établir des liens puissants entre différentes fonctions (comme \\( \\mu \\ast \\mathbf{1} = \\delta \\), l’inversion de Möbius, etc.). Il simplifie nombre de calculs, facilite l’identification ou la création de fonctions inverses, et permet de relier des propriétés analytiques (séries de Dirichlet) et algébriques (multiplicativité, unités, etc.). Ce concept est donc fondamental aussi bien dans les concours que dans la poursuite de la prépa ou des études supérieures en maths.
La matrice des diviseurs permet de synthétiser l’information arithmétique liée à la divisibilité dans une structure matricielle aisément manipulable en algèbre linéaire. Dans le sujet, elle intervient dans le calcul du déterminant de matrices particulières, dans l’étude de la diagonalisabilité, ou pour effectuer des inversions de Möbius sous forme matricielle. Sa connaissance est incontournable pour relier des propriétés de fonctions arithmétiques à des résultats matriciels concrets.
Le sujet t’invite à explorer le lien entre les structures arithmétiques (divisibilité, fonctions multiplicatives) et la théorie du groupe symétrique \\( \\mathfrak{S}_n \\), à travers l’analyse des cycles, des conjugaisons, des polynômes caractéristiques des matrices de permutation, ou la détermination du type cyclique d’une permutation. Ces éléments sont essentiels pour comprendre la structure interne des permutations, établir des résultats sur la diagonalisabilité, les matrices semblables, et réaliser des correspondances entre résultats arithmétiques et propriétés de groupes finis.
Pour ces questions, il est crucial de comprendre comment une fonction arithmétique détermine une série de Dirichlet, et comment les propriétés analytiques de la série (convergence, factorisation) reflètent la structure algébrique de la fonction. En particulier, l’abscisse de convergence, la multiplication des séries de Dirichlet (liée au produit de Dirichlet), et la notion de fonctions génératrices jouent un rôle central. N’hésite pas à t’entraîner avec les corrigés et exercices disponibles sur Prépa Booster pour solidifier tes méthodes sur ce type d’exercice.
Pour traiter ces questions, il est important de bien connaître les propriétés spectrales des matrices de permutation, la façon dont leur polynôme caractéristique s’exprime à partir du type cyclique de la permutation, et comment l’étude de la diagonalisabilité ou du déterminant se traduit en termes combinatoires (cycles, conjugaison). Privilégie une analyse des blocs associés aux cycles, la correspondance entre structure arithmétique et spectrale, et tire profit des résultats structurels donnés dans ton cours de mathématiques MP.
Privilégie un entraînement actif sur les sujets des années précédentes du concours Centrale mais n’hésite pas à varier en t’exerçant aussi sur d’autres banques d’épreuves. Assure-toi de maîtriser les définitions fondamentales (multiplicativité, matrices de permutation, séries de Dirichlet, principe de Möbius), d’être à l’aise avec les raisonnements sur les groupes finis, et de savoir traiter efficacement les questions de matrices et de diagonalisabilité. Les corrigés détaillés accessibles sur Prépa Booster te permettent de vérifier ta compréhension et de t’entraîner sur de nouveaux exercices ciblés.