Questions du sujet
1. Montrer que $M$ et $M^{>}$ ont même spectre. 2. Montrer que $M^{>}$ est diagonalisable si et seulement si $M$ est diagonalisable. 3. Soit $(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1}) \in K^{n}$ et $Q(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0$. On considère la matrice $$ C_Q = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & -a_1\\ 0 & 1 & \ddots & -a_2\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix} $$ Déterminer en fonction de $Q$ le polynôme caractéristique de $C_Q$. 4. Soit $\lambda$ une valeur propre de $C_Q^{>}$. Déterminer la dimension et une base du sous-espace propre associé. 5. Montrer que $f$ est cyclique si et seulement s’il existe une base $B$ de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est de la forme $C_Q$, où $Q$ est un polynôme unitaire de degré $n$.} 6. Soit $f$ un endomorphisme cyclique. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $\chi_f$ est scindé sur $K$ et a toutes ses racines simples. 7. Montrer que si $f$ est cyclique, alors $(\mathrm{Id}, f, f^2, \ldots, f^{n-1})$ est libre dans $L(E)$ et le polynôme minimal de $f$ est de degré $n$. 8. Soit $x$ un vecteur non nul de $E$. Montrer qu’il existe un entier $p$ strictement positif tel que la famille $(x, f(x), f^2(x), \ldots, f^{p-1}(x))$ soit libre et qu’il existe $(\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{p-1}) \in K^p$ tel que : $$ \alpha_0 x + \alpha_1 f(x) + \cdots + \alpha_{p-1} f^{p-1}(x) + f^p(x) = 0 $$ 9. Justifier que $\mathrm{Vect}(x, f(x), f^2(x), \ldots, f^{p-1}(x))$ est stable par $f$. 10. Montrer que $X^p + \alpha_{p-1} X^{p-1} + \cdots + \alpha_0$ divise le polynôme $\chi_f$.} 11. Démontrer que $\chi_f(f)$ est l’endomorphisme nul. 12. Montrer que $f$ est cyclique si et seulement si $r = n$. Préciser alors la matrice compagnon. 13. Montrer que les sous-espaces vectoriels $F_k$ sont stables et que $E = F_1 \oplus \cdots \oplus F_p$. 14. Justifier que $\varphi_k$ est un endomorphisme nilpotent de $F_k$. 15. Pourquoi a-t-on $\nu_k \leq \dim(F_k)$ ?} 16. Montrer, avec l’hypothèse proposée, que pour tout $k \in \llbracket 1, p \rrbracket$, on a $\nu_k = m_k$. 17. Expliciter la dimension de $F_k$ pour $k \in \llbracket 1, p \rrbracket$, puis en déduire l’existence d’une base $B = (u_1, \ldots, u_n)$ de $E$ dans laquelle $f$ a une matrice diagonale par blocs, ces blocs appartenant à $M_{m_k}(\mathbb{C})$ et étant de la forme $$ \begin{pmatrix} \lambda_k & 0 & \cdots & 0\\ 1 & \lambda_k & & 0\\ & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & 1 & \lambda_k \end{pmatrix} $$ 18. On pose $x_0 = u_1 + u_{m_1+1} + \cdots + u_{m_1 + \cdots + m_{p-1} + 1}$. Déterminer les polynômes $Q \in \mathbb{C}[X]$ tels que $Q(f)(x_0) = 0$. 19. Justifier que $f$ est cyclique. 20. Montrer que $C(f)$ est une sous-algèbre de $L(E)$.} 21. On suppose que $f$ est cyclique et on choisit un vecteur $x_0$ dans $E$ tel que $(x_0, f(x_0), \ldots, f^{n-1}(x_0))$ est une base de $E$. Soit $g \in C(f)$, un endomorphisme qui commute avec $f$. Justifier l’existence de $\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_{n-1}$ de $K$ tels que $$ g(x_0) = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k f^k(x_0) $$ 22. Montrer alors que $g \in K[f]$. 23. Établir que $g \in C(f)$ si et seulement s’il existe un polynôme $R \in K_{n-1}[X]$ tel que $g = R(f)$. 24. Montrer que si la réunion d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels $F_1, \ldots, F_r$ de $E$ est un sous-espace vectoriel, alors l’un des sous-espaces $F_i$ contient tous les autres. 25. On note $d$ le degré de $\pi_f$. Justifier l’existence d’un vecteur $x_1$ de $E$ tel que $(x_1, f(x_1), \ldots, f^{d-1}(x_1))$ est libre.} 26. On pose $e_1 = x_1$, $e_2 = f(x_1)$, \ldots, $e_d = f^{d-1}(x_1)$ et $E_1 = \mathrm{Vect}(e_1, e_2, \ldots, e_d)$. Montrer que $E_1$ est stable par $f$ et que $E_1 = \{P(f)(x_1)/ P \in K[X]\}$. 27. On note $\psi_1$ l’endomorphisme induit par $f$ sur le sous-espace vectoriel $E_1$, $$ \psi_1 : \begin{cases} E_1 \rightarrow E_1\\ x \mapsto f(x) \end{cases} $$ Justifier que $\psi_1$ est cyclique. 28. On complète, si nécessaire, $(e_1, e_2, \ldots, e_d)$ en une base $(e_1, e_2, \ldots, e_n)$ de $E$. Soit $\Phi$ la $d$-ième forme coordonnée qui à tout vecteur $x$ de $E$ associe sa coordonnée suivant $e_d$. On note $F = \{x \in E \mid \forall i \in \mathbb{N}, \Phi(f^i(x)) = 0\}$. Montrer que $F$ est stable par $f$ et que $E_1$ et $F$ sont en somme directe. 29. Soit $\Psi$ l’application linéaire de $E$ dans $K^d$ définie, pour tout $x \in E$, par $$ \Psi(x) = (\Phi(f^i(x)))_{0 \leq i \leq d-1} = (\Phi(x), \Phi(f(x)), \ldots, \Phi(f^{d-1}(x))) $$ Montrer que $\Psi$ induit un isomorphisme entre $E_1$ et $K^d$. 30. Montrer que $E = E_1 \oplus F$.} 31. En déduire qu’il existe $r$ sous-espaces vectoriels de $E$, notés $E_1, \ldots, E_r$, tous stables par $f$, tels que : \begin{itemize} \item $E = E_1 \oplus \cdots \oplus E_r$ ; \item pour tout $1 \leq i \leq r$, l’endomorphisme $\psi_i$ induit par $f$ sur le sous-espace vectoriel $E_i$ est cyclique ; \item si on note $P_i$ le polynôme minimal de $\psi_i$, alors $P_{i+1}$ divise $P_i$ pour tout entier $i$ tel que $1 \leq i \leq r-1$. \end{itemize} 32. Montrer que la dimension de $C(f)$ est supérieure ou égale à $n$. 33. On suppose que $f$ est un endomorphisme tel que l’algèbre $C(f)$ est égale à $K[f]$. Montrer que $f$ est cyclique. 34. Soit $f \in O(E)$. Soit $f’$ dans $O(E)$ ayant le même polynôme caractéristique que $f$. Montrer qu’il existe des bases orthonormales $B$ et $B’$ de $E$ pour lesquelles la matrice de $f$ dans $B$ est égale à la matrice de $f’$ dans $B’$. 35. En déduire que $f$ est orthocyclique si et seulement si $\chi_f = X^n – 1$ ou $\chi_f = X^n + 1$.} 36. Soit $f$ un endomorphisme nilpotent de $E$. Montrer qu’il existe une base orthonormale de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est triangulaire inférieure. 37. En déduire que $f$ est orthocyclique si et seulement si \begin{itemize} \item $f$ est de rang $n-1$ et \item $\forall x, y \in (\ker f)^{\perp},\ (f(x)\mid f(y)) = (x\mid y)$ \end{itemize}}FAQ
La matrice compagnon d’un polynôme unitaire de degré n modélise fidèlement certaines transformations linéaires, notamment en lien avec le polynôme minimal et le polynôme caractéristique d’un endomorphisme. Son étude te permet de comprendre comment tout endomorphisme cyclique s’écrit dans une base adaptée, ce qui facilite le calcul du spectre, l’étude de la diagonalisabilité ou la recherche d’une base de vecteurs propres. C’est un passage obligé pour maîtriser les transformations sur un espace de dimension finie au concours Centrale.
Un endomorphisme cyclique sur un espace vectoriel de dimension n est un endomorphisme pour lequel il existe un vecteur x tel que (x, f(x), f^2(x), …, f^{n-1}(x)) forme une base de l’espace. Cela signifie que toute l’action de f est déterminée par son comportement sur un unique vecteur. Les sujets de concours aiment ce concept car il met en jeu la structure fine des sous-espaces invariants, la théorie des polynômes minimaux et les propriétés spectrales des applications linéaires. Tu retrouveras souvent ce thème dans les exercices d’algèbre linéaire avancée.
Pour qu’un endomorphisme soit diagonalisable, il faut que son polynôme caractéristique soit scindé (c’est-à-dire que toutes ses racines soient dans le corps de base) et que chacune soit de multiplicité algébrique 1. Appliquer ce critère à une matrice compagnon permet d’obtenir immédiatement la diagonalisabilité de l’endomorphisme cyclique associé. C’est un point méthodologique essentiel pour réussir les sujets sur la structure spectrale des applications linéaires.
Le polynôme caractéristique d’un endomorphisme te donne les valeurs propres possibles, tandis que le polynôme minimal est le plus petit polynôme annulateur. La structure de ces deux polynômes éclaire toute la décomposition de l’espace vectoriel en sous-espaces invariants. Le sujet Centrale 2019 te fait manipuler la notion de divisibilité de polynômes, la recherche de la cyclicité et la construction des sous-espaces propres, ce qui repose justement sur l’analyse de ces polynômes.
Cette question touche à la structure de l’endomorphisme et à la notion de cyclicité. Typiquement, tu montres la liberté au moyen d’une relation de récurrence issue d’un polynôme annulateur de degré minimal. C’est une technique classique pour détecter s’il existe un polynôme annulateur de degré égal à la dimension, critère clef pour affirmer que l’endomorphisme est cyclique. Les corrigés détaillés sur Prépa Booster te montrent comment construire et exploiter efficacement ce type de familles !
Les sous-algèbres commutantes de l’algèbre des endomorphismes (C(f)) structurent la façon dont on peut « simplifier » les opérateurs linéaires. Si C(f) = K[f], l’endomorphisme est cyclique, ce qui simplifie grandement l’analyse de toutes les applications qui commutent avec f. Les sujets de Centrale raffolent de cette structure car elle connecte l’étude fine des opérateurs, la théorie des polynômes et la réduction des endomorphismes.
Dans certains exercices, on impose des structures supplémentaires, comme un produit scalaire ou l’orthogonalité. Les questions sur les endomorphismes orthogonaux ou nilpotents cherchent à voir si tu sais utiliser la géométrie euclidienne pour diagonaliser ou mettre sous forme triangulaire une matrice. Savoir exploiter orthogonalité et invariance est donc essentiel pour te hisser dans le haut du tableau du concours.
Pour maximiser tes chances, il faut t’entraîner sur des sujets comme celui-ci, maîtriser la théorie (endomorphismes, matrices, polynômes minimaux et caractéristiques) et surtout t’entraîner à rédiger vite et proprement. N’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour accéder à des exercices corrigés, des écrits détaillés et des outils personnalisés pour progresser efficacement tout au long de l’année !