Questions du sujet
1. Soient $a$ et $b$ dans $E$. Montrer la relation suivante et en donner une interprétation géométrique : \[ \|a + b\|^2 + \|a – b\|^2 = 2 (\|a\|^2 + \|b\|^2) \] } 2. En déduire que si $u, v$ et $v’$ dans $E$ vérifient $v \ne v’$ et $\|u-v\| = \|u-v’\|$ alors \[ \left\|u-\frac{v+v’}{2}\right\| < \|u-v\|. \] } 3. Soient $F$ un fermé non vide de $E$ et $u$ dans $E$. Montrer qu’il existe $v$ dans $F$ tel que \[ \forall w \in F,~ \|u-v\| \leq \|u-w\|. \] } 4. En déduire que si $C$ est un convexe fermé non vide de $E$ et $u$ est un vecteur de $E$ alors il existe un unique $v$ dans $C$ tel que \[ \forall w \in F,~ \|u-v\| \leq \|u-w\|. \] On dira que $v$ est le projeté de $u$ sur $C$ et on notera $d(u,C) = \|u-v\|$.} 5. Montrer que, pour tous réels positifs $a$ et $b$, \[ ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} \] On pourra utiliser la concavité du logarithme.} 6. En déduire que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires réelles sur l’espace probabilisé fini $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ alors \[ \mathbb{E}(|XY|) \leq \mathbb{E}(|X|^p)^{1/p} \mathbb{E}(|Y|^q)^{1/q} \] On pourra d’abord montrer ce résultat lorsque $\mathbb{E}(|X|^p) = \mathbb{E}(|Y|^q) = 1$.} 7. Soit $(A_1, \dots, A_m)$ un système complet d’événements de probabilités non nulles. Montrer que \[ \mathbb{E}(X) = \sum_{i=1}^m \mathbb{P}(A_i) \cdot \mathbb{E}(X|A_i) \] } 8. Montrer que \[ \mathbb{E}(X^2) = 2\int_0^{+\infty} t\mathbb{P}(|X| \geq t)\,dt \] On pourra noter $X^2(\Omega) = \{y_1, \dots, y_n\}$ avec $0\leq y_1 < y_2 < \cdots < y_n$.} 9. Montrer que le moment d’ordre deux de $X$ est inférieur ou égal à $a/b$.} 10. Justifier que, pour tout réel $t$, \[ \mathbb{P}(|X+\delta| \geq t) \leq \mathbb{P}(|X| \geq t - |\delta|) \] } 11. Montrer que, pour tout réel $t$, \[ -a(t - |\delta|)^2 \leq a - \frac{1}{2}bt^2 \] } 12. En déduire que pour tout réel $t$ tel que $t \geq |\delta|$ on a \[ \mathbb{P}(|X+\delta| \geq t) \leq a\exp(a)\exp\left(-\frac{1}{2}bt^2\right) \] } 13. Justifier que l’inégalité précédente reste valable si $0 \leq t < |\delta|$.} 14. Traiter le cas où $C$ est un convexe fermé de $E$ ne rencontrant pas $X(\Omega)$.} 15. On suppose, dans la suite de cette sous-partie II.A uniquement, que $C$ est un convexe fermé de $E$ qui rencontre $X(\Omega)$ en un seul vecteur $u$. Montrer que $\frac{1}{4}d(X,u)^2$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $1/2$.} 16. En déduire l’espérance de $\exp(\frac{1}{8}d(X,u)^2)$ et montrer qu’elle est inférieure ou égale à $2^n$.} 17. Justifier que $d(X,C) \leq d(X,u)$ et en déduire l’inégalité (II.1) dans ce cas.} 18. Traiter le cas $n=1$.} 19. Montrer, pour $x' \in E'$ et $t\in\{-1,1\}$, que $x' \in C_t \iff x'+t e_n \in C$.} 20. Montrer que $C_{+1}$ et $C_{-1}$ sont des convexes fermés non vides de $E'$.} 21. Montrer que \[ \mathbb{P}(X \in C) = \frac{1}{2} \mathbb{P}(X' \in C_{+1}) + \frac{1}{2}\mathbb{P}(X' \in C_{-1}) \] } 22. Montrer que \[ d(X,C) \leq \|(1-\lambda)(Y_{\varepsilon_n} + \varepsilon_n e_n) + \lambda(Y_{-\varepsilon_n} - \varepsilon_n e_n) - X\| \] } 23. En déduire que \[ d(X,C)^2 \leq 4\lambda^2 + \|(1-\lambda)(Y_{\varepsilon_n} - X') + \lambda(Y_{-\varepsilon_n} - X')\|^2 \] puis que \[ d(X,C)^2 \leq 4\lambda^2 + (1-\lambda)\|Y_{\varepsilon_n} - X'\|^2 + \lambda\|Y_{-\varepsilon_n} - X'\|^2 \] Ainsi, on a montré l’inégalité \[ d(X,C)^2 \leq 4\lambda^2 + (1-\lambda) d(X',C_{\varepsilon_n})^2 + \lambda d(X', C_{-\varepsilon_n})^2 \] } 24. Montrer que $p^- > 0$.} 25. Montrer que pour tout $\lambda$ dans $[0,1]$ \[ \mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{1}{8}d(X,C)^2\right)\big| \varepsilon_n = -1 \right) \leq \exp\left(\frac{\lambda^2}{2}\right) \mathbb{E}\left( \left(\exp\left(\frac{1}{8}d(X’,C_{-1})^2 \right) \right)^{1-\lambda} \cdot \left(\exp\left(\frac{1}{8}d(X’,C_{+1})^2 \right) \right)^{\lambda} \right) \] } 26. En déduire que \[ \mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{1}{8}d(X,C)^2\right)\big| \varepsilon_n = -1 \right) \leq \exp\left(\frac{\lambda^2}{2}\right) \left(\mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{1}{8}d(X’,C_{-1})^2\right)\right)^{1-\lambda} \cdot \left(\mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{1}{8}d(X’,C_{+1})^2\right)\right)^{\lambda}\right) \] } 27. À l’aide de l’hypothèse de récurrence, justifier que \[ \mathbb{E} \left(\exp\left(\frac{1}{8}d(X,C)^2\right)\Big| \varepsilon_n = 1 \right) \leq \frac{1}{p^+} \] } 28. Déduire de ce qui précède que pour tout $\lambda$ dans $[0,1]$ \[ \mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{1}{8}d(X,C)^2\right)\right) \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{p^+} + \exp\left(\frac{\lambda^2}{2}\right) \frac{1}{(p^-)^{1-\lambda}}\frac{1}{(p^+)^{\lambda}}\right) \] } 29. On pose $\lambda = 1 – \frac{p^-}{p^+}$. Montrer que \[ \mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{1}{8}d(X,C)^2\right)\right) \leq \frac{1}{2p^+}\left(1 + \exp\left(\frac{\lambda^2}{2}\right)(1-\lambda)^{\lambda-1}\right) \] } 30. Montrer que pour tout $x\in[0,1[$ \[ \frac{x^2}{2} + (x-1)\ln(1-x) \leq \ln(2+x) – \ln(2-x) \] On pourra faire une étude de fonction.} 31. En déduire que pour tout $x\in[0,1[$ \[ 1 + \exp\left(\frac{x^2}{2}\right)(1-x)^{x-1} \leq \frac{4}{2-x} \] } 32. Terminer la démonstration de l’inégalité (II.1).} 33. En déduire l’inégalité de Talagrand :\\ Pour tout $C$ convexe fermé non vide de $E$ et pour tout réel $t>0$, \[ \mathbb{P}(X\in C)\cdot \mathbb{P}(d(X,C)\geq t) \leq \exp\left(-\frac{t^2}{8}\right) \] } 34. Montrer que $C = \{M\in\mathcal{M}_{k,d}(\mathbb{R}) \mid g(M)\leq r\}$ est une partie convexe et fermée de $\mathcal{M}_{k,d}(\mathbb{R})$.} 35. Montrer que pour toute matrice $M$ dans $\mathcal{M}_{k,d}(\mathbb{R})$ \[ \|M \cdot u\| \leq \|M\|_F \] } 36. Montrer que pour toute matrice $M$ dans $\mathcal{M}_{k,d}(\mathbb{R})$ \[ d(M,C) < t \Longrightarrow g(M) < r + t \] } 37. En déduire que \[ \mathbb{P}(g(X)\leq r)\cdot \mathbb{P}(g(X)\geq r+t) \leq \exp\left( -\frac{1}{8}t^2 \right) \] } 38. Justifier que $g(X)$ admet au moins une médiane.\\ On pourra considérer la fonction $G : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par $G(t)=\mathbb{P}(g(X)\leq t)$, et examiner l’ensemble $G^{-1}([1/2, 1])$.} 39. Déduire de ce qui précède que, pour tout réel strictement positif $t$ \[ \mathbb{P}(|g(X)-m|\geq t) \leq 4\exp\left( -\frac{1}{8} t^2 \right) \] où $m$ est une médiane de $g(X)$.} 40. En déduire que $\mathbb{E}((g(X)-m)^2) \leq 32$.} 41. Montrer que $\mathbb{E}(g(X)^2) = k$, et en déduire que $\mathbb{E}(g(X)) \leq \sqrt{k}$.} 42. En déduire que $(\sqrt{k} - m)^2 \leq \mathbb{E}((g(X)-m)^2)$.} 43. Montrer que, pour tout réel strictement positif $t$, \[ \mathbb{P}(|g(X)-\sqrt{k}| \geq t) \leq 4\exp(4)\exp\left( -\frac{1}{16} t^2 \right) \] } 44. On pose $A_k = \frac{X}{\sqrt{k}}$. Soient $\varepsilon \in\,]0,1[$ et $\delta\in\,]0,1/2[$. On suppose que $k\geq\frac{160 \ln(1/\delta)}{\varepsilon^2}$. \\ Montrer que, pour tout vecteur unitaire $u$ dans $\mathbb{R}^d$ : \[ \mathbb{P}(| \|A_k \cdot u\| - 1| > \varepsilon) < \delta \] } 45. Soient $v_1, \dots, v_N$ des vecteurs distincts dans $\mathbb{R}^d$. Pour tout $(i,j) \in \llbracket 1,N\rrbracket^2$ tel que $iFAQ
Cette identité fondamentale, appelée parfois relation du parallélogramme, permet de caractériser les espaces euclidiens et de relier géométriquement la somme des carrés des diagonales d’un parallélogramme à celle des côtés. Elle est largement utilisée en géométrie, en algèbre linéaire et dans l’étude des projections orthogonales, notions indispensables pour comprendre de nombreux exercices aux concours Centrale, y compris celui de 2018.
La projection orthogonale d’un point sur un convexe fermé est le point du convexe le plus proche de ce point, selon la distance euclidienne. Cette notion te permet non seulement de résoudre des questions d’optimisation géométrique, mais aussi d’aborder les inégalités de concentration de mesure comme celle de Talagrand, régulièrement sollicitées dans les sujets récents. C’est un outil que tu dois absolument maîtriser pour briller le jour J !
L’inégalité de Hölder permet de majorer l’espérance du produit de deux variables aléatoires grâce à leurs moments respectifs. C’est une clef pour traiter de nombreuses questions de probabilités et d’algèbre linéaire, et elle intervient aussi bien dans la théorie que dans les exercices de Centrale MP. Ne néglige jamais son rôle dans la résolution des estimations d’espérance et la maîtrise des inégalités classiques ! Pour des corrigés détaillés sur ce type de raisonnement, n’hésite pas à débloquer l’accès aux corrigés sur Prépa Booster : tu y trouveras des explications pas à pas et des exercices-type.
Les inégalités de concentration, telles que celle de Talagrand, permettent de quantifier la probabilité qu’une variable aléatoire s’écarte d’une certaine valeur centrale, comme la médiane ou l’espérance. Elles sont aujourd’hui incontournables aussi bien en probabilités qu’en géométrie des espaces de dimension finie, et sont devenues un classique des épreuves de Centrale. Savoir les mobiliser te démarquera nettement lors des exercices à fort coefficient.
Tu dois savoir définir un espace vectoriel normé, distinguer espace préhilbertien et hilbertien, et surtout manipuler aisément les notions de convexité, de clôture, et de projection. Ce sont des concepts qui servent tout au long du sujet, que ce soit pour établir l’existence et l’unicité du projeté, ou pour manipuler des ensembles de matrices comme dans les derniers exercices. Garde toujours sous la main les propriétés élémentaires des convexes fermés dans tes révisions !
Sois à l’aise avec la définition de la norme de Frobenius, la distance à un ensemble de matrices et les manipulations classiques de matrices dans les espaces de grande dimension. Les questions sur les images des vecteurs unitaires, les projections et la concentration des valeurs singulières sont récurrentes. Ces techniques sont incontournables dans les dernières parties du sujet de 2018 comme dans bien d’autres sujets. Tu veux progresser plus vite ? Les corrigés détaillés et le dashboard sur Prépa Booster te permettront de t’entraîner efficacement !
La médiane d’une variable aléatoire, beaucoup moins sensible aux valeurs extrêmes que l’espérance, joue un rôle clé dans l’étude des inégalités de concentration. Calculer, comparer et utiliser habilement médiane et espérance est un vrai plus pour les exos qui bousculent les habitudes, comme c’est le cas sur la fin du sujet 2018 Centrale MP !