Questions du sujet
1. I.A.1) Déterminer un couple $(A, \vec{b})$ dans $SO(2) \times \mathbb{R}^2$ tel que l’on ait $M(A,\vec{b}) = I_3$. 2. I.A.2) Soient $(A, \vec{b})$ et $(A’, \vec{b}’)$ dans $SO(2) \times \mathbb{R}^2$. Montrer que $M(A,\vec{b})M(A’,\vec{b}’) = M(AA’, A\vec{b}’+\vec{b})$. 3. I.A.3) Montrer que les éléments de $G$ sont inversibles et expliciter l’inverse de $M(A,\vec{b})$. 4. I.A.4) Démontrer que $G$ est un sous-groupe de $GL_3(\mathbb{R})$. 5. I.A.5) L’application $\Phi : \left\{\begin{array}{l} G \to \mathbb{R}^2 \\ M(A,\vec{b}) \mapsto \vec{b} \end{array}\right.$ est-elle surjective ? Est-elle injective ?} 6. I.B.1) Représenter graphiquement $\Delta(0, \vec{e}_1)$ et $\Delta(2, \frac{\vec{e}_1 + \vec{e}_2}{\sqrt{2}})$. 7. I.B.2) Déterminer une équation cartésienne de $\Delta(q,\vec{u})$. 8. I.B.3) Montrer qu’une paramétrisation de $\Delta(q,\vec{u})$ est donnée par $\left\{\begin{array}{l} x(t) = q \cos\theta – t\sin\theta \\ y(t) = q \sin\theta + t\cos\theta \end{array}\right.$ lorsque $t$ parcourt $\mathbb{R}$. 9. I.B.4) À quelle condition les droites $\Delta(q,\vec{u})$ et $\Delta(r,\vec{v})$ sont-elles confondues ? 10. I.C.1) Représenter $\Psi(M(A,\vec{b}))$ dans le cas $A = R_{u/6}$ et $\vec{b} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}$.} 11. I.C.2) Déterminer $\Psi(M(I_2, \vec{0}))$. 12. I.C.3) Vérifier que $\Psi(M(R_u, q\vec{u})) = \Delta(q,\vec{u})$ ; en déduire que $\Psi$ est surjective. 13. I.C.4) Soit $H$ l’ensemble des matrices $M(A,\vec{b})$ de $G$ telles que $\Psi(M(A,\vec{b})) = \Delta(0, \vec{e}_1)$. \\ a) Décrire les éléments de $H$. \\ b) Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$. \\ c) Montrer que pour tout $g$ de $G$, et tout $h$ de $H$, on a $\Psi(gh) = \Psi(g)$. 14. II.A.1) Établir que $f$ est dans $\mathcal{B}_1$ où $f(x, y) = \frac{1}{1 + x^2 + y^2}$. 15. II.A.2) Montrer que $\hat{f}$ est définie sur $\mathbb{R}^2$ avec $\hat{f}(q,\theta) = \frac{\pi}{\sqrt{1+q^2}}$.} 16. II.A.3) On pose $R(q) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \hat{f}(q, \theta)d\theta$. Démontrer que $q \mapsto \frac{R'(q)}{q}$ est intégrable sur $]0, +\infty[$ et que $f(0,0) = -\frac{1}{\pi}\int_0^{+\infty}\frac{R'(q)}{q}dq$. \\ On pourra, pour calculer cette dernière intégrale, procéder au changement de variable $q = \sinh{u}$. 17. II.A.4) La fonction $\frac{\partial f}{\partial x}$ est-elle dans $\mathcal{B}_2$ ? 18. II.B.1) Pour $r \in \mathbb{R}_+$, calculer $\overline{f}(r) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(r\cos t, r\sin t)dt$. 19. II.B.2) Justifier la convergence, pour tout réel $q \geq 0$, de $\int_q^{+\infty} \frac{r\varphi(r)}{\sqrt{r^2 – q^2}}\,dr$. 20. II.B.3) Démontrer que la transformée de Radon de $f$ est définie sur $\mathbb{R}^2$ et que $\forall q\in\mathbb{R}^+, \forall \theta\in\mathbb{R}, \hat{f}(q,\theta) = 2\int_q^{+\infty}\frac{r\varphi(r)}{\sqrt{r^2-q^2}}\,dr$.} 21. II.B.4) En déduire que $\forall q \in \mathbb{R}^+, \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\hat{f}(q,\theta)d\theta = 2\int_q^{+\infty} \frac{r\overline{f}(r)}{\sqrt{r^2 – q^2}}dr$. 22. III.A – Vérifier que $\hat{f}$ est définie sur $\mathbb{R}^2$. 23. III.B – Justifier que pour tout $q$ et tout $\theta$ on a $\hat{f}(-q,\theta+\pi) = \hat{f}(q, \theta)$. 24. III.C.1) Démontrer que $\overline{f}$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$. 25. III.C.2) Démontrer que la fonction $r\mapsto r^2 \overline{f}(r)$ est bornée sur $\mathbb{R}$.} 26. III.C.3) Montrer que si on suppose de plus que $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ sont dans $\mathcal{B}_2$, alors $r\mapsto r^4\overline{f}'(r)$ est bornée sur $\mathbb{R}$. 27. IV.A.1) Justifier l’existence de l’intégrale $\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t\sqrt{t^2-1}}$ et montrer que sa valeur est $\frac{\pi}{2}$. 28. IV.A.2) Soient $\varepsilon$ et $r$ fixés tels que $0 < \varepsilon < r$. Avec le changement de variables $q = r\cos\theta$, établir que $\int_{\varepsilon}^r\frac{dq}{q2\sqrt{r^2 - q^2}} = \frac{\sqrt{r^2 - \varepsilon^2}}{r^2\varepsilon}$. 29. IV.B.1) Soit $h$ une fonction de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+$. On suppose que $r\mapsto r^2h(r)$ est bornée et on pose $H(q) = \int_1^{+\infty}\frac{t h(qt)}{\sqrt{t^2-1}}dt$. Montrer que $H$ est continue sur $]0,+\infty[$. 30. IV.B.2) Montrer qu’au voisinage de $+\infty$ on a $H(q) = \mathcal{O}(1/q^2)$.} 31. IV.B.3) Démontrer que si on suppose de plus que $r \mapsto r^4 h'(r)$ est bornée, alors la fonction $H$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$. 32. IV.C.1) Justifier que $F$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et qu’au voisinage de $+\infty$ on a $F(q) = \mathcal{O}(1/q)$. 33. IV.C.2) Démontrer : $\forall \varepsilon > 0, \int_{\varepsilon}^{+\infty}\frac{F'(q)}{q}dq = -\frac{F(\varepsilon)}{\varepsilon} + 2\int_{\varepsilon}^{+\infty}\frac{1}{q^2} \left(\int_q^{+\infty}\frac{r\overline{f}(r)}{\sqrt{r^2-q^2}}dr\right)dq$. 34. IV.C.3) On admet que l’on peut intervertir les deux intégrales ci-dessus et donc que\\ $\forall \varepsilon > 0,\ \int_{\varepsilon}^{+\infty}\left(\frac{1}{q^2}\int_q^{+\infty} \frac{r\overline{f}(r)}{\sqrt{r^2 – q^2}}dr\right)dq = \int_{\varepsilon}^{+\infty}\left(\int_{\varepsilon}^r \frac{r\overline{f}(r)}{q^2\sqrt{r^2-q^2}}dq\right)dr$ \\ En déduire que $\forall \varepsilon > 0, \int_{\varepsilon}^{+\infty}\frac{F'(q)}{q}dq = -2\varepsilon\int_{\varepsilon}^{+\infty}\frac{\overline{f}(r)}{r\sqrt{r^2 – \varepsilon^2}}dr$. 35. IV.D.1) Établir la formule d’inversion de Radon pour cette fonction $f$ au point $(x,y) = (0,0)$.} 36. IV.D.2) Les hypothèses faites sur $f$ sont-elles nécessaires pour que la formule d’inversion de Radon soit vérifiée au point $(x,y) = (0,0)$~? 37. IV.D.3) Proposer une démarche pour obtenir la formule d’inversion de Radon en tout couple $(x, y)$ à partir de la formule en $(0,0)$. 38. V.A.1) Démontrer que pour tout $g$ dans $G$ et $r$ tel que $\Phi(r)=\vec{0}$ on a $f^*(gr) = f^*(g)$.\\ On dit alors que $f^*$ est invariante par les rotations du plan, vues comme des éléments de $G$. 39. V.A.2) On suppose à présent que $f$ vérifie les hypothèses permettant de définir sa transformée de Radon et on va démontrer que $\hat{f}$ peut également être vue comme une fonction sur $G$, sujette à un autre type d’invariance.\\ Démontrer que si deux droites $\Delta(q_1,\vec{u}_1)$ et $\Delta(q_2,\vec{u}_2)$ coïncident, alors $\hat{f}(q_1,\theta_1)=\hat{f}(q_2,\theta_2)$.\\ Ce résultat permet de faire l’abus de notation $\hat{f}(\Delta(q,\vec{u})) = \hat{f}(q,\theta)$ sans qu’il en résulte d’ambiguïté. 40. V.A.3) On définit à présent $\hat{f}^\star$ sur $G$ en composant $\hat{f}$ par $\Psi$: on pose, pour tout $g\in G$, $\hat{f}^\star(g) = \hat{f}(\Psi(g))$.\\ Démontrer que $\hat{f}^\star$ est $H$-invariante, c’est-à-dire que pour tous $g \in G$ et $h \in H$, $\hat{f}^\star(gh) = \hat{f}^\star(g)$.} 41. V.B.1) Proposer une définition rigoureuse du membre de droite de (V.1) dans le cas où $\Delta = \Delta(q,\vec{u})$. 42. V.B.2) Expliquer comment la formule d’inversion de Radon permet en principe de connaître la densité des tissus dans la zone radiographiée.}FAQ
SO(2), c’est le groupe des rotations du plan – autrement dit, toutes les transformations qui conservent les distances et l’origine. Tu le rencontres souvent en concours car il offre un cadre naturel pour étudier la symétrie, la géométrie plane et l’invariance. Comprendre SO(2) permet d’approcher plein de problématiques, des matrices à la physique, et ça aide à manipuler les notions d’isométries et de groupes de matrices dans les questions de haut niveau.
La transformée de Radon est un outil puissant qui prend une fonction et te donne ses intégrales sur toutes les droites du plan. Elle apparaît en mathématiques pures, mais aussi en traitement du signal, imagerie médicale (scanner, tomographie), et dans de nombreux sujets de concours MP pour tester ta maîtrise du calcul intégral, du changement de variable et de la manipulation géométrique. Savoir la manipuler te donne un vrai avantage sur ce type de problème transversal et moderne.
Le sujet centralien MP est conçu pour balayer un large spectre conceptuel : algèbre linéaire, groupes, géométrie, fonctions à plusieurs variables, intégration, changements de variables et application directe à la physique-maths. Attends-toi à voir des liens entre calcul matriciel, géométrie affine, manipulation des transformations et des invariants, ainsi que des questions d’analyse pointues. Pour progresser, je te conseille vivement de débloquer les corrigés sur Prépa Booster : tu auras accès à des corrections détaillées, des exercices corrigés et un dashboard pour te situer et progresser efficacement.
Les sous-groupes permettent de classifier, d’organiser et de mieux comprendre la structure interne des groupes, qu’ils soient issus de matrices, de symétries ou d’applications. C’est fondamental pour justifier l’inversibilité, la structure algébrique et pour identifier des propriétés d’invariants – un classique des concours ! Dans le contexte centralien, ça permet surtout de mieux manipuler l’algèbre linéaire évoluée, et de démontrer certaines propriétés générales.
Souvent, le souci vient d’un manque de rigueur dans la manipulation des définitions : confusion entre le plan vectoriel et affine, oubli de la distinction matrices de rotation/translation, ou erreurs sur les résultats d’applications (composition, inverse, etc). Fais bien attention aux conditions d’inversibilité, à toujours vérifier si les ensembles sont stables par la loi considérée, et à ne pas confondre les points et les vecteurs dans tes calculs.
La difficulté classique, c’est d’identifier le bon changement (souvent polaire dans le plan ou sphérique dans l’espace) puis de bien écrire le jacobien et les nouvelles bornes d’intégration. En concours, on attend de toi de la rigueur et une justification du changement de variable. N’hésite pas à t’entraîner sur de nombreux exemples corrigés – tu en trouveras sur Prépa Booster, ce qui te permet de t’auto-évaluer et de progresser rapidement.
L’invariance fait le lien entre l’algèbre, la géométrie et l’analyse. Que ce soit l’invariance par rotation, translation ou changement de variable, elle permet de démontrer des propriétés générales, de simplifier les calculs, et de gagner du temps lors de la résolution. Un vrai atout pour repérer des symétries cachées et structurer ta copie sur des questions profondes du sujet.
Ces formules intégrales sont essentielles en analyse, car elles permettent de reconstituer une fonction (l’image, la densité, etc.) à partir de données indirectes (comme les intégrales sur les droites). La formule d’inversion de Radon est un exemple spectaculaire de cette méthode. Elle sert non seulement en mathématiques pures, mais aussi dans des applications comme l’imagerie médicale, témoignant de l’importance de la théorie en pratique.