Questions du sujet
1. I.A.1) Soit $f$ une fonction réelle, définie continue et décroissante sur $[a, +\infty[$, où $a \in \mathbb{R}$. Montrer, que pour tout entier $k \in [a + 1, +\infty[$, on a $\displaystyle \int_{k}^{k+1} f(x) \, dx \leq f(k) \leq \int_{k-1}^k f(x) \, dx$.
2. I.A.2) En déduire la nature de la série de Riemann $\sum_{n>1} \frac{1}{n^\alpha}$ selon la valeur de $\alpha \in \mathbb{R}$. \\ En cas de convergence, on pose $S(\alpha) = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}$.
3. I.A.3) Pour tout réel $\alpha > 1$, montrer que $1 \leq S(\alpha) \leq 1 + \frac{1}{\alpha – 1}$.
4. I.B.1) En utilisant l’encadrement de la question I.A.1, montrer que $R_n(\alpha) = \frac{1}{(\alpha – 1)n^{\alpha-1}} + O\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)$.
5. I.B.2) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*_+$ par $f(x) = \frac{1}{(1-\alpha)x^{\alpha-1}}$. En appliquant à $f$ la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 2, montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $f(k + 1) – f(k) = \frac{1}{k^\alpha} – \frac{\alpha}{2}\frac{1}{k^{\alpha+1}} + A_k$ où $A_k$ est un réel vérifiant $0 \leq A_k \leq \frac{\alpha(\alpha+1)}{2k^{\alpha+2}}$.}
6. I.B.3) En déduire que $$R_n(\alpha) = \frac{1}{(\alpha – 1)n^{\alpha-1}} + \frac{1}{2n^\alpha} + O\left(\frac{1}{n^{\alpha+1}}\right)$$
7. II.A.1) Montrer qu’il existe une suite réelle $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ayant la propriété suivante : pour tout entier $p \in \mathbb{N}^*$, pour tout intervalle non réduit à un point $I$ et pour toute fonction complexe $f$ de classe $C^\infty$ sur $I$, la fonction $g$ définie sur $I$ par $g = a_0 f + a_1 f’ + \cdots + a_{p-1}f^{(p-1)}$ vérifie
$$
g’ + \frac{1}{2!}g” + \frac{1}{3!}g^{(3)}+\cdots+\frac{1}{p!}g^{(p)} = f’ + \sum_{l=1}^{p-1} b_{l,p}f^{(p+l)}
$$
où les $b_{l,p}$ sont des coefficients indépendants de $f$ que l’on ne cherchera pas à calculer.
8. II.A.2) Montrer que $a_0 = 1$ et que pour tout $p > 1$, $a_p = -\sum_{i=2}^{p+1} \frac{a_{p+1-i}}{i!}$. En déduire que $|a_p| \leq 1$ pour tout entier naturel $p$. Déterminer $a_1$ et $a_2$.
9. II.A.3) a) Pour tout $z \in \mathbb{C}$ tel que $|z| < 1$, justifier que la série $\sum_{p\in\mathbb{N}} a_p z^p$ est convergente. \\ On note $\varphi(z)$ sa somme : $\varphi(z)=\sum_{p=0}^\infty a_p z^p$. 10. II.A.3) b) Pour $z \in \mathbb{C}$ tel que $|z| < 1$, calculer le produit $(e^z-1)\varphi(z)$. En déduire que, pour tout $z \in \mathbb{C}^*$ vérifiant $|z| < 1$, on a $\varphi(z) = \frac{z}{e^z – 1}$.} 11. II.A.3) c) Montrer que $a_{2k+1}=0$ pour tout entier $k>1$. Calculer $a_4$. \\ Les nombres $b_n = n!a_n$ sont appelés nombres de Bernoulli.
12. II.B.1) En appliquant à $g$ la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre $2p$, montrer qu’il existe un réel $A$ tel que, pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $|R(k)| \leq Ak^{-(2p+\alpha)}$.
13. II.B.2) En déduire le développement asymptotique du reste
$$
R_n(\alpha) = \sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^\alpha} = -\left( a_0 f(n) + a_1 f'(n) + a_2 f”(n) + \cdots + a_{2p-2} f^{(2p-2)}(n) \right) + O\left(\frac{1}{n^{2p+\alpha-1}}\right)
$$
On obtient ainsi une valeur approchée de $S(\alpha)$, donnée par
$$
S_{en,2p-2}(\alpha) = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^\alpha}-\left( a_0 f(n) + a_1 f'(n) + a_2 f”(n) + \cdots + a_{2p-2} f^{(2p-2)}(n) \right)
$$
14. II.B.3) Donner le développement asymptotique de $R_n(3)$ correspondant au cas $\alpha=3$ et $p=3$.
15. III.A.1) a) Montrer que la suite $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est déterminée de façon unique par les conditions (III.1) ; préciser le degré de $A_n$ ; calculer $A_1$, $A_2$ et $A_3$.}
16. III.A.1) b) Montrer que $A_n(t) = (-1)^n A_n(1-t)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $t \in \mathbb{R}$.
17. III.A.1) c) Pour tout entier $n > 2$, montrer que $A_n(0) = A_n(1)$ et que $A_{2n-1}(0) = 0$.
18. III.A.1) d) On pose provisoirement $c_n = A_n(0)$ pour tout entier naturel $n$. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$,
$$
A_n(X) = c_0 \frac{X^n}{n!} + \cdots + c_{n-2}\frac{X^2}{2!} + c_{n-1} X + c_n
$$
puis que, si $n>1$, \quad $c_0/(n+1)! + \cdots + c_{n-2}/3! + c_{n-1}/2! + c_n=0$.
19. III.A.1) e) En déduire que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a en fait $c_n=a_n$.
20. III.A.2) a) Montrer que la série $\sum_n A_n(t)z^n$ converge pour tout réel $t \in [-1,1]$ et tout complexe $z$ vérifiant $|z|<1$. Sous ces conditions, on pose $f(t,z) = \sum_{n=0}^{+\infty} A_n(t)z^n$.} 21. III.A.2) b) Soit $z \in \mathbb{C}$ tel que $|z|<1$. Montrer que la fonction $t \mapsto f(t,z)$ est dérivable sur $[0,1]$ et exprimer sa dérivée en fonction de $f(t,z)$. En déduire que, si $|z|<1$ et $z \neq 0$, $$ \sum_{n=0}^{+\infty} A_n(t)z^n = \frac{z e^{t z}}{e^z – 1} $$ 22. III.A.2) c) Montrer que, si $z \in \mathbb{C}$ et $|z| < 2\pi$, on a $$ \frac{z e^{z/2}}{e^z-1} + \frac{z}{e^z-1} = 2 \frac{z/2}{e^{z/2}-1}. $$ En déduire, pour tout entier naturel $n$, $A_n\left( \frac{1}{2} \right) = \left(2^{1-n} – 1\right)a_n$. 23. III.A.3) a) Montrer que pour tout entier naturel $n>2$, les variations des polynômes $A_n$ sur $[0,1]$ correspondent schématiquement aux quatre cas ci-dessous :
\emph{(quatre schémas, non retranscrits ici, sont donnés dans le texte)} \\ En d’autres termes, pour $n>2$, on a :
1. Si $n \equiv 2 \mod 4$, alors $A_n(0) = A_n(1) > 0 > A_n(\frac{1}{2})$ ; de plus, la fonction $A_n$ est strictement décroissante sur $[0,\frac{1}{2}]$ et strictement croissante sur $[\frac{1}{2}, 1]$.
2. Si $n \equiv 0 \mod 4$, alors $A_n(0) = A_n(1) < 0 < A_n(\frac{1}{2})$ ; de plus, la fonction $A_n$ est strictement croissante sur $[0,\frac{1}{2}]$ et strictement décroissante sur $[\frac{1}{2}, 1]$. 3. Si $n \equiv 1 \mod 4$, alors $A_n(0) = A_n(\frac{1}{2}) = A_n(1) = 0$ ; de plus, $A_n < 0$ sur $]0, \frac{1}{2}[$ et $A_n > 0$ sur $]\frac{1}{2}, 1[$.
4. Si $n \equiv 3 \mod 4$, alors $A_n(0) = A_n(\frac{1}{2}) = A_n(1) = 0$ ; de plus, $A_n > 0$ sur $]0, \frac{1}{2}[$ et $A_n < 0$ sur $]\frac{1}{2}, 1[$. 24. III.A.3) b) Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $x \in [0,1]$, montrer que $|A_{2n}(x)| \leq |a_{2n}|$ et $|A_{2n+1}(x)| \leq \frac{|a_{2n}|}{2}$. 25. III.B.1) a) Soit $f$ une fonction complexe de classe $C^\infty$ sur $[0,1]$. Montrer que pour tout entier $q>1$
$$
f(1) – f(0) = \sum_{j=1}^q (-1)^{j+1} \left[ A_j(t) f^{(j)}(t) \right]_0^1 + (-1)^q \int_0^1 A_q(t) f^{(q+1)}(t) dt
$$
}
26. III.B.1) b) En tenant compte des relations trouvées dans la partie précédente, montrer que pour tout entier naturel impair $q = 2p + 1$ :
$$
f(1) – f(0) = \frac{1}{2} \left( f'(0) + f'(1) \right) – \sum_{j=1}^p a_{2j} \left( f^{(2j)}(1) – f^{(2j)}(0) \right) – \int_0^1 A_{2p+1}(t) f^{(2p+2)}(t) dt
$$
27. III.B.2) Soit $n \in \mathbb{N}$ et soit $f$ une fonction réelle de classe $C^\infty$ sur $[n, +\infty[$. On suppose que $f$ et toutes ses dérivées sont de signe constant sur $[n, +\infty[$ et tendent vers $0$ en $+\infty$. \\ En appliquant, pour $k > n$, le résultat précédent à $f_k(t) = f(k+t)$, montrer
$$
\sum_{k=n}^{+\infty} f'(k) = -f(n) + \frac{1}{2} f'(n) – \sum_{j=1}^p a_{2j} f^{(2j)}(n) + \int_n^{+\infty} A^*_{2p+1}(t) f^{(2p+2)}(t) dt
$$
où on a posé $A^*_j(t) = A_j(t-[t])$ pour tout $t \in \mathbb{R}$. \\ Montrer que
$$
\left| \int_n^{+\infty} A^*_{2p+1}(t) f^{(2p+2)}(t) dt \right| \leq \left| \frac{a_{2p}}{2} f^{(2p+1)}(n) \right|
$$
28. III.B.3) Montrer que, dans l’expression de $R_n(\alpha)$ du II.B.2, le terme $O\left( \frac{1}{n^{2p+\alpha-1}} \right)$ peut s’écrire sous forme d’une intégrale.
29. IV.A.1) Soit $g$ une fonction continue par morceaux croissante sur $[0,1]$. \\ En remarquant $\int_0^1 = \int_0^{1/2} + \int_{1/2}^1$, montrer que
\begin{itemize}
\item si $n \equiv 1 \mod 4$, alors $\int_0^1 A_n(t) g(t) dt > 0$ ;
\item si $n \equiv 3 \mod 4$, alors $\int_0^1 A_n(t) g(t) dt \leq 0$.
\end{itemize}
30. IV.A.2) En reprenant les notations de II.B.2, montrer que pour tout entier naturel $p > 1$
\[
S_{en,4p}(\alpha) \leq S(\alpha) \leq S_{en,4p+2}(\alpha)
\]
et que
\[
S_{en,4p}(\alpha) \leq S(\alpha) \leq S_{en,4p-2}(\alpha)
\]
En déduire que l’erreur $|S(\alpha) – S_{en,2p}(\alpha)|$ est majorée par $| a_{2p+2} f^{(2p+2)}(n) |$.}
31. IV.A.3) Dans cette question, on reprend le cas de II.B.3. Sachant que $6! a_6 = \frac{1}{42}$, retrouver que l’erreur $|S(3) – S_{e100,4}(3)|$ est majorée par une expression de l’ordre de $10^{-17}$.
32. IV.B.1) Pour tout entier naturel $p > 1$ et tout réel $x$, on pose $\tilde{A}_p(x) = A_p \left( \frac{x}{2\pi} – \left[\frac{x}{2\pi}\right] \right)$. \\ Montrer que $\tilde{A}_p$ est $2 \pi$-périodique et continue par morceaux.
33. IV.B.2) À l’aide de la question III.B.1, déterminer les coefficients de Fourier de $\tilde{A}_p$ :
\[
\hat{b}_p(n) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \tilde{A}_p(t) e^{-i n x} dx
\]
34. IV.B.3) Étudier la convergence de la série de Fourier de $\tilde{A}_p$.
35. IV.B.4) Pour $p \in \mathbb{N}^*$, en déduire que $a_{2p} = A_{2p}(0) = \frac{(-1)^{p+1} S(2p) 2^{2p-1} \pi^{2p}}{}$.}
36. IV.C.1) Montrer que, pour tous entiers $n, p \geq 1$,
\[
\left| \frac{a_{2p+2} f^{(2p+2)}(n)}{a_{2p} f^{(2p)}(n)} \right| = \frac{(\alpha + 2p) (\alpha + 2p – 1) S(2p + 2)}{4 n^2 \pi^2 S(2p)}
\]
37. IV.C.2) Que dire de l’approximation de $S(\alpha)$ par $S_{en,2p}(\alpha)$ lorsque, $n$ étant fixé, $p$ tend vers $+\infty$ ? Pour le calcul numérique de $S(\alpha)$, comment doit-on choisir $n$ et $p$ ?}
FAQ
Le sujet aborde en profondeur la nature des séries de Riemann, les critères de convergence, l’utilisation d’encadrements via l’intégration et le développement asymptotique des restes de séries. Tu y croiseras aussi les techniques de sommation partielle et l’étude précise du comportement de sommes infinies selon les paramètres du problème, ce qui est clé en analyse avancée pour la prépa scientifique.
En mathématiques de CPGE, savoir maîtriser les développements asymptotiques donne un coup d’avance pour estimer l’erreur quand on somme une série ou qu’on approche une fonction. Les responsables du concours cherchent à tester ta capacité à ‘quantifier’ la précision de tes approximations grâce à la formule de Taylor avec reste, qui permet de contrôler rigoureusement les écarts. C’est ce savoir-faire qui fait la différence le jour J.
Les nombres de Bernoulli, ainsi que les polynômes de Bernoulli (ici notés \(A_n\)), émergent naturellement dès qu’on développe des restes de séries ou qu’on analyse des formules d’Euler-Maclaurin. Ils servent de coefficients dans les corrections apportées aux sommes ou intégrales, participant ainsi au calcul d’estimations fines. C’est aussi l’occasion de s’entraîner à manipuler des objets très présents en concours. Pense à débloquer les corrigés pour voir comment ces polynômes et ces nombres sont mis en œuvre pas à pas dans le corrigé détaillé de cette épreuve sur Prépa Booster !
La formule d’Euler-Maclaurin, et son exploitation dans l’étude des restes, sert à relier des sommes discrètes (typiques des séries) à des intégrales, tout en contrôlant précisément les erreurs d’approximation. C’est non seulement utile pour aborder de nombreux problèmes classiques de la MP, mais surtout, cela t’arme pour estimer rigoureusement des sommes difficiles sans calculatrices, compétence très recherchée dans les concours scientifiques.
La bonne pratique consiste à bien identifier les hypothèses sur la fonction ou la série, à savoir quelle méthode d’encadrement (intégrale, Taylor, inégalités) est la plus adaptée, et à toujours fournir un majorant explicite de l’erreur. Cela te permet de répondre complètement à la question et de gagner des points précieux au barème. Sur Prépa Booster, débloque les corrigés pour accéder à des exemples détaillés où chaque étape est expliquée pour maximiser ta précision dans les raisonnements.
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