Questions du sujet
1. I.1) Montrer qu’il existe un réel $c$ de l’intervalle $]1, 2[$ tel que $\Gamma'(c) = 0$. 2. I.2) En déduire que la fonction $\Gamma$ est strictement croissante sur l’intervalle $[2, +\infty[$. 3. I.3) Montrer que, pour tout nombre réel $\gamma > 0$, $\gamma^x = o(\Gamma(x))$ au voisinage de $+\infty$. 4. II.A.1) Établir que la fonction $\varphi$ est positive sur l’intervalle $[t_0, +\infty[$. (On pourra raisonner par l’absurde). 5. II.A.2) Soit $h$ un nombre réel strictement positif. \begin{itemize} \item[a)] Prouver que pour $n$ suffisamment grand, $0 \leq h\,\varphi(nh) \leq \int_{nh}^{(n+1)h} \varphi(t)\,dt$. \item[b)] Montrer que la série $\sum_{n=0}^{+\infty} h\,\varphi(nh)$ converge. \end{itemize}} 6. II.A.3) Prouver que : \[ \lim_{h \to 0,\, h > 0} h \sum_{n=0}^{+\infty} \varphi(nh) = \int_{0}^{+\infty} \varphi(t)\,dt. \] (On pourra introduire un nombre réel $a$ suffisamment grand et écrire : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} h\,\varphi(nh) = \sum_{n=0}^{[ah]} h\,\varphi(nh) + \sum_{n=[ah]+1}^{+\infty} h\,\varphi(nh) \] où $[ah]$ désigne la partie entière du nombre réel $ah$). 7. II.B.1) Vérifier que la fonction $g_\alpha$ satisfait aux conditions du II.A. En déduire que : \[ \lim_{x\to 1,\, x < 1} \left(-\ln x \right) \sum_{n=0}^{+\infty} g_\alpha(-n \ln x) = \Gamma(\alpha). \] 8. II.B.2) On considère la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} n^{\alpha-1} x^n$. \begin{itemize} \item[a)] Établir que le rayon de convergence de cette série entière est égal à $1$. On note $S_\alpha$ la somme de cette série entière. \item[b)] Prouver que, lorsque $x$ tend vers $1$ avec $x < 1$, alors : \[ S_\alpha(x) \sim \Gamma(\alpha) (1-x)^{-\alpha}. \] \end{itemize} 9. III.A.1) Établir que, pour tout couple $(\alpha,\beta)$ de nombres réels strictement positifs, la fonction $t\mapsto t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}$ est intégrable sur l’intervalle $]0,1[$. \\ Pour tout couple $(\alpha,\beta)$ de réels strictement positifs, on pose : \[ B(\alpha,\beta)=\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt. \] 10. III.A.2) Prouver successivement pour tout couple $(\alpha,\beta)$ de réels strictement positifs, les relations suivantes : \begin{enumerate} \item[(i)] $B(\alpha,\beta)=B(\beta,\alpha)$ \item[(ii)] $B(\alpha,\beta)=\int_0^{+\infty} \frac{t^{\alpha-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\,dt$ (on pourra utiliser le changement de variable $u = \frac{t}{1-t}$.) \item[(iii)] $B(\alpha+1, \beta)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}B(\alpha,\beta)$ \end{enumerate}} 11. III.B.1) À l’aide de la relation (iii), montrer qu’il suffit de prouver l’assertion lorsque les réels $\alpha$ et $\beta$ sont strictement supérieurs à $2$. 12. III.B.2) Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels strictement supérieurs à $2$. Pour tout entier $n$ strictement positif, on pose : \[ u_n(\alpha,\beta) = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} \alpha-1 \binom{1-\frac{k}{n}}{\beta-1} \] \begin{itemize} \item[a)] Établir que la fonction $\psi_{\alpha,\beta} : t \mapsto t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}$ est lipschitzienne sur le segment $[0,1]$.\\ On note $A_{\alpha,\beta}$ un rapport de Lipschitz de cette fonction, c’est-à-dire tel que : $\forall x, y\in [0,1]$, $|\psi_{\alpha,\beta}(x) - \psi_{\alpha,\beta}(y)|\leq A_{\alpha,\beta}|x-y|$. \item[b)] Prouver que, pour tout entier $n$ strictement positif, $|u_n(\alpha,\beta) - B(\alpha,\beta)|\leq \frac{A_{\alpha,\beta}}{2n}$. \item[c)] On reprend les notations de la question (II.B.2).\\ Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[0,1[$ : \[ \frac{S_\alpha(x)}{S_\beta(x)} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{u_n(\alpha,\beta)}{n^{\alpha+\beta-1}} x^n. \] Déduire de la question 2.b) que, pour tout réel $x$, $0\leq x < 1$, $|S_\alpha(x)S_\beta(x) - B(\alpha,\beta) S_{\alpha+\beta}(x)| \leq A_{\alpha,\beta} 2 S_{\alpha+\beta-1}(x)$.\\ En utilisant le comportement des fonctions $(S_\gamma)_{\gamma>0}$ au voisinage du point $1$, conclure que : \[ \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)=B(\alpha,\beta)\Gamma(\alpha+\beta). \] \end{itemize} 13. III.C.1) Établir que la fonction $\alpha\mapsto B(\alpha, 1-\alpha)$ est continue sur l’intervalle $]0,1[$. 14. III.C.2) Soient $p$ et $q$ deux entiers tels que $0FAQ
Ce sujet aborde des notions incontournables des maths en CPGE scientifique, notamment les propriétés de la fonction Gamma, les séries entières, l’intégrale de Beta, les changements de variables en analyse réelle, la convergence de séries et d’intégrales, les applications linéaires sur les espaces de fonctions continues, ainsi que l’étude d’opérateurs particuliers (comme les opérateurs d’Abel). Tu retrouveras aussi l’inévitable étude de comportements asymptotiques et des démonstrations classiques par récurrence ou par l’absurde, qui sont au cœur des concours d’entrée aux grandes écoles d’ingénieurs. Si tu veux accéder à un corrigé détaillé de chaque question et à de nombreux exercices d’entraînement supplémentaires, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
La fonction Gamma est une extension de la factorielle aux réels strictement positifs (et même aux complexes à part les entiers négatifs), définie par une intégrale impropre de la forme \( \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \:dt \). Elle intervient dans un très grand nombre de domaines, comme l’étude des séries, les intégrales spéciales, ou encore la résolution d’équations différentielles. Dans ce sujet Centrale 2009, elle sert de fil rouge pour explorer différents outils d’analyse : comportement asymptotique, séries génératrices, et relations avec la fonction Beta. Savoir manipuler Gamma, ses propriétés et ses généralisations, c’est une arme redoutable en maths sup et maths spé !
L’intégrale de Beta, souvent notée \( B(\alpha, \beta) \), représente une autre fonction spéciale fondamentale en analyse, puisqu’elle relie la fonction Gamma via la célèbre relation \( \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta) = B(\alpha,\beta)\Gamma(\alpha+\beta) \). Elle permet d’évaluer ou de transformer certaines intégrales compliquées, d’illustrer des changements de variables astucieux, et d’obtenir des identités très utiles dans l’étude des séries et des probabilités. Pour Centrale (et plus largement tous les concours CPGE), il faut absolument maîtriser sa définition, ses propriétés symétriques et les techniques pour prouver ses différentes formes (intégrale sur ]0,1[, transformation en intégrale sur [0,+∞[). Tu retrouveras des applications directes dans les annales et dans le corrigé complet sur Prépa Booster.
Les comportements asymptotiques (notamment le symbole « o », qui signifie « négligeable devant » au voisinage d’un point) sont essentiels dans de nombreuses questions d’analyse, et particulièrement dans tous les sujets type Centrale où l’on te demande de comparer des fonctions, des séries ou de démontrer des limites délicates. Savoir manipuler correctement le « petit o » permet d’aller bien au-delà des calculs bruts : tu démontres avec rigueur les ordres de grandeur, tu généralises des résultats, et tu valides la convergence (ou la divergence) de suites ou d’intégrales. Dans ce sujet, cette compétence est directement mise en jeu dans l’étude du comportement de la fonction Gamma ou des séries génératrices.
Pour performer sur un sujet de ce type, il faut absolument être à l’aise avec : l’intégration par parties, les changements de variables utilisés de manière créative (par exemple de ]0,1[ vers [0,+∞[), la comparaison de séries et d’intégrales (avec le critère d’équivalence, test de convergence, etc.), la continuité et la positivité des fonctions, les arguments par l’absurde, et la manipulation d’opérateurs linéaires sur les espaces de fonctions. Un atout supplémentaire consiste à bien savoir exploiter les propriétés des fonctions spéciales (Gamma, Beta…) pour relier différents champs des maths, ce qui sera central à la fois dans le dossier d’analyse et dans l’étude des applications linéaires.
Le meilleur conseil, c’est de t’entraîner sur des questions transversales : ne te limite pas aux classiques, va chercher des annales qui travaillent à la fois l’analyse (intégrales, séries, études de fonctions spéciales) et l’algèbre (opérateurs, propriétés de linéarité, espaces fonctionnels). Bien comprendre les preuves (pas seulement les apprendre par cœur) te permet de réagir lorsque le sujet dévie de la routine. Enfin, n’hésite pas à t’appuyer sur des corrigés détaillés, comme ceux de Prépa Booster, pour identifier les points techniques ou les astuces de rédaction attendues par les correcteurs.