Questions du sujet
1. I.A – Question de cours
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions uniformément convergente sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et soit $a \in \overline{I}$.
On note $U = \lim_{n\to +\infty} u_n$ et on suppose que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\lim_{x \to a} u_n(x) = \ell_n$.
Démontrer que $(\ell_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est convergente, on note $\ell$ sa limite.
Montrer que $U(x) \xrightarrow[x \to a]{} \ell$.
2. I.B – Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ à valeurs complexes, continue par morceaux et $T$-périodique et soit $k \in \mathbb{Z}$ ; étudier $\lim_{t \to +\infty} \frac{1}{t}\int_0^t e^{ikx} g(x)dx$ (on distinguera les cas $kT \in 2\pi\mathbb{Z}$ et $kT \notin 2\pi\mathbb{Z}$).
3. I.C – Soit $f \in \mathcal{C}^0_{2\pi}$, de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux et soit $g$ une fonction continue par morceaux et $T$-périodique.
I.C.1) On suppose $\frac{T}{2\pi} \notin \mathbb{Q}$. Montrer que $\frac{1}{t} \int_0^t f(x)g(x)dx$ admet une limite finie quand $t \to +\infty$ et que cette limite vaut $c_0(f)c_0(g)$.
4. I.C.2) On suppose $\frac{T}{2\pi}\in\mathbb{Q}$. On pose $\frac{T}{2\pi} = \frac{p}{q}$ irréductible.
Montrer que $\frac{1}{t} \int_0^t f(x)g(x)dx$ admet une limite quand $t \to +\infty$ et exprimer cette limite à l’aide des coefficients de Fourier complexes de $f$ et $g$.
Lorsque les coefficients de Fourier complexes de $f$ et $g$ sont tous des réels positifs, montrer que $\lim_{t \to +\infty}\frac{1}{t} \int_0^t f(x)g(x)dx > c_0(f)c_0(g)$.
5. II.A – Soit $\varphi$ appartenant à $\mathcal{C}^0_T$, et soit $k \in \mathbb{Z}$. On note $e_k$ la fonction $x \mapsto e_k(x) = e^{-\frac{\pi}{2}ikx/T}$. Comparer $c_k(\varphi)$ et $c_0(e_k\varphi)$.}
6. II.B – Soient $a$ et $b$ deux fonctions continues, $2\pi$-périodiques sur $\mathbb{R}$.
On suppose que l’équation différentielle $y” + a(x)y’ + b(x)y = 0$ possède une solution $y_0$ sur $\mathbb{R}$, non nulle et $T$-périodique avec $\frac{T}{2\pi} \notin \mathbb{Q}$.
Prouver que $y_0$ est solution de l’équation différentielle $y” + c_0(a)y’ + c_0(b)y = 0$.
7. III.A.1) Montrer que $(C_0)$ et $(C(t))$ sont tangents et déterminer l’affixe $h(t)$ de leur point de contact $H(t)$.
8. III.A.2) Soit $M(t)$ le point de $(C(t))$ tel que $(\overrightarrow{\Omega(t)H(t)}, \overrightarrow{\Omega(t)M(t)})=qt$. Déterminer l’affixe $z(t)$ de $M(t)$.
9. III.B.1) Justifier l’existence d’une fonction périodique $\rho$ à valeurs strictement positives, de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et d’une fonction $\theta$ à valeurs réelles, de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$, telles que $\forall t \in \mathbb{R},\ z(t) = \rho(t)e^{i\theta(t)}$. Préciser une période de la fonction $\rho$.
10. III.B.2) Étudier et représenter la courbe lorsque $q =\frac{5}{2}$.}
11. III.B.3) Montrer que l’épicycloïde est formée d’arcs isométriques (appelés arches) se rejoignant en des points de rebroussements. Déterminer les affixes de ces points.
12. III.B.4) Calculer la longueur d’une arche.
Lorsque $q$ est entier, calculer la longueur totale et l’aire de l’épicycloïde en fonction de la longueur et l’aire du cercle $(C_0)$ et du nombre $q$.
13. III.C.1) Soit $m \in \mathbb{N}$ et $n \in \mathbb{N}^*$, montrer que $\lim_{t \to +\infty}\frac{1}{t}\int_0^t\rho^m(x)e^{in \theta(x)}dx=0$.
Indication : on pourra exprimer $e^{i\theta(x)}$ en fonction de $z(x)$ et $\rho(x)$ et utiliser la question 3 de la partie préliminaire.
Déterminer $\lim_{t \to +\infty}\frac{1}{t}\int_0^t\rho^m(x)e^{in \theta(x)}dx=0$ pour tout $(m,n)\in\mathbb{N}\times\mathbb{Z}$.
14. III.C.2) Soit $P$ un polynôme et $Q$ un polynôme trigonométrique, déterminer
$$
\lim_{t\to +\infty} \frac{1}{t}\int_0^t P(\rho(x))Q(\theta(x))dx
$$
En déduire
$$
\lim_{t\to +\infty} \frac{1}{t}\int_0^t f(\rho(x))g(\theta(x)) dx,
$$
lorsque $f$ est une fonction définie et continue sur $[R, R+2r]$ et $g$ une fonction continue $2\pi$-périodique.
15. III.C.3) Soient $(\rho_0, \epsilon) \in [r, R+2r] \times \mathbb{R}^*_+$ tels que $[\rho_0-\epsilon, \rho_0+\epsilon] \subset [R, R+2r]$ et soit $(\theta_0, \eta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*_+$.
On considère la partie $\mathcal{P}$ du plan constituée des points $M$ d’affixe $z$ tels que $|z| \in [\rho_0-\epsilon, \rho_0+\epsilon]$ et $\Arg(z) \in [\theta_0-\eta, \theta_0+\eta]$.
En considérant des fonctions $f$ et $g$ bien choisies, montrer que $\mathcal{P} \cap \mathcal{E} \neq \emptyset$.}
16. III.C.4) En déduire que l’épicycloïde est dense dans la couronne $\mathcal{C}$.
17. IV.A.1) Soit $h$ la fonction créneau, paire et $1$-périodique définie sur $[0, 1/2]$ par $h(x)=1$ si $0 \leq x \leq r$, $0$ sinon.
a) Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, la fonction $t \mapsto h(t)h(x-t)$ est intégrable sur $[-1/2, 1/2]$.
Soit $u$ définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = \int_{-1/2}^{1/2} h(t)h(x-t)dt$.
b) Montrer que $u$ est paire, $1$-périodique, et que $u(x) = \int_{x-r}^{x+r} h(y)dy$. En déduire que $u$ est continue et $\mathcal{C}^1$ par morceaux. Vérifier que tous ses coefficients de Fourier complexes sont positifs. Calculer $c_0(u)$.
18. IV.A.2) Pour $\theta \in \mathbb{R}$, montrer que la fonction
$$
t \mapsto \frac{1}{t} \int_0^t u(x\cos{\theta})u(x\sin{\theta}) dx
$$
admet une limite finie strictement positive notée $\ell(\theta)$ lorsque $t\to +\infty$.
19. IV.A.3) Pour $t\in \mathbb{R}$, montrer que la fonction
$$
\theta \mapsto \int_0^t u(x\cos{\theta})u(x\sin{\theta}) dx
$$
est continue sur $\mathbb{R}$.
20. IV.A.4) En déduire l’existence d’un réel $R$ tel que, pour tout $\theta\in\mathbb{R}$,
$$
\int_0^t u(x\cos{\theta})u(x\sin{\theta})dx > 1.
$$
Prouver qu’il existe $x\in ]0, R]$ tel que $u(x\cos{\theta})u(x\sin{\theta}) \neq 0$ et conclure.}
21. IV.B.1) Pour $(r, \theta)\in \mathbb{R}^2$, on note $A(r,\theta)$ le point d’affixe $re^{i\theta}$.
Soit $I = \{ r \in \mathbb{R}_+^* \mid \forall \theta \in [0, 2\pi[, F\cap [O, A(r,\theta)] \neq \emptyset \}$.
Montrer que $I$ est un intervalle non vide, on note $R_0$ sa borne inférieure, montrer que $R_0>0$.
L’intervalle $I$ est-il ouvert ? fermé ?
22. IV.B.2) On suppose que l’on dispose d’une fonction tri qui prend en argument une liste de couples de réels et retourne la liste triée dans l’ordre croissant des premiers éléments des couples.
Décrire un algorithme donnant un encadrement de $R_0$ par deux entiers consécutifs.
23. IV.C – Arbres ronds
Que peut-on dire si les arbres sont représentés par des disques fermés ?}
FAQ
La convergence uniforme est essentielle en analyse, notamment pour comprendre quand on peut permuter limite et intégrale ou limite et continuité. Pour l’épreuve Centrale MP 2007, savoir démontrer la convergence d’une suite de fonctions, justifier l’échange des limites, et faire le lien avec la continuité ponctuelle est capital. Ce sont des techniques classiques mais trop souvent mal assimilées, donc révise bien les critères — et pense à t’entraîner avec les corrigés détaillés accessibles en débloquant la correction sur Prépa Booster.
Les coefficients de Fourier sont incontournables quand il s’agit d’analyser les fonctions périodiques, étudier des intégrales de produits de fonctions ou résoudre des équations différentielles à coefficients périodiques. Ils permettent de décomposer une fonction en une série harmonique et d’obtenir des résultats d’orthogonalité puissants, très appréciés au concours. Si tu veux progresser sur ces questions, rien ne vaut des exercices corrigés, que tu peux retrouver en débloquant les corrigés sur Prépa Booster.
Sur ce type de problème, il faut bien cerner la structure de l’équation et exploiter habilement la périodicité : faire ressortir les moyennes (coefficients de Fourier d’ordre 0), utiliser la densité ou la non-commensurabilité des périodes, et parfois décomposer la solution en série de Fourier. Toujours vérifier la régularité, la périodicité des solutions et discuter l’unicité. Ce sont des astuces classiques mais souvent source de pièges : entraîne-toi régulièrement, notamment avec les corrigés complets et commentés mis à disposition après déblocage sur Prépa Booster.
Dès qu’on aborde l’étude d’épicycloïdes ou d’autres courbes paramétrées, il faut manier avec aisance la géométrie complexe, la dérivation des affixes, l’analyse des points de rebroussement, d’intersection et d’isométrie. Ces courbes cachent souvent des propriétés de périodicité ou de symétrie à exploiter, et la densité ou la longueur d’une arche sont des classiques. Un bon conseil : trace toujours la courbe, analyse sa symétrie et base-toi sur les unités complexes pour simplifier les calculs. Approfondis ces points avec les exercices corrigés et dashboards personnalisés accessibles sur Prépa Booster.
Lorsqu’une question te demande de montrer qu’une courbe est dense dans une couronne ou une partie du plan, il s’agit d’un résultat profond lié à l’irrationalité d’un rapport de périodes, à la répartition des valeurs prises par la paramétrisation. Le raisonnement passe souvent par des arguments d’analyse ou d’ergodicité : il faut montrer que, quelle que soit la zone choisie, il existe des points de la courbe aussi proches que voulu. Ce type de question teste ta capacité à relier géométrie, analyse et arithmétique. C’est exactement le genre de subtilité abordée dans les corrigés détaillés sur Prépa Booster, n’hésite pas à débloquer pour progresser !