Questions du sujet
1. I.A.1) Calculer, sous forme trigonométrique réelle, les coefficients de Fourier de la fonction $F$ $2\pi$-périodique impaire : $f$, nulle en $0$ et $\pi$, et égale à $1$ sur $]0,\pi[$. Pour tout entier $n \ge 0$, expliciter la somme partielle de Fourier de $f$. 2. I.A.2) Que peut-on dire de la suite de fonctions $S_n(f)$ ? En déduire la valeur de $\displaystyle S_1 = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{2n+1}$. 3. I.A.3) Calculer $\displaystyle S_2 = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)^2}$. 4. I.B.1) Préciser le domaine d’existence dans $\mathbb{R}$ de $L(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{2n}}{n+1}$. Exprimer $L(x)$ à l’aide de fonctions usuelles. 5. I.B.2) Calculer l’intégrale $I = \int_0^1 \dfrac{2\ln(x)}{x^2-1}dx$.} 6. I.B.3) En déduire la valeur de $\displaystyle S_2 = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n+1)(n+1)}$. 7. I.B.4) Exprimer $S_3 = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2-1}$ en fonction de $S_1$ et $S_2$. En déduire la valeur de $S_3$. 8. II.A – Montrer que le domaine de définition de $F$ est $\Omega = \{z \in \mathbb{C} \mid \Re(z)<1\}$. On pose $I = \Omega \cap \mathbb{R} = ]-\infty,1[$. 9. II.B - Déterminer la limite de $F(z)$ quand la partie réelle de $z$ tend vers $-\infty$. 10. II.C.1) Déterminer la limite de $F(x)$ quand le réel $x$ tend vers $1$.} 11. II.C.2) Pour tout $x\in I$, on pose $G(x) = \int_0^1 -x\ln(t)dt$. Calculer $G(x)$. 12. II.C.3) Prouver que la limite de $F(x)-G(x)$, quand $x$ tend vers $1$, existe et est finie. 13. II.C.4) En déduire la limite de $F(x)$ quand $x$ tend vers $1$. 14. II.D - Montrer que la restriction de $F$ à $I$ est $C^{\infty}$. Pour tout $x \in I$, donner l’expression de la dérivée sous forme intégrale. 15. II.E.1) Établir que $F$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\Omega$. Si $k$ et $l$ sont deux entiers et si $z\in\Omega$, exprimer la dérivée partielle $\dfrac{\partial^{k+l} F}{\partial x^k \partial y^l}(z)$ sous la forme d’une intégrale.} 16. II.E.2) Comparer $\dfrac{\partial F}{\partial x}$ et $\dfrac{\partial F}{\partial y}$. 17. II.E.3) Évaluer $\dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 F}{\partial y^2}$. 18. II.F.1) Soient $z\in\Omega$ et $(z_n)$ une suite de points de $\Omega$, distincts de $z$, qui converge vers $z$. Prouver l’existence de \\[1ex] $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{F(z_n)-F(z)}{z_n-z}$. \\[1ex] On pourra utiliser la continuité de $\dfrac{\partial F}{\partial x}$ et de $\dfrac{\partial F}{\partial y}$, ainsi que le résultat de II.E.2. On observera que cette limite ne dépend que de $z$ et non de la suite $(z_n)$. Par la suite, on note cette limite $DF(z)$. On définit ainsi une application $DF : \Omega \to \mathbb{C}$. 19. II.F.2) Pour tout entier $k\geq 2$, démontrer l’existence de l’application $D^k F : \Omega \to \mathbb{C}$. On convient que $D^1 F = DF$. 20. II.G.1) Pour tout réel $t>0$, développer en série entière de $z$ la fonction $z \mapsto F(z)$. Préciser le rayon de convergence.} 21. II.G.2) Établir qu’au voisinage de $z = 1$,\\[1ex] $F(z) = \sum_{k=0}^{+\infty} c_k (z-1)^k$, où $c_k = \dfrac{1}{k!}\int_0^1 (-\ln t)^k dt$. 22. II.G.3) Quel est le rayon de convergence de la série entière (1) ? 23. II.H.1) Déterminer un équivalent de $t\ln(1-t)$ quand $t\to 0$. 24. II.H.2) Quelle est la nature de la série (1) quand $k \to \infty$ ? 25. III.A.1) Développer en série entière de $z$ la fonction $\displaystyle z \mapsto \int_0^1 t^n z^{-t}dt$. Préciser le rayon de convergence.} 26. III.A.2) Pour tout entier $n \geq 0$ et tout $z \in \Omega$, calculer $\displaystyle u_n(z) = \int_0^1 t^n z^{-t}dt$. 27. III.A.3) Démontrer que $\displaystyle F(z) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n n!}z^{-n}$. 28. III.B.1) Pour tout $x\in I$, exprimer $\varphi(x) = \int_{-\infty}^x F(u)du$ sous forme d’une série ne faisant plus intervenir d’intégrale. Préciser $\varphi(0)$. 29. III.B.2) Déterminer un équivalent de $\varphi(x)$ quand $x$ tend vers $-\infty$. 30. III.C.1) Si $y \in \mathbb{R}$, on pose $H(y) = F(iy)$. Les fonctions $H$ et $H^2$ sont-elles intégrables sur $\mathbb{R}$ ? Préciser la valeur de $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} H(y)dy$.} 31. III.C.2) Pour quelles valeurs des réels $\alpha$ et $\beta$, la somme $S(\alpha,\beta) = \sum_{m,n\geq 1} (mn)^{-\alpha}(m+n)^{-\beta}$ est-elle finie ? 32. III.C.3) Si $K_{m,n} = \dfrac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} H^2(y) (y-im)^{-2}(y-in)^{-2}dy$ où $m$ et $n$ sont des entiers $\geq 1$, calculer $K_{m,n}$. En déduire la valeur de $S(\alpha,\beta)$ sous la forme d’une série. 33. III.D.1) Démontrer que la série de fonctions obtenue en III.A.3 converge sur un domaine de $\mathbb{C}$ que l’on précisera. On note encore $F$ le prolongement de $F$ à $\tilde{\Omega}$. Prouver que $F$ est de classe $C^\infty$ sur $\tilde{\Omega}$. 34. III.D.2) Soient $p_0 > 0$ un réel, $n_0 \geq 0$ un entier, $z, z’$ deux complexes dont les parties réelles sont majorées par $p_0$. Pour tout entier $p > n_0$, majorer $|F(z’) – \sum_{n=0}^{n_0} c_n (z’-z)^n|$ en fonction de $p_0$, $n_0$, $p$ et $z’-z$. 35. III.D.3) Avec les notations de II.F.1 et II.F.2, pour tout entier $k \geq 1$ et tout $z \in \tilde{\Omega}$, établir l’existence de $D^k F(z)$ qu’on exprimera sous forme de somme d’une série.} 36. III.E.1) Pour tout entier $k\geq 0$, évaluer $c_k$, défini en II.G.2, sous forme de somme d’une série numérique. 37. III.E.2) Retrouver, à l’aide du III.E.1, le résultat obtenu en II.H.1.}FAQ
Le sujet de mathématiques de la filière MP au concours Centrale 2004 couvre plusieurs domaines classiques des CPGE scientifiques : analyse réelle et complexe (fonction définie par intégrale, étude des séries), développement en série entière, coefficients de Fourier, régularité des fonctions, propriétés des sommes et séries numériques, ainsi qu’un volet sur l’intégrabilité et l’étude fine des limites. C’est un condensé des classiques du programme MP, idéal pour consolider tes méthodes et savoir-faire avant le concours.
Les séries de Fourier sont incontournables en maths spé MP car elles permettent de représenter toute fonction périodique sous forme de série harmonique. Elles interviennent fréquemment dans l’analyse de signaux, la résolution d’équations différentielles, ou en physique (ondes, chaleur). Bien les maîtriser, c’est gagner en efficacité sur beaucoup de questions du concours, comme celles proposées dans le sujet Centrale 2004.
Pour exceller sur les séries numériques, tu dois maîtriser absolument les tests de convergence, les manipulations d’indices et la transformation de séries (par exemple : passage de la somme double à une somme simple). Savoir utiliser la linéarité, l’intégration terme à terme ou l’étude d’équivalents te donnera l’avantage. Sur Prépa Booster, débloque les corrigés pour voir ces méthodes mises en application sur chaque type d’exercice du sujet.
L’analyse complexe est un incontournable au concours Centrale, notamment pour tout ce qui touche aux fonctions holomorphes, développements en série entière, intégrales sur le plan complexe et propriétés de régularité. Elle est centrale dans les sujets car elle permet de regrouper des techniques analytiques puissantes et de mettre en avant la maîtrise du programme MP.
Il faut d’abord savoir identifier le domaine de définition, étudier la régularité (continuité, dérivabilité), puis travailler les changements de variable, l’interversion somme/intégrale, et la maîtrise des convergences. Les sujets comme celui de Centrale 2004 aiment ces types de fonctions car ils permettent d’explorer ton aisance avec l’analyse. Pour voir la méthode et les astuces, pense à débloquer les corrigés détaillés sur Prépa Booster !
Une somme double, c’est simplement une série à deux indices (exemple : ∑∑ f(m, n)). Pour la traiter efficacement, il faut savoir jouer avec les changements d’ordre de sommation, transformer la somme double en une somme simple quand c’est possible, et utiliser les propriétés d’indépendance des indices. Ces techniques sont souvent attendues dans les sujets riches comme celui de Centrale 2004.
La régularité C∞ d’une fonction, c’est sa capacité à avoir des dérivées de tout ordre. Cette propriété est clé pour intervertir somme et dérivation ou intégration, optimiser des raisonnements par récurrence sur la différentiation, et garantir des développements en série. Les correcteurs attendent que tu saches justifier cette régularité, surtout sur les sujets d’intégrale paramétrée comme au concours Centrale MP.
Étudier un équivalent, c’est maîtriser le comportement local fin d’une fonction ou d’une série, souvent au voisinage de 0 ou d’une limite de définition. Cela te permet d’analyser les divergences/convergences, d’anticiper la régularité ou la nature d’une série, et d’appuyer la rédaction d’une majoration ou minoration précise lors du concours.
Pour accéder aux corrigés détaillés de l’épreuve écrite Centrale MP (ainsi qu’aux exercices corrigés par notion et à ton espace dashboard personnalisé), il suffit de débloquer les corrigés sur Prépa Booster. Tu pourras ainsi t’entraîner sur des corrigés rédigés comme à l’oral, revoir toutes tes méthodes, et profiter d’outils pour suivre ta progression.