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CCINP Maths 2 PSI 2012

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Questions du sujet

1. L.1\quad Dessiner les ensembles $T$ et $D$ sur un même dessin. En notant $x$ et $y$ l’abscisse et l’ordonnée d’un point du plan complexe, donner les équations cartésiennes des côtés du triangle $PQR$. Déterminer les équations cartésiennes des droites $(PQ)$, $(QR)$ et $(RP)$. Montrer qu’un point $M(x+iy)$ appartient à $T$ si et seulement si $x$ et $y$ vérifient les trois inégalités : \[ 2x+1>0,\quad x-\sqrt{3}y-1<0,\quad x+\sqrt{3}y-1<0. \] 2. L.2\quad Dans cette question, on considère une matrice $A=(a_{i,j}) \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ qui vérifie la propriété $(ST>0)$. \begin{itemize} \item[L.2.1] Montrer que $1$ est valeur propre de $A$.\\ Dans la suite de la question L.2, on suppose que les autres valeurs propres de $A$ sont des nombres complexes conjugués distincts, $\lambda$ et $\overline{\lambda}$, avec $0<|\lambda|<1$. On note $\lambda = a+ib$. \item[L.2.2] Exprimer $\operatorname{tr}(A)$ et $\operatorname{tr}(A^2)$ en fonction de $a$ et $b$, puis en fonction de $\lambda$ et $\overline{\lambda}$. \item[L.2.3] Montrer les inégalités $\operatorname{tr}(A) > 0$ et $\operatorname{tr}(A^2) > a_{1,1}^2 + a_{2,2}^2 + a_{3,3}^2$. En déduire l’inégalité $(\operatorname{tr}(A))^2 < 3\operatorname{tr}(A^2)$ en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs $u=(a_{1,1},a_{2,2},a_{3,3})$ et $v=(1,1,1)$ de $\mathbb{R}^3$. \item[L.2.4] Déduire des L.2.2 et L.2.3 les inégalités : \[ 2a+1>0\quad (a-\sqrt{3}b-1)(a+\sqrt{3}b-1)>0. \] \item[L.2.5] Déduire des questions précédentes que le point $M(\lambda)$ appartient à $T$ (on pourra considérer les régions de $D$ délimitées par les côtés du triangle $PQR$). \end{itemize} 3. L.3\quad Dans cette question, on note $\lambda = re^{i\theta}$ avec $00)$. \item[L.3.3] Soit $J = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Calculer $J^2$ et $J^3$. Déterminer les valeurs propres, réelles ou complexes, de la matrice $J$. \item[L.3.4] Exprimer la matrice $A$ en fonction des matrices $I_3$, $J$ et $J^2$. Déterminer un polynôme $P$ de degré $\leq 2$ tel que $A = P(J)$. En déduire que $1,\, \lambda$ et $\bar{\lambda}$ sont les valeurs propres de $A$. \end{itemize} } 4. II.1\quad Soit $U = \begin{pmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ le vecteur colonne dont tous les coefficients valent $1$. Calculer $AU$, en déduire que $1$ est valeur propre de $A$. 5. II.2\quad Précision sur $\operatorname{Sp}_\mathbb{C}(A)$ \begin{itemize} \item[II.2.1] Soient une matrice $B=(b_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que $\det(B)=0$ et un vecteur colonne $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})$, $X\neq 0$, tel que $BX=0$. Soit $k\in [1,n]$ tel que $|x_k| = \max\limits_{i\in [1,n]} |x_i|$. Justifier l’inégalité : \[ |b_{k,k}| \leq \sum_{j\neq k} |b_{k,j}|. \] \item[II.2.2] Soit $\lambda\in\operatorname{Sp}_\mathbb{C}(A)$. En appliquant II.2.1 à la matrice $B = A-\lambda I_n$, montrer que $|a_{k,k} – \lambda| \leq 1-a_{k,k}$, où $k$ est l’entier défini dans II.2.1. En déduire $|\lambda|\leq 1$. \item[II.2.3] On suppose que $\lambda\in \operatorname{Sp}_\mathbb{C}(A)$ vérifie $|\lambda|=1$ et on note $\lambda = e^{i\theta}$ avec $\theta\in\mathbb{R}$. Déduire de l’inégalité $|a_{k,k}-e^{i\theta}| \leq 1-a_{k,k}$ de II.2.2 que $\cos(\theta)=1$, puis en déduire $\lambda$. \end{itemize} 6. II.3\quad Dimension de $E_1(A)$ \begin{itemize} \item[II.3.1] Montrer que $1\in\operatorname{Sp}_\mathbb{C}(A)$. En comparant le rang de $A-I_n$ et celui de $A^\mathrm{t}-I_n$, montrer que les sous-espaces $E_1(A)$ et $E_1(A^\mathrm{t})$ ont même dimension. \item[II.3.2] Soit $V = \begin{pmatrix} v_1\\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})$, $V\neq 0$, tel que $A V = V$. Montrer que pour tout $i\in[1,n]$, on a $|v_i| \leq \sum_{j\in[1,n]} a_{j,i}|v_j|$. En calculant $\sum_{i\in[1,n]} |v_i|$, montrer que toutes ces inégalités sont en fait des égalités. \item[II.3.3] Soient $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$ des matrices non nulles de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})$ qui appartiennent à $E_1(A)$. En considérant la matrice $X-\dfrac{x_1}{y_1}Y$, déterminer la dimension de $E_1(A)$.\\ Justifier qu’il existe un vecteur unique $\Omega = \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \vdots \\ \omega_n \end{pmatrix}$ qui engendre $E_1(A^\mathrm{t})$, tel que pour tout $i\in[1,n]$, on ait $\omega_i>0$ et $\sum_{i=1}^n \omega_i = 1$.\\ Montrer que, pour tout $i\in[1,n]$, on a $\sum_{j=1}^n a_{j,i}\omega_j = \omega_i$. \end{itemize} 7. II.4\quad À l’aide de la matrice $\Omega = \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \vdots \\ \omega_n \end{pmatrix}$ définie en II.3.3, on considère l’application \[ N : \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{R},\quad N(X) = \sum_{i\in[1,n]} \omega_i|x_i|. \] Montrer que $N$ est une norme sur $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})$. Montrer que pour tout $X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})$ on a $N(AX) \leq N(X)$. Retrouver le résultat de II.2.2 : tout $\lambda\in \operatorname{Sp}_\mathbb{C}(A)$ vérifie $|\lambda|\leq 1$. } 8. II.5\quad Ordre de multiplicité de la valeur propre $1$ de $A$\\ À l’aide de la matrice colonne $\Omega = \begin{pmatrix} \omega_1 \\ \vdots \\ \omega_n \end{pmatrix}$, on considère la forme linéaire $\Phi : \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{C}$ définie par : \[ \forall X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C}),\ \Phi(X) = \sum_{i=1}^n \omega_i x_i. \] On note $\operatorname{Ker}(\Phi)$ le noyau de $\Phi$. \begin{itemize} \item[II.5.1] Montrer que pour tout $X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C})$, on a $\Phi(AX)=\Phi(X)$. \item[II.5.2] Justifier que $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{C}) = E_1(A) \oplus \operatorname{Ker}(\Phi)$. \item[II.5.3] Soit $X\in E_\lambda(A)$ avec $\lambda \neq 1$. Montrer que $X\in \operatorname{Ker}(\Phi)$. \item[II.5.4] En utilisant les résultats précédents, déterminer l’ordre de multiplicité de la valeur propre $1$ de la matrice $A$. \end{itemize} }

FAQ

Qu’est-ce qu’une valeur propre et un vecteur propre d’une matrice, et pourquoi sont-ils incontournables en CPGE scientifique PSI ?

Une valeur propre d’une matrice carrée est un nombre complexe λ pour lequel il existe un vecteur non nul (appelé vecteur propre) tel que la matrice appliquée à ce vecteur soit égale à λ fois ce vecteur. Ces notions sont centrales en mathématiques de CPGE scientifique PSI car elles apparaissent dans de nombreux domaines : résolution de systèmes, stabilité des processus, transformations géométriques, etc. Maîtriser ces concepts est indispensable pour réussir les sujets de type CCINP.

Comment réaliser l’étude géométrique d’un triangle dans le plan complexe pour les concours scientifiques ?

Pour étudier un triangle dans le plan complexe, il faut associer à chaque sommet un affixe, puis exprimer les équations cartésiennes des côtés et des droites remarquables (comme les médianes, hauteurs, etc.) en fonction des coordonnées x et y. Cette technique permet de traduire un problème géométrique en langage algébrique, ce qui est très fréquent dans les sujets du concours CCINP PSI. Retrouve tous les corrigés de ce type d’exercices en débloquant les corrigés sur Prépa Booster !

À quoi sert l’inégalité de Cauchy-Schwarz et comment l’appliquer dans les sujets de matrices ?

L’inégalité de Cauchy-Schwarz est un outil fondamental en algèbre linéaire qui permet de relier la norme d’un vecteur à son produit scalaire, et donc d’établir des bornes utiles dans l’étude de matrices (pour les traces, discriminants, etc.). Elle est souvent mobilisée dans les sujets de concours pour comparer des sommes au carré à des sommes de carrés, typiquement lors de l’étude de matrices réelles ou complexes. C’est un réflexe à avoir en CPGE !

Que signifie la notation $\operatorname{Sp}_\mathbb{C}(A)$ dans le contexte des matrices au concours CCINP ?

La notation $\operatorname{Sp}_\mathbb{C}(A)$ désigne l’ensemble des valeurs propres complexes de la matrice $A$, aussi appelée spectre de la matrice. En concours, identifier cet ensemble est clé pour déterminer la diagonalisation, les multiplicité des valeurs propres et la stabilité d’un système matriciel.

Comment s’y prendre pour montrer qu’une application est une norme dans un espace vectoriel ?

Pour montrer qu’une application (comme celle définie par une somme pondérée de valeurs absolues) est une norme, il faut vérifier trois propriétés : la positivité, l’homogénéité par un scalaire et l’inégalité triangulaire. Ces vérifications sont des grands classiques des sujets de concours en PSI, surtout lorsqu’il s’agit de matrices ou de vecteurs avec pondérations. Ce type de question structure la compréhension des espaces normés et prépare à des notions plus abstraites en deuxième année. Pour te perfectionner sur la méthodologie, pense à débloquer les corrigés détaillés sur Prépa Booster !

Quels sont les enjeux de la multiplicité d’une valeur propre et comment la déterminer dans les sujets de CPGE ?

La multiplicité d’une valeur propre te renseigne sur le nombre de vecteurs propres associés à cette valeur et donc sur la structure possible de la matrice (décomposition, diagonalisation, etc.). Déterminer l’ordre de multiplicité demande une analyse fine du noyau et de la dimension des espaces propres, ce qui fait partie des attendus des concours CCINP. Garde en tête qu’une valeur propre simple correspond à une grande régularité de la matrice, tandis qu’une valeur propre de multiplicité plus élevée signale des structures potentiellement complexes à explorer.

Où trouver des corrigés détaillés et interactifs pour progresser efficacement en maths PSI ?

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