Questions du sujet
1. I.1.1. Déterminer le polynôme caractéristique de $I$. En déduire les valeurs propres réelles ou complexes de $I$. 2. I.1.2. Soit $v = x_1 v_1 + x_2 v_2$ un vecteur quelconque de $\mathbb{R}^2$. Calculer $\|v\|^2$ et $\|I(v)\|^2$. En déduire si $I$ est un automorphisme orthogonal de $\mathbb{R}^2$. 3. I.1.3. Déterminer la matrice de passage de la base $\mathcal{E}$ à la base $\mathcal{V}$ ainsi que $M’$ la matrice de l’endomorphisme $I$ relativement à la base $\mathcal{E}$. Exprimer $M’$ en fonction des matrices $P$, $P^{-1}$ et $M$. Donner l’expression de $M’$ et caractériser l’endomorphisme $I$. 4. I.1.4. Le vecteur $v_2$ vérifie $v_2 = I(v_1)$. Pour $k \in \mathbb{N}$, $k \ge 3$, on définit les vecteurs $v_k$ par $v_k = I(v_{k-1})$. Pour $k \in \mathbb{N}^*$, on note $v_k = a_k v_1 + b_k v_2$. 5. I.1.4.1. En calculant de deux façons $\|v_k\|^2$, déduire de I.1.2 une relation entre $a_k$, $b_k$ et $\cos(\theta)$.} 6. I.1.4.2. Justifier que, pour $k \in \mathbb{N}^*$, on a $(v_1|v_k) = \cos((k-1)\theta)$ ; en déduire la valeur de $(v_2|v_k)$. 7. I.1.4.3. En utilisant les produits scalaires $(v_1|v_k)$ et $(v_2|v_k)$, donner un système linéaire de deux équations à deux inconnues $a_k$ et $b_k$. Montrer que $a_k = \frac{-\sin((k-2)\theta)}{\sin(\theta)}$ et $b_k = \frac{\sin((k-1)\theta)}{\sin(\theta)}$. 8. I.2.1. On note $(x,y)$ les coordonnées d’un point du plan. Déterminer trois réels $p, q, r$ tels que la conique d’équation $px^2 + qxy + ry^2 = 1$ passe par les points $A_3, A_4$ et $A_5$. Montrer que tous les points $A_k$ sont sur cette conique (on pourra utiliser I.1.4.1). 9. I.2.2. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice $Q = \begin{pmatrix} 1 & \cos(\theta) \\ \cos(\theta) & 1 \end{pmatrix}$. En déduire la nature de la conique. 10. On prend $\theta = \frac{\pi}{3}$. Donner une équation réduite de la conique et tracer cette conique dans le plan euclidien muni du repère $\mathcal{R}$.} 11. II.1.1. Montrer qu’il existe un entier $k \in \mathbb{N}^*$ tel que la famille de vecteurs $(u, I(u), …, I^k(u))$ soit liée. Justifier qu’il existe un plus petit entier $k \in \mathbb{N}^*$ tel que la famille de $k+1$ vecteurs $(u, I(u), …, I^k(u))$ soit liée. On note $r(I, u)$ ce plus petit entier. 12. II.1.2. Justifier l’encadrement $1 \leq r(I, u) \leq n$. 13. II.1.3. Montrer que $r(I, u) = 1$, si et seulement si $u$ est un vecteur propre de $I$. Montrer que $r(I, u) = n$, si et seulement si la famille $(u, I(u), …, I^{n-1}(u))$ est une base de $E$. 14. II.2. Un exemple. 15. Dans cette question, on suppose $n=4$ et on note $\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3, e_4)$ une base de $E$.} 16. On considère l’endomorphisme $f$ de $E$ représenté par la matrice $Mat_\mathcal{B}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & -6 & 4 & 1 \\ 1 & -8 & 3 & 3 \end{pmatrix}$ relativement à la base $\mathcal{B}$. Calculer $\det(f)$ et $\text{tr}(f)$. Montrer que la famille $(e_1, f(e_1), f^2(e_1))$ est libre. Déterminer trois réels $x, y, z$ tels que $f^3(e_1) = xf^2(e_1) + yf(e_1) + ze_1$. En déduire $r(f, e_1)$. 17. On reprend le cas général où $E$ est un espace vectoriel de dimension $n \geq 2$ et $I$ un endomorphisme de $E$. Soit $u$ un vecteur non nul de $E$. 18. II.3. On suppose $r(I, u) = n$. D’après II.1.3., la famille $\mathcal{B}(u) = (u, I(u), …, I^{n-1}(u))$ est une base de $E$. On note $I^n(u) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k I^k(u)$. 19. II.3.1. Déterminer la matrice $Mat_{\mathcal{B}(u)}(I)$ de l’endomorphisme $I$ relativement à la base $\mathcal{B}(u)$. Calculer $\det(I)$ et $\text{tr}(I)$. 20. II.3.2. Déterminer $\chi_I(X) = \det(I – X Id)$, le polynôme caractéristique de l’endomorphisme $I$ (on pourra calculer ce déterminant en ajoutant à la première ligne une combinaison linéaire des autres lignes ; opération codée $L_1 \leftarrow L_1 + \sum_{i=2}^n \lambda^i L_i$, où $L_i$ est la ligne d’indice $i$).} 21. II.4. On note $I(I, u)$ l’ensemble des polynômes $P \in K[X]$ tels que l’endomorphisme $P(I)$ vérifie $P(I)(u) = 0$. 22. II.4.1. Montrer que l’ensemble $I(I, u)$ est un idéal de $K[X]$. En déduire qu’il existe un unique polynôme unitaire, noté $G(I, u)$, tel que $I(I, u)$ est formé de tous les polynômes produit du polynôme $G(I, u)$ par un polynôme quelconque de $K[X]$. 23. II.4.2. Justifier que le polynôme $G(I, u)$ divise le polynôme $\chi_I$. Montrer que le polynôme $G(I, u)$ est de degré $r(I, u)$. 24. II.4.3. On reprend l’exemple II.2. Déterminer le polynôme $G(f, e_1)$. En déduire le polynôme caractéristique de $f$ puis les valeurs propres de $f$. Dans la question II.2. on a montré que la famille $(e_1, f(e_1), f^2(e_1))$ est libre ; en utilisant ce résultat et le spectre de $f$, en déduire que l’endomorphisme $f$ n’est pas diagonalisable. 25. II.4.4. On suppose que l’endomorphisme $I$ et le vecteur $u$ vérifient les hypothèses de la question II.3. : $r(I, u) = n$ et $I^n(u) = \sum_{k=0}^{n-1} a_k I^k(u)$. Déterminer le polynôme $G(I, u)$ et retrouver ainsi l’expression du polynôme caractéristique de l’endomorphisme $I$.} 26. II.5. Dans cette question, on suppose qu’il existe un entier $p \in \mathbb{N}^*$ tel que $I^p = 0$. 27. II.5.1. Déterminer le polynôme caractéristique de $I$. 28. II.5.2. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : \\ (1) Il existe un vecteur non nul $u$ tel que $r(I, u) = n$ \\ (2) $I^{n-1} = 0$ et $I^{n-2} \neq 0$. 29. II.6. On suppose que l’endomorphisme $I$ est diagonalisable. Soit $W = (w_1, w_2, …, w_n)$ une base de vecteurs propres de $E$ avec pour tout $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$, $I(w_k) = \lambda_k w_k$. 30. II.6.1. On suppose qu’il existe un vecteur non nul $u$ de $E$ tel que $r(I, u) = n$ et on considère la base $\mathcal{B} = (u, I(u), …, I^{n-1}(u))$. On note $u = \sum_{k=1}^n x_k w_k$. Écrire la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $W$. En déduire les valeurs propres de l’endomorphisme associé.} 31. II.6.2. On suppose que les valeurs propres $\lambda_k$ de $I$ sont toutes distinctes. 32. II.6.2.1. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda_1 & \cdots & \lambda_1^{n-1} \\ 1 & \lambda_2 & \cdots & \lambda_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & \lambda_n & \cdots & \lambda_n^{n-1} \end{pmatrix}$ et on note $C = \begin{pmatrix} \alpha_0 \\ \vdots \\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$ une matrice colonne telle que le produit $AC = 0$. Montrer que le polynôme $P(X) = \sum_{k=0}^{n-1} \alpha_k X^k$ est le polynôme nul. En déduire que la matrice $A$ est inversible. 33. II.6.2.2. Montrer qu’il existe un vecteur $u$ de $E$, non nul, tel que $r(I, u) = n$.}FAQ
Le polynôme caractéristique d’un endomorphisme (ou d’une matrice) est un outil central en algèbre linéaire : il permet de déterminer les valeurs propres, qui donnent des informations cruciales sur la structure de l’endomorphisme. Beaucoup de questions d’épreuves CPGE PSI, comme à l’écrit du CCINP 2010, s’articulent autour de ce concept car il permet de discriminer les cas de diagonalisabilité, d’étudier les invariants, ou encore d’exploiter les relations de Cayley-Hamilton dans d’autres questions. Comprendre et savoir manipuler le polynôme caractéristique, c’est indispensable pour la réussite en concours.
Pour déterminer si un endomorphisme est orthogonal, il faut vérifier s’il conserve le produit scalaire (autrement dit, la norme) sur l’espace. Cela revient souvent à contrôler la matrice associée en base orthonormée : une matrice orthogonale satisfait \( M^T M = I \), et, dans le plan, elle réalise des rotations ou des symétries. Cette propriété est très utile pour traiter des questions liées aux invariants géométriques et aux transformations du plan, classiques aussi bien en CCINP qu’en autres concours d’ingénieur.
Changer de base permet de simplifier les calculs et de révéler la structure d’un endomorphisme : par exemple, une matrice prend souvent une forme plus simple (diagonale, trigonométrique, compagnon, etc.) dans une base adaptée. Cela facilite le calcul des puissances, du polynôme minimal, ou la résolution de systèmes. Un conseil pour les épreuves : garde bien en tête la formule de changement de base \( M’ = P^{-1} M P \) pour manipuler les matrices. Besoin d’exemples détaillés ou d’exercices applicatifs ? Débloque les corrigés pour voir comment appliquer ces techniques dans les sujets corrigés sur Prépa Booster !
Les coniques te permettent de relier l’algèbre linéaire et la géométrie du plan. Savoir passer d’une équation quadratique à la classification d’une conique (ellipse, parabole, hyperbole) ou associer matrice symétrique et nature géométrique, c’est essentiel pour résoudre les questions de géométrie du concours CCINP. Pour déterminer la nature d’une conique, il s’agit souvent d’analyser les valeurs propres de la matrice associée : signe et multiplicité donnent immédiatement l’information recherchée.
Une famille de vecteurs est dite libre si aucun vecteur n’est combinaison linéaire des autres, et liée sinon. C’est fondamental car la liberté d’une famille implique que ses éléments sont indépendants ; autrement dit, ils construisent la base idéale pour parcourir l’espace vectoriel. Savoir prouver la liberté ou la liaison d’une famille, c’est la clé pour maîtriser les espaces vectoriels, les polynômes d’annulation, et le déterminant ou le rang, sujets incontournables du CCINP. Tu veux t’exercer sur des exemples typiques corrigés ? Jette un œil sur Prépa Booster et débloque les corrigés pour progresser efficacement !
Le polynôme caractéristique d’un endomorphisme (ou d’une matrice) est celui qui encode les valeurs propres via le déterminant. Le polynôme minimal est le plus petit polynôme unitaire qui annule l’endomorphisme : il divise le polynôme caractéristique et capture la structure de l’application (comme la diagonalisabilité ou la trigonalisabilité). Quant au polynôme d’annulation, c’est tout polynôme qui, appliqué à l’endomorphisme, donne zéro — les deux autres en sont des exemples particuliers. Les sujets CCINP alternent régulièrement entre ces trois notions, alors entraîne-toi à bien faire la différence entre eux pour gagner en efficacité le jour J.
Si un endomorphisme possède n valeurs propres distinctes (où n est la dimension de l’espace), alors il est automatiquement diagonalisable sur \( \mathbb{C} \) — chaque valeur propre admet alors un unique vecteur propre associé, ce qui garantit que l’ensemble fournit une base de vecteurs propres. En pratique : dès que tu repères des valeurs propres distinctes dans un problème CCINP, pense à exploiter cette propriété pour simplifier l’étude de l’endomorphisme et répondre rapidement aux questions sur le spectre ou la décomposition. Pour voir comment cela se traduit par des matrices concrètes, ne manque pas les corrigés détaillés sur Prépa Booster.
Les matrices compagnons apparaissent naturellement dès qu’on considère l’itération d’un endomorphisme sur un vecteur de base, avec les relations de récurrence associées. Elles synthétisent le lien entre les coefficients d’un polynôme caractéristique et la dynamique de l’endomorphisme (présente dans de nombreuses parties du programme PSI). Maîtriser la théorie derrière les matrices compagnons, c’est se donner un énorme avantage pour décomposer un endomorphisme ou résoudre rapidement des questions sur les familles générées par itération.
Pour réussir une épreuve CCINP en maths, adopte une lecture active du sujet : repère dès le départ les concepts d’algèbre linéaire, de géométrie ou d’analyse qui sont abordés (endomorphismes, valeurs propres, coniques, etc.). Travaille tes méthodes : démonstrations types, calculs d’invariants, rédaction rigoureuse. Enfin, entraîne-toi sur les annales — et surtout, exploite à fond les corrigés proposés sur Prépa Booster, qui t’offrent analyse, astuces de rédaction, et dashboard personnalisé pour cibler tes progrès. Prends l’habitude de traiter les exercices qui te bloquent puis de consulter le corrigé, c’est le combo gagnant pour progresser efficacement vers la réussite en concours.