Questions du sujet
1. I.A.1.1 Justifier l’affirmation : l’endomorphisme $s$ est diagonalisable. Calculer la matrice $S^2$. 2. I.A.1.2 En déduire que $s$ est un automorphisme orthogonal de $E$ et que $1$ et $-1$ sont ses valeurs propres. 3. I.A.1.3 Calculer la trace de $s$. En déduire les dimensions de $E_1$ et de $E_{-1}$. 4. I.A.2.1 Déterminer les vecteurs $s(u_1)$ et $s(u_2)$. En déduire que $u_1,u_2$ est une base de $E_1$. Déterminer une base orthonormale de $E_1$. 5. I.A.2.2 Déterminer un vecteur non nul $u_4=a e_1+b e_2+c e_3+d e_4$ orthogonal aux trois vecteurs $u_1,u_2$ et $u_3$. En déduire que $u_3,u_4$ forme une base orthogonale de $E_{-1}$.} 6. I.A.3.1 Pour $x \in E$ fixé, on note $x=y+z$ avec $y \in E_1$ et $z \in E_{-1}$. Soit $k \in \mathbb{N}$, déterminer un réel $\alpha_k$ tel que $s^k x = y + \alpha_k z$. En déduire, pour $n \in \mathbb{N}^*$, un réel $\beta_n$ tel que $S_n x = y + \beta_n z$. 7. I.A.3.2 Déduire de ce qui précède que la suite $(S_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ de $E$ a une limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$. Exprimer cette limite en fonction de $x$ et de $s(x)$. 8. I.B.1.1 Pour tout vecteur $u = a e_1 + b e_2 + c e_3 + d e_4$ de $E$, calculer $\|l(u)\|^2 – \|u\|^2$. Prouver l’inégalité $\|l(u)\| \leq \|u\|$. 9. I.B.1.2 En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu’un vecteur $u$ vérifie l’égalité $\|l(u)\| = \|u\|$. Montrer que $1$ est une valeur propre de $l$ et que le sous-espace propre associé est de dimension $2$. 10. I.B.2.1 Déterminer le polynôme caractéristique de $l$.} 11. I.B.2.2 Montrer que $l$ possède une autre valeur propre $\lambda \neq 1$ que l’on déterminera. Justifier que les deux sous-espaces propres $G_1$ et $G_\lambda$ de $l$ associés aux valeurs propres $1$ et $\lambda$ sont supplémentaires dans $E$. 12. I.B.3.1 Pour $k \in \mathbb{N}$, exprimer $l^k(x)$ en fonction de $y, z$ et $k$. 13. I.B.3.2 Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, exprimer $L_n(x)$ en fonction de $y, z$ et $n$. En déduire que la suite $(L_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ de $E$ a une limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ et déterminer cette limite. 14. I.C.1 Montrer que $T$ est une matrice orthogonale. 15. I.C.2.1 On note $F_1 = \mathrm{Vect}(e_1, \varepsilon_1)$. Déterminer les vecteurs $t(e_1)$ et $t(\varepsilon_1)$. En déduire que $F_1$ est un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $2$, stable par $t$.} 16. I.C.2.2 Soit $F_2 = F_1^\perp$ l’orthogonal du sous-espace $F_1$. Montrer que $F_2$ est stable par $t$. Montrer que $e_2, \varepsilon_2$ est une base de $F_2$. 17. I.C.3.1 Justifier que la matrice $T’$ est orthogonale. Expliciter $T’$. 18. I.C.3.2 Soit $\theta = \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)$. Exprimer la matrice $T’$ en fonction de $\theta$. On oriente le plan $F_1$ par la base $(e_1,\varepsilon_1)$ (respectivement on oriente le plan $F_2$ par la base $(e_2,\varepsilon_2)$). Préciser la nature géométrique de l’endomorphisme de $F_1$ (respectivement de $F_2$) induit par $t$. 19. I.C.3.3 Pour $k \in \mathbb{N}$, exprimer en fonction de $\theta$ et $k$ la matrice de $t^k$ relativement à la base $\mathcal{B}’$. 20. I.C.4 Soient $\omega \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\zeta_n(\omega) = \sum_{k=0}^{n-1} e^{i k \omega}$. Expliciter $\zeta_n(\omega)$ selon les valeurs de $\omega$. En déduire les réels $\omega$ pour lesquels la suite complexe $(\zeta_n(\omega))_{n \in \mathbb{N}^*}$ est bornée.} 21. I.C.5.1 Justifier que le sous-espace $F_1$ est stable par $T_n$. 22. I.C.5.2.1 Déterminer la matrice $V_k \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $\begin{pmatrix}\gamma_k \\ \delta_k \end{pmatrix} = V_k \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta \end{pmatrix}$. En déduire la matrice $U_n \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $\begin{pmatrix}\lambda_n \\ \mu_n \end{pmatrix} = U_n \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta \end{pmatrix}$. On exprimera $V_k$ en fonction de $\theta$ et $k$ et $U_n$ en fonction de $\theta$ et $n$. 23. I.C.5.2.2 Montrer que la suite $(T_n(y))_{n \in \mathbb{N}^*}$ de $E$ a une limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ et déterminer cette limite. 24. I.C.5.3 Soit $x \in E$. En écrivant $x = y + z$ avec $y \in F_1$ et $z \in F_2$, montrer que la suite $(T_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ de $E$ a une limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ et déterminer cette limite. 25. II.A.1 Montrer que les sous-espaces vectoriels $\ker(l – \mathrm{id})$ et $\mathrm{Im}(l – \mathrm{id})$ sont orthogonaux. En déduire qu’ils sont supplémentaires dans $E$.} 26. II.A.2 Pour $k \in \mathbb{N}$, exprimer $l^k(x)$ en fonction de $y, z$ et $k$. En déduire l’expression de $L_n(x)$ en fonction de $y, z$ et $n$. 27. II.A.3 Montrer que la suite $(L_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ de $E$ a une limite que l’on déterminera lorsque $n$ tend vers $+\infty$. 28. II.B.1 Montrer que $f^*$ appartient à $B(E)$. 29. II.B.2 Montrer que si $x \in E$ vérifie $f(x) = x$, alors $\|f^*(x) – x\|^2 \leq 0$. Montrer l’égalité $\ker(f – \mathrm{id}) = \ker(f^* – \mathrm{id})$. 30. II.B.3 En déduire que $\ker(f – \mathrm{id})$ et $\mathrm{Im}(f – \mathrm{id})$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$ supplémentaires dans $E$ (on pourra utiliser l’égalité : pour l’endomorphisme $\varphi$ de $E$, $\ker \varphi^* = (\mathrm{Im}\,\varphi)^\perp$).} 31. II.C.1 On suppose que $x$ appartient à l’intersection $\ker(l – \mathrm{id}) \cap \mathrm{Im}(l – \mathrm{id})$. Soit $y \in E$ tel que $x = l(y) – y$. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, exprimer $l^n(y)$ en fonction de $x, y$ et $n$. En déduire que $\ker(l – \mathrm{id})$ et $\mathrm{Im}(l – \mathrm{id})$ sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans $E$. 32. II.C.2 Soit $x \in E$. Montrer que la suite $(L_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ de $E$ a une limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ et déterminer cette limite. 33. III.1 Calculer $\sigma_e(e)$. Pour $x$ orthogonal à $e$, calculer $\sigma_e(x)$. Montrer que $\sigma_e$ est un automorphisme orthogonal de $E$. 34. III.2.1 Montrer que $e$ est orthogonal à $W$ (on pourra utiliser le résultat de II.A.1). 35. III.2.2 Calculer $\sigma_e(l(u) – u)$ et $\sigma_e(l(u) + u)$. En déduire $\sigma_e(l(u))$ et $\sigma_e(u)$.} 36. III.2.3 Montrer l’égalité $\mathrm{Vect}(u, W) = \ker(\sigma_e \circ l – \mathrm{id})$. 37. III.2.4 En déduire que $l$ peut se décomposer en la composée de $p$ réflexions et exprimer $p$ en fonction de $k = \dim(W)$ et de $n = \dim(E)$.}FAQ
Le sujet couvre de nombreux thèmes fondamentaux d’algèbre linéaire : diagonalisation, valeurs propres et sous-espaces propres, endomorphismes orthogonaux, inégalités sur les normes, polynômes caractéristiques, stabilité des sous-espaces, suites d’endomorphismes et convergence, ainsi que la décomposition en sous-espaces invariants et supplémentaires. Il explore également des aspects géométriques comme les projections, réflexions et la nature des transformations orthogonales.
Pour reconnaître la diagonalisabilité d’un endomorphisme, il faut vérifier que celui-ci admet une base de vecteurs propres, soit que son polynôme caractéristique est scindé et que chaque valeur propre a autant de vecteurs propres que sa multiplicité. Dans le sujet, cette propriété permet de travailler efficacement avec les matrices associées, de décomposer l’espace en sous-espaces propres, et de prévoir le comportement des suites d’endomorphismes, comme celles qui interviennent lors des moyennes ou itérations.
Un automorphisme orthogonal préserve le produit scalaire et donc les distances et angles. Cette notion est essentielle dans le sujet car elle intervient dès que l’on manipule des symétries, réflexions, ou des rotations. Elle permet de garantir que certaines bases restent orthonormales, facilite la recherche de décompositions en sous-espaces invariants et permet d’étudier comment les vecteurs évoluent sous itérations successives de l’endomorphisme.
Comprendre la convergence de suites comme (Sₙ(x)), (Lₙ(x)) ou (Tₙ(x)) est crucial : cela permet d’analyser la stabilité des méthodes itératives, d’étudier la répartition des valeurs propres, et de relier le comportement à long terme d’applications linéaires répétées à la structure des sous-espaces propres. Ces techniques sont incontournables aussi bien en théorie qu’en applications, notamment pour résoudre des systèmes d’équations ou des problèmes de moyenne de Cesàro.
La recherche des sous-espaces propres consiste à résoudre (A-λI)v=0 pour chaque valeur propre λ. Une fois ceux-ci identifiés, il est souvent utile d’obtenir une base orthonormale, en appliquant par exemple le processus de Gram-Schmidt, afin de bénéficier de toutes les propriétés du produit scalaire (orthogonalité, simplicité des projections, facilités de calculs de normes). Cette démarche structure fortement tout le sujet et est souvent exigée au concours.
Le polynôme caractéristique d’un endomorphisme ou d’une matrice encode les valeurs propres de l’application. Sa factorisation donne directement accès à la diagonalisabilité, et la multiplicité des valeurs propres. Savoir le calculer rapidement ainsi qu’utiliser ses coefficients (notamment la trace et le déterminant) fait partie des basiques à maîtriser pour performer sur ce type de sujet.
Un sous-espace est stable par un endomorphisme si l’image de chaque vecteur par cet endomorphisme reste dans le sous-espace. Cette propriété facilite grandement les calculs, permet de découper les problèmes en dimensions moindres et d’étudier indépendamment le comportement de l’endomorphisme sur chaque composante. On la retrouve fréquemment dans le sujet à travers les sous-espaces propres, F₁, F₂, et W.
Ces transformations interviennent partout en géométrie euclidienne. Elles permettent de modéliser de nombreuses situations, de simplifier le calcul des distances, d’exprimer des décompositions orthogonales et d’expliquer la structure des matrices orthogonales. Savoir les reconnaître et les manipuler t’apporte une agilité précieuse pour résoudre plus sereinement les exercices du concours. Pour un entraînement efficace, accède à tous les corrigés d’annales et à ton dashboard personnalisé sur Prépa Booster en débloquant les corrigés !