Questions du sujet
1. I.1.1. Expliciter les entiers $r$ et $s$ tels que $\left(\begin{array}{c}i\\j\end{array}\right)=\frac{r!}{s!(r-s)!}$ pour les quatre coefficients $a_{1,1}$, $a_{1,\, n-p+1}$, $a_{n-p+1,\,1}$ et $a_{n-p+1,\, n-p+1}$. 2. I.1.2. Pour tout entier naturel $n \geq 2$ calculer les déterminants $d_1,\, d_{n-1}$ et $d_{n-2}$. 3. I.1.3.1 Dans le calcul de $d_p$ on effectue les opérations suivantes : pour $i$ variant de $n-p+1$ à $2$, on retranche la ligne $L_{i-1}$ à la ligne $L_i$ (opération codée : $L_i \leftarrow L_i – L_{i-1}$). Déterminer le coefficient d’indice $(i, j)$ de la nouvelle ligne $L_i$. 4. I.1.3.2 En déduire une relation entre $d_p$ et $d_{p+1}$, puis en déduire $d_p$. 5. I.2.1. Calculer les déterminants $D_0,\, D_1,\, D_2,\, \Delta_0,\, \Delta_1$ et $\Delta_2$.} 6. I.2.2. Donner une relation entre $D_n$ et $\Delta_n$. 7. I.2.3. En déduire $\Delta_n$ puis $D_n$. 8. II.A.1.1. Pour $(i, j) \in \{1, …, n\}^2$, déterminer le produit ${}^{\mathrm{t}}X_i C X_j$. 9. II.A.1.2. En déduire que $C=0$ si et seulement si pour tout couple $(X, Y)$ de $M_{n,1}(\mathbb{R}) \times M_{n,1}(\mathbb{R})$ on a ${}^{\mathrm{t}}XCY = 0$. 10. II.A.2. Pour tout couple $(x, y)$ de vecteurs de $E$, justifier l’égalité $(x|y) = {}^{\mathrm{t}}X A Y$.} 11. II.A.3.1. Soit $x$ un vecteur de $E$. Donner une relation entre les matrices $X$, $X’$ et $P$. 12. II.A.3.2. Justifier l’égalité $A’ = P^{\mathrm{t}}AP$. 13. II.A.3.3. Que devient l’égalité précédente lorsque $B’$ est une base orthonormale ? 14. II.A.3.4. Montrer que la matrice $A$ est inversible et que $\det(A) > 0$. 15. II.A.3.5. Déduire des résultats précédents que si $(\varepsilon_1, …, \varepsilon_p)$ est une famille libre de vecteurs d’un espace préhilbertien réel, la matrice $B=((\varepsilon_i|\varepsilon_j))$ de $M_p(\mathbb{R})$ de coefficients les produits scalaires $(\varepsilon_{i} | \varepsilon_{j})$, vérifie $\det(B) > 0$.} 16. II.B.1.1. Montrer que $\det(M) \geq 0$. 17. II.B.1.2. À quelle condition sur $\det(M)$ la famille $(u_1, u_2)$ est-elle libre ? 18. II.B.2. Exprimer les coefficients de la matrice $MX$ en fonction des produits scalaires $(u_i|v)$. 19. II.B.3. En déduire l’égalité $^{\mathrm{t}}XMX = \Vert v \Vert ^2$ où $v$ est la norme du vecteur $v$. 20. II.B.4. Soit $\lambda$ une valeur propre (complexe) de la matrice $M$. Justifier que $\lambda$ appartient à $\mathbb{R}$. Montrer que $\lambda \geq 0$.} 21. II.B.5. Montrer que $MX = 0$ si et seulement si $v$ est le vecteur nul. 22. II.B.6. On suppose que la matrice $M$ est inversible, déduire de la question précédente que la famille $(u_1, …, u_n)$ est libre. 23. III.1. Déterminer les racines du polynôme $P(X) = X^2 – 2(\cos \beta \cos \gamma – \cos \alpha) X + \sin^2 \beta \sin^2 \gamma$. 24. III.2. En déduire une factorisation de $\det(G(u_1,u_2,u_3))$ en produit de deux facteurs. 25. III.3. Montrer que $\cos \alpha$ est compris entre $\cos(\beta-\gamma)$ et $\cos(\beta+\gamma)$.} 26. III.4. Montrer que $\det( G(u_1, u_2, u_3)) = 0$ si et seulement si $2\alpha + \beta + \gamma = \pi$ ou $\alpha = \beta + \gamma$. 27. III.5.1. On suppose que $\alpha = \beta = \gamma$ et on note $c = \cos \alpha$. Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice $G(u_1, u_2, u_3)$. En déduire ses valeurs propres. 28. III.5.2. Déterminer la plus petite valeur possible de $c$. 29. III.5.3.1. On prend $c = -\frac{1}{2}$. Quelle est la valeur de $u_1+u_2+u_3$ ? 30. III.5.3.2. Déterminer le noyau de l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice $G(u_1, u_2, u_3)$. En utilisant II.B.5, retrouver la valeur de $u_1+u_2+u_3$.} 31. IV.1.1. Exprimer $\det(G(v_1, …, v_{n-1}, \lambda v_n))$ en fonction de $\lambda$ et de $\det(G(v_1, …, v_{n-1}, v_n))$. 32. IV.1.2. Exprimer $\det(G(v_1, …, v_{n-1}, v_n+\lambda v_1))$ en fonction de $\det(G(v_1, …, v_n))$. 33. IV.2.1. Soit $F= \mathrm{Vect}(v_1, …, v_n)$ le sous-espace vectoriel de $H$ engendré par les vecteurs $v_1, …, v_n$. Soit $w$ un vecteur de $H$ orthogonal à $F$. Exprimer $\det(G(v_1, …, v_n, w))$ en fonction de $w$ et de $\det(G(v_1, …, v_n))$. 34. IV.2.2. Soit $v\in H$, on note $d(v,F)$ la distance du vecteur $v$ au sous-espace vectoriel $F$. Montrer l’égalité $d(v,F)^2 = \frac{\det(G(v_1, …, v_n, v))}{\det(G(v_1, …, v_n))}$. 35. IV.3.1. Pour $k \in \mathbb{N}$, justifier la convergence des intégrales $J_k = \int_0^{+\infty} t^k e^{-t} dt$ et calculer leur valeur.} 36. IV.3.2. Calculer les produits scalaires $(e_i|e_j)$. 37. IV.3.3. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Déduire des questions précédentes et de la partie I, la distance du vecteur $e_n$ au sous-espace vectoriel $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ des polynômes de degré $\leq n-1$ de l’espace $\mathbb{R}[X]$.}FAQ
Tu retrouveras souvent tout ce qui concerne les calculs de déterminants, les propriétés des matrices symétriques, les liens entre lignes et colonnes par opérations élémentaires, et les liens avec les applications linéaires. Le sujet de 2007 insiste beaucoup sur le calcul récursif de déterminants, mais aussi sur leur interprétation géométrique, notamment via la matrice de Gram. Débloque les corrigés pour obtenir des méthodes détaillées sur ce type de questions !
La matrice de Gram d’une famille de vecteurs associe à chaque couple la valeur de leur produit scalaire. Elle joue un rôle central pour étudier la dépendance linéaire, les distances, et l’orthogonalité dans un espace euclidien (ou préhilbertien). Apprendre à manier la matrice de Gram, c’est mettre toutes les chances de ton côté pour réussir les questions portant sur la géométrie euclidienne, la positivité des déterminants, ou la résolution de problèmes d’orthogonalisation !
Les matrices symétriques réelles ont pour caractéristique d’avoir uniquement des valeurs propres réelles, et leur spectre indique beaucoup d’informations sur la géométrie de l’espace (orthogonalité, directions principales, etc). Pour le concours CCINP, tu dois savoir démontrer que les valeurs propres d’une matrice de Gram sont réelles et positives (ou nulles pour un ensemble de vecteurs liés). Revois aussi le lien avec la positive-définie et les méthodes pour déterminer ces valeurs propres sur des matrices associées à des contextes géométriques, comme dans le sujet 2007.
Le produit scalaire permet de traduire des questions algébriques en problèmes géométriques. Il intervient dans la notion d’orthogonalité, dans le calcul des distances, la construction de bases orthonormées, et la résolution de problèmes d’optimisation, tous très fréquents au concours. Maîtrise sa manipulation tant en calcul direct qu’en écriture matricielle pour être prêt à tout ! Tu pourras retrouver toutes les techniques sur Prépa Booster en débloquant l’accès complet aux corrigés et aux exercices ciblés.
Calculer la distance d’un vecteur à un sous-espace permet de quantifier la composante « hors » du sous-espace, et on la retrouve sous forme de problèmes de projection, minimisation, ou orthogonalisation. L’expression de cette distance via le déterminant de la matrice de Gram est un classique, utile aussi bien en analyse qu’en algèbre. Savoir jongler avec ces formules est un vrai atout pour briller le jour J.