Questions du sujet
1. I.1. Soient $x = (a, b)$, $y = (c, d)$ deux vecteurs de $\mathbb{C}^2$ et $\lambda,\mu$ deux scalaires complexes. Exprimer les produits scalaires $(y|x)$, $(\lambda x|y)$, $(x|\mu y)$ en fonction du produit scalaire $(x|y)$. 2. I.2. Soient $x = (a+i, i)$ et $y = (1-3i, 1+5i)$ deux vecteurs de $\mathbb{C}^2$. 3. I.2.1. À quelle condition sur le nombre complexe $a$, les vecteurs $x$ et $y$ forment-ils une base de $\mathbb{C}^2$ ? 4. I.2.2. À quelle condition cette base est-elle orthogonale ? Dans ce cas, calculer la norme de $x$. 5. I.3. Soit $T = \begin{pmatrix} 2 & 3i \\ 3i & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$.} 6. I.3.1. Déterminer les valeurs propres (complexes) et les sous-espaces propres de $T$. 7. I.3.2. En déduire qu’il existe une base orthonormale de vecteurs propres de $T$, que l’on explicite. 8. I.4. Soit $U = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$. On note $x = (a, b)$, $y = (c, d)$ les vecteurs colonnes de $U$. Exprimer le produit matriciel ${}^tU \overline{U}$ en fonction de $(x|y)$, $x$ et $y$. 9. II.1. Soit $U = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ avec $x = (a, b)$, $y = (c, d)$. À quelle condition sur les vecteurs colonnes $x$ et $y$ de $U$ a-t-on $U\in\mathcal{U}$ ? 10. II.2. Soit $U \in \mathcal{U}$. Calculer $\det(U)$, le module de $\det(U)$.} 11. II.3. Soit $U \in \mathcal{U}$. 12. II.3.1. Montrer que $U$ est inversible et que $U^{-1}$ appartient à $\mathcal{U}$. 13. II.3.2. Montrer que $\overline{U}$ appartient à $\mathcal{U}$ et que ${}^tU$ appartient à $\mathcal{U}$. 14. II.3.3. Soit $V \in \mathcal{U}$. Montrer que le produit $UV$ appartient à $\mathcal{U}$. 15. II.4. Soit $U$ un élément de $\mathcal{U}$ et soit $\lambda$ une valeur propre complexe de $U$. Déterminer $\lambda$.} 16. III.1. Soit $U = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$. 17. III.1.1. Donner les quatre relations portant sur les scalaires $a, b, c, d$, qui caractérisent l’appartenance de $U$ à $SU$. 18. III.1.2. On suppose que $U$ appartient à $SU$. Montrer que $c = -\overline{b}$ et $d = \overline{a}$. 19. III.1.3. En déduire que $U$ appartient à $SU$ si et seulement si $U = \begin{pmatrix} a & b \\ -\overline{b} & \overline{a} \end{pmatrix}$ avec $|a|^2 + |b|^2 = 1$. 20. III.2. Soit $U = \begin{pmatrix} a & b \\ -\overline{b} & \overline{a} \end{pmatrix}$, avec $|a|^2 + |b|^2 = 1$ une matrice de $SU$.} 21. III.2.1. Déterminer le polynôme caractéristique $\chi_U(\lambda) = \det(U-\lambda I_2)$ de $U$. En déduire qu’il existe un réel $\theta$ tel que les valeurs propres de $U$ sont $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$. 22. III.2.2. Vérifier que la matrice $T$ définie à la question I.3 appartient à $SU$. Déterminer un réel $\theta$ et une matrice $P$ appartenant à $SU$, tels que $T = PDP_\theta^{-1}$. 23. IV.1. Soit $A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \in V$. 24. IV.1.1. Montrer que $A$ est de la forme $A = \begin{pmatrix} a & r+is \\ r-is & -a \end{pmatrix}$ avec $a, r, s$ réels. En déduire que $V$ est un espace vectoriel réel dont une base est formée par les matrices $E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, $E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, $E_3 = \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}$. 25. IV.1.2. Montrer que l’application définie sur $V$ par : $FAQ
Le produit hermitien dans ℂ² est central en maths de prépa PSI, surtout pour tout ce qui concerne la notion d’orthogonalité, la construction de bases orthonormales et l’étude des endomorphismes. C’est lui qui permet de calculer les normes, d’identifier les relations entre vecteurs et d’aborder la diagonalisation des matrices complexes. Bien maîtriser ses propriétés est essentiel car tu les retrouves dans énormément de qcm et d’oraux. Débloque le corrigé pour avoir des exemples d’application concrets sur ce sujet.
Les matrices unitaires et celles du groupe SU(2) sont partout en algèbre linéaire. Dans ce genre de sujet, elles servent à travailler la conservation du produit hermitien, l’étude des rotations et propriétés de symétrie dans ℂ². SU(2) est très étudié car c’est aussi la version « complexe » du groupe des rotations en 3D : tu croises donc des questions sur leur structure, leur diagonalisation, ou leur représentation matricielle. Manipuler SU(2) devient vite indispensable pour traiter la géométrie sur les espaces vectoriels complexes.
La clé, c’est la maîtrise du calcul du polynôme caractéristique, puis la résolution dans ℂ. Pour une matrice 2×2 complexe, tu peux toujours essayer de trouver deux valeurs propres et des vecteurs propres associés. Cela te permet de mettre la matrice sous forme diagonale, ou au moins de trouver une base adaptée (souvent orthonormale si la matrice est hermitienne ou unitaire). Ce type d’exercice revient systématiquement sur les épreuves écrites, donc travaille bien ta méthode. Retrouve les méthodes détaillées et des corrigés types en débloquant l’accès à Prépa Booster !
Les bases réelles et orthonormales servent à comprendre la structure géométrique des espaces vectoriels — ici, elles sont utilisées notamment avec l’espace des matrices hermitiennes de trace nulle. Tu retombes souvent dessus pour simplifier les calculs dans des espaces muni d’un produit scalaire, ou encore pour caractériser les automorphismes comme des rotations, ce qui renvoie à de la géométrie classique dans un cadre complexe.
Dans ce cadre, tu identifies les automorphismes orthogonaux comme les applications linéaires qui préservent le produit scalaire défini sur l’espace (ici, par une formule du type ½ tr(AB)). Les automorphismes associés aux matrices unitaires agissent alors exactement comme des rotations (ou identités/oppositions), ce qui généralise les propriétés des rotations dans l’espace réel à des objets complexes. C’est un passage obligé pour comprendre les liens entre algèbre linéaire complexe et géométrie euclidienne !
Pense toujours à exploiter la structure particulière des matrices SU(2) : elles sont de déterminant 1, unitaires, et souvent exprimables sous forme canonique (paramétrisation par deux complexes liés). Pour les applications sur des espaces de matrices, cherche les invariants (norme, trace, déterminant) et n’hésite pas à utiliser des bases adaptées pour les simplifications. Et si tu veux voir des schémas de résolution étape par étape, les corrigés complets sont à dispo en débloquant les contenus sur Prépa Booster.
Oui, totalement ! En fait, l’espace des matrices hermitiennes de trace nulle de dimension 2 sur ℂ est isomorphe à ℝ³, et c’est la structure de l’espace euclidien qui permet d’étudier les rotations induites par des matrices unitaires. Cela explique pourquoi tu retrouves l’étude des axes de rotation, angles, applications type ‘conjugaison par P’ comme des avatars des transformations géométriques en dimension 3.
Pour réussir, il faut clairement s’entraîner sur les annales et comprendre à fond les notions d’algèbre linéaire (espaces vectoriels complexes, matrices unitaires, diagonalisation, structures hermitiennes), mais aussi l’aspect géométrique avec les liens entre algèbre et géométrie. Travaille avec les corrigés détaillés, et n’hésite pas à utiliser le dashboard Prépa Booster pour cibler tes points faibles avant le jour J !