Questions du sujet
1. I.1. Pour $q\in\mathbb{N}$, calculer $a_{1,q}$. 2. I.2. Calculer $a_{2,1}$ et $a_{2,2}$. 3. I.3. Pour $q \geq 2$, exprimer $a_{2,q}$ en fonction de $a_{2,q-1}$. En déduire la valeur de $a_{2,q}$. 4. I.4. Pour $p\in\mathbb{N}$, on considère la propriété $P_p$ : “pour tout $q\in\mathbb{N}$, on a $a_{p,q}\in\mathbb{N}$”. Montrer que pour tout $p\in\mathbb{N}$, la propriété $P_p$ est vraie. 5. I.5. Pour $p > q$, calculer $a_{p,q}$.} 6. I.6. Pour $p \in \mathbb{N}$, calculer $a_{p,p}$. 7. I.7. Pour $n\in\mathbb{N}$, on désigne par $A_n$ la matrice carrée d’ordre $n+1$ (c’est-à-dire à $n+1$ lignes et à $n+1$ colonnes), dont le terme de la ligne $p$ et de la colonne $q$ est $a_{p,q}$, pour tout $(p,q)\in \llbracket 0, n \rrbracket^2$. Expliciter les matrices $A_2$, $A_3$, $A_4$ et $A_5$. 8. II.1.1. Montrer que $\det(M)\in\mathbb{Z}$. 9. II.1.2. Montrer que $\com(M)\in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{Z})$. 10. II.1.3. On rappelle qu’une matrice $M$ est inversible dans $\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{Z})$ si et seulement si $M^{-1}$ existe et appartient à $\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{Z})$. Montrer que $M$ est inversible dans $\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{Z})$ si et seulement si $\det(M)=\pm 1$.} 11. II.2.1. Montrer que $(B_0,\ldots,B_n)$ est une base de l’espace vectoriel $\mathbb{R}_n[X]$ ; on notera $\mathcal{B}$ cette base. 12. II.2.2. On prend $n=4$, expliciter les matrices $P_4$ et $Q_4$. 13. II.2.3. Montrer que $P_n$ est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dans $\mathbb{Z}$. 14. II.2.4. Calculer $\det(P_n)$. 15. II.2.5 Montrer que $Q_n$ est une matrice triangulaire supérieure à coefficients dans $\mathbb{Z}$.} 16. II.2.6. On note $(\beta_{p,q})_{0\leq p,q\leq n}$ les coefficients de $Q_n$. Pour tout $q\in\llbracket 0, n \rrbracket$, on a donc $X^q = \sum_{p=0}^q \beta_{p,q} B_p$. En donnant à $X$ des valeurs particulières, déterminer les coefficients $\beta_{q,q}$, $\beta_{q-1,q}$, $\beta_{q-2,q}$, …, pour $q\in\llbracket 0, n \rrbracket$. 17. II.2.7. Montrer que $Q_n = A_n$ où $A_n$ est la matrice définie en I.7. 18. III.1. Vérifier que $\varphi$ est un endomorphisme de $F$. Est-il surjectif ? Est-il injectif ? Préciser le noyau de $\varphi$. 19. III.2. Déterminer les vecteurs propres et les valeurs propres de $\varphi$. 20. III.3. Pour $f\in F$, expliciter $\varphi^2(f)$. Déterminer le noyau de $\varphi^2$ et en donner une base.} 21. III.4. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Montrer qu’il existe des entiers $d_{p,q}$ tels que, pour tout $q\in\llbracket 1, n \rrbracket$ et tout $f \in F$, on ait la relation: pour tout $x$ dans $]0,+\infty[,\quad \varphi^q(f)(x)=\sum_{p=0}^q d_{p,q}x^pf^{(p)}(x)$, où $f^{(p)}$ est la dérivée $p$-ième de $f$. 22. III.5. On convient que $d_{0,0}=1$ et que, pour $p\in\mathbb{N}^*$ et $q\in\mathbb{N}^*$, $d_{p,0}=d_{0,q}=0$ et $d_{p,q}=0$ si $p>q$. Montrer que pour tout $(p,q)\in \llbracket 1, n \rrbracket^2$, on a $d_{p,q}=a_{p,q}$, où les $a_{p,q}$ sont les termes définis dans la partie I. 23. IV.1.1. Déterminer le développement limité de $\varphi$ à l’ordre 4 en $t=0$, où $\varphi(t) = \exp(\exp(t)-1)$. 24. IV.1.2. Pour $n$ variant de 1 à 4, en déduire la valeur de la dérivée $n$-ième de $\varphi$ en $0$. 25. IV.2.1. Pour $j>n$, calculer $P_{n}^j$.} 26. IV.2.2. Calculer $P_n^1$ et $P_n^n$ pour $n\in\mathbb{N}^*$. 27. IV.2.3. On suppose $j\geq 2$ et $n\geq j$. Soit $a\in E$. En distinguant parmi les partitions de $E$ en $j$ classes, celles pour lesquelles le singleton $\{a\}$ est une classe de la partition, justifier l’égalité $P_n^j = P_{n-1}^{j-1} + (j)P_{n-1}^j$. 28. IV.2.4. En déduire que, pour tout $(j,n)\in\mathbb{N}^2$ avec $j\geq 2$, on a $a_{n,j} = P_n^j$, les $a_{n,j}$ étant les termes définis dans la partie I. 29. IV.3.1. Pour $n$ variant de 1 à 4, calculer $P_n$ et comparer $P_n$ à $\varphi^{(n)}(0)$ où $\varphi$ est la fonction définie en IV.1. 30. IV.3.2. Exprimer $P_n$ à l’aide des $P_n^j$. Dans la suite, on admettra la formule $P_n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k P_k$.} 31. IV.3.3. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $P_n \leq n!$. 32. IV.4.1. Pour $x\in\mathbb{R}$, on note $s(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{P_n}{n!}x^n$ lorsque la série converge. Déduire de IV.3.3. que le rayon de convergence de la série est supérieur ou égal à 1. 33. IV.4.2. Montrer à l’aide de (1) que, pour $x<1$, on a $s'(x) = \exp(s(x))$. 34. IV.4.3. En déduire $s(x)$. 35. IV.4.4. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $P_n = \varphi^{(n)}(0)$.}FAQ
Pour réussir ce sujet, il faut vraiment maîtriser les bases de l’algèbre linéaire (matrices, déterminants, propriétés d’inversibilité), la manipulation des suites récurrentes, le calcul combinatoire (partitions, dénombrement d’applications et de dérangements), ainsi que l’analyse des espaces de polynômes et l’utilisation des bases. N’oublie pas non plus la pratique du développement limité et du calcul de dérivées successives, des outils qui tombent souvent aux concours.
Dans ce sujet, les matrices servent à organiser les relations entre coefficients définis par récurrence. Le déterminant, lui, permet d’étudier l’inversibilité de ces matrices, une propriété souvent utilisée pour identifier des bases dans les espaces vectoriels et résoudre des systèmes linéaires. Retenir les propriétés d’une matrice triangulaire ou des matrices à coefficients entiers peut franchement te donner un temps d’avance le jour J.
Le sujet explore la représentation des polynômes dans deux bases différentes, ce qui te force à manipuler les matrices de passage entre bases. Savoir comment écrire un polynôme dans la base canonique puis dans une base de fonctions (typiquement Bernoulli ou Newton) est ici fondamental : ça te sert à relier calcul formel, combinatoire, et manipulations matricielles. C’est exactement ce genre de transversalité qui est recherchée dans les concours. Tu pourras retrouver tout ce type d’exercices corrigés en détail sur Prépa Booster, via les corrigés écrits, pour reprendre chaque étape méthodique.
Quand on te demande d’étudier une application linéaire (endomorphisme), il faut systématiquement vérifier la linéarité, puis regarder la surjectivité, l’injectivité, et identifier le noyau. Ce genre de question te permet d’utiliser toutes les méthodes des espaces vectoriels : base, dimension, familles libres, images. Une bonne préparation consiste à refaire régulièrement des sujets CCINP similaires, pour gagner en routine et confort sur ces manipulations.
Oui, clairement. Les partitions d’ensembles, le dénombrement des applications et la manipulation de coefficients binomiaux sont des classiques. Ces outils sont autant sollicités en analyse combinatoire pure qu’en lien avec la structure de matrices ou la factorisation de polynômes. Entraîne-toi à retrouver les relations de récurrence, justifier leurs interprétations combinatoires, et croiser-les avec les suites et matrices comme dans ce sujet.
Le secret, c’est d’être à l’aise avec les formules de Taylor et la récursivité sur les dérivées. Dans ce sujet, il est demandé de relier explicitement le calcul des dérivées à la combinatoire (par exemple, par les dénombrements de partitions). Une astuce : commence toujours par rédiger ton DL ordonné proprement et, si possible, exploite la structure sous-jacente (suite ou matrices associées) pour retrouver des formules implicites plus générales. Pour t’entraîner sur ce type de questions, tu peux débloquer les corrigés sur Prépa Booster et profiter d’un suivi méthodique.
Les matrices à coefficients entiers sont étudiées car elles révèlent les propriétés d’algèbre structurelle, notamment quand tu cherches à savoir si une matrice inversible reste dans le même ensemble (ici, les entiers). C’est une notion-clé, souvent abordée dans les annales, pour tester ta capacité à prouver des inclusions ou à relier déterminant et structure algébrique globale. Prends soin de maîtriser les théorèmes liés à l’algèbre des matrices, ça tombe régulièrement.
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