Questions du sujet
1. I.1. Soit \( x \) et \( c \) un nombre complexe fixé.\\ Résoudre dans l’ensemble des fonctions de la variable réelle \( f \) les deux équations différentielles suivantes : \\ a) \( f”(x) = – c^2 f(x) \) ; \\ b) \( f”(x) = – c^2 f(x) + e^{ix} \). 2. I.2. Soit \( K_n \) la fonction polynôme définie sur \( \mathbb{R} \) par :\\ \( K_n(x) = (x^2 – 1)^n \) \\ 1. Montrer que \( K_n \) est de degré \( 2n \). Préciser son coefficient dominant. \\ 2. Montrer que pour tout \( x \in \mathbb{R} \) on a \( f”(x) + x f'(x) + n f(x) = 0 \), où \( f = K_n \). \\ En déduire que pour tout \( n \in \mathbb{N} \) et tout \( x \in \mathbb{R} \) on a: \\ \( K_n”(x) + x K_n'(x) + n K_n(x) = 0 \). 3. I.2.2. Pour tout \( n \in \mathbb{N} \) on pose \( K_n^* (x) = K_n (ix) \).\\ 1. Montrer que pour tout \( x \in \mathbb{R} \): \\ \( K_n^* ” (x) – x K_n^* ‘ (x) + n K_n^* (x) = 0 \) \\ 2. Montrer que: \\ \( K_n ^* (x) = (1 + x^2)^n \) 4. I.2.3. Montrer que pour tout \( n \in \mathbb{N} \) et tout \( x \in \mathbb{R} \) : \\ \( (1 + x^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 x^{2k} \) \\ (On pourra écrire \( (1 + x^2)^n\) comme produit du binôme, puis développer. On pourra aussi utiliser la double somme et la propriété de symétrie des coefficients binomiaux.) 5. I.2.4. Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), montrer que \( K_n^* (0) = 1 \) et \( K_n^* ‘ (0) = 0 \). \\ En déduire que pour tout \( n \geq 1 \), la fonction \( K_n^* \) est strictement positive et précise le signe de \( K_n^* (x) \).} 6. II.1. Soit \( f \) une fonction de la variable réelle deux fois dérivable telle que :\\ \( f”(x) + 2\pi i \nu f'(x) + (1 – \nu^2 \pi^2)f(x) = e^{2 \pi i \nu x} \) avec \( \nu \in \mathbb{R} \). \\ II.1.1. Montrer que \( f \) existe et continue sur \( \mathbb{R} \). \\ II.1.2. Montrer que \( f (0) = f (1) \) et exprimer \( f(0) \) en fonction de \( \nu \in \mathbb{R} \). \\ On pourra pour ce faire, entre autres méthodes, utiliser l’égalité \( -4 i \nu + (1-\nu^2 \pi^2) f(0) = 0 \). 7. II.2. Calculer \( f(0) \). En déduire l’expression de \( f(\nu) \) en fonction de \( \nu \).} 8. III.1. Soit \( a \) un nombre réel strictement positif.\\ Montrer que pour tout \( x \in \mathbb{R} \), la série \( \sum_{n = -\infty}^{+\infty} e^{-a(n+x)^2} \) converge. 9. III.2. Lorsque \( x \) est fixé, étudier la variation du terme général de la somme \\ \( S(x) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} f(x – 2n\pi) \), en particulier sa décroissance lorsque \( |n| \) devient grand. 10. III.3. Montrer que la série \( S(x) \) converge, puis calculer la valeur de sa somme lorsque \( f(x) = e^{-a x^2} \), avec \( a > 0 \).}FAQ
Pour résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre, commence par chercher la solution générale de l’équation homogène associée, puis trouve une solution particulière de l’équation complète. N’oublie pas d’exploiter les outils adaptés selon la forme du second membre (par exemple exponentielle, polynomiale, sinus/cosinus…). Ce type de question revient très souvent en concours comme le CCINP PC, alors bien s’entraîner est essentiel ! Retrouve des méthodes détaillées dans le corrigé en débloquant l’accès à Prépa Booster.
Les polynômes de la forme Kₙ(x) = (x² – 1)ⁿ ont des propriétés algébriques et analytiques remarquables. On peut exploiter leur degré, leur coefficient dominant, ou leur relation avec certaines équations différentielles qui modélisent des systèmes physiques et des phénomènes mathématiques classiques. Savoir manipuler ces polynômes, notamment via le binôme de Newton ou la transformation avec la variable complexe, te donne des outils puissants pour réussir des exercices variés. Ces connaissances sont très appréciées aux concours comme le CCINP. Si tu veux voir des exemples traités, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !
Les séries de la forme ∑ e^{-a(n+x)^2}, avec a > 0, sont liées à la théorie de la convergence et aux outils d’analyse comme la fonction theta de Jacobi (très présente en physique et en maths). Savoir analyser leur convergence et leur comportement en fonction de la croissance de n, c’est maîtriser des arguments classiques de maths sup/spé, que l’on retrouve aussi bien en épreuves écrites qu’orales. Les corrigés détaillés t’aideront à voir toutes les subtilités et astuces de rédaction, alors pense à débloquer l’accès sur Prépa Booster pour progresser efficacement !
Le passage à la variable complexe, comme dans Kₙ^*(x) = Kₙ(ix), te permet de relier des résultats d’analyse réelle à des outils puissants de l’analyse complexe. Cela ouvre la voie à de belles simplifications ou démonstrations élégantes, notamment quand il s’agit d’écrire des identités remarquables ou d’étudier le signe ou la positivité des fonctions. Ce dialogue entre réel et complexe est un atout majeur dans la résolution de nombreux exercices scientifiques. Tous ces ponts sont illustrés dans le corrigé détaillé accessible via Prépa Booster.
Les conditions aux bords, telles que f(0) = f(1), interviennent dans de nombreux problèmes de physique et de maths (équations de la chaleur, vibrations, etc.). Elles permettent de déterminer de façon unique la solution à une équation différentielle, d’exploiter la périodicité ou la symétrie des solutions, ou encore d’exprimer certains coefficients inconnus en fonction des paramètres. Savoir bien utiliser ces conditions est fondamental pour espérer réussir les exercices de concours PC.