Questions du sujet
1. Justifier que la matrice $$ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 6 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} $$ est diagonalisable et déterminer une matrice $P$ telle que $P^{-1}AP$ soit diagonale.} 2. Application : On considère trois suites réelles $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$, et $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telles que : $$ \begin{cases} u_{n+1} = 4u_n + 2v_n + 2w_n \\ v_{n+1} = 6u_n + 4v_n + 6w_n \\ w_{n+1} = u_n + v_n + 3w_n \end{cases} $$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $$ X_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \\ w_n \end{pmatrix} $$ et $$ Y_n = P^{-1}X_n = \begin{pmatrix} \alpha_n \\ \beta_n \\ \gamma_n \end{pmatrix}. $$ Pour tout $n \in \mathbb{N}$, exprimer $Y_n$ en fonction de $\alpha_0, \beta_0, \gamma_0$ et $n$. À quelle condition sur $(u_0, v_0, w_0)$ les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent-elles simultanément ? Expliciter alors ces suites.} 3. Si $s$ est une liste Python représentant une permutation de $S_4$, quelle instruction Python permet de trouver l’image de $1$ par cette permutation ? Quelle liste Python représente la transposition $(2\ 3) \in S_4$ ?} 4. Écrire une fonction Python \texttt{comp(s1, s2)} prenant en entrée deux listes représentant des permutations $\sigma_1$ et $\sigma_2$ du même groupe de permutations et renvoyant la liste représentant la permutation $\sigma_1 \circ \sigma_2$.} 5. Écrire une fonction Python \texttt{inv(s)} prenant en entrée une liste représentant une permutation $\sigma$ et renvoyant la liste représentant $\sigma^{-1}$.} 6. On souhaite tester si un sous-ensemble $G$ de $S_n$ est ou non un sous-groupe de $S_n$. Écrire une fonction Python \texttt{groupe(G)} prenant en entrée une liste de listes, où chaque sous-liste représente une permutation de $S_n$ et renvoyant \texttt{True} s’il s’agit bien d’un sous-groupe de $S_n$, \texttt{False} sinon.} 7. Écrire une fonction Python \texttt{cyclique(s)} prenant en entrée une liste $s$ représentant une permutation $\sigma$ de $S_n$ et renvoyant le sous-groupe de $S_n$ engendré par $\sigma$, sous la forme d’une liste de listes.} 8. Démontrer, en utilisant directement la définition précédente, que la matrice $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ est définie positive.} 9. Énoncer et démontrer une condition nécessaire et suffisante sur les valeurs propres d’une matrice symétrique réelle pour que celle-ci soit définie positive.} 10. Application : Démontrer que le polynôme $P(X) = X^3 – 6X^2 + 9X – 3$ admet trois racines réelles distinctes (on ne cherchera pas à les déterminer). Démontrer alors que la matrice $$ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} $$ est définie positive grâce à la caractérisation spectrale.} 11. Démontrer qu’une matrice définie positive $M$ de taille quelconque vérifie toujours $\operatorname{Tr}(M)>0$ et $\det(M)>0$.} 12. Démontrer qu’une matrice symétrique $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, dont la trace et le déterminant sont strictement positifs, est définie positive.} 13. Le résultat de la question précédente reste-t-il vrai pour les matrices symétriques de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ ?} 14. Application : Utiliser le résultat précédent afin de démontrer que $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x, y) = x^2 + y^2 + xy$ admet un extremum local. Préciser s’il s’agit d’un minimum local ou d’un maximum local.} 15. On fixe une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, un entier $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$, ainsi qu’un vecteur colonne $$ X_k = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_k \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^k $$ Déterminer un vecteur colonne $X \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$, tel que $X^T M X = X_k^T M_k X_k.$} 16. Démontrer que toute matrice symétrique réelle définie positive vérifie le critère de Sylvester.} 17. Soit $n \geq 2$ et soit une matrice symétrique $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\det(M)>0$. On écrit cette matrice par blocs sous la forme suivante : $$ M = \begin{pmatrix} M_{n-1} & U \\ U^T & \alpha \end{pmatrix} $$ avec $M_{n-1} \in \mathcal{M}_{n-1}(\mathbb{R})$, $U \in \mathbb{R}^{n-1,1}$ et $\alpha \in \mathbb{R}$. On suppose que la matrice $M_{n-1}$ est définie positive. Justifier l’existence d’un vecteur colonne $V \in \mathbb{R}^{n-1,1}$ tel que $M_{n-1}V + U = 0$. En notant $Q = \begin{pmatrix} I_{n-1} & V \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, démontrer alors que $Q^T M Q$ s’écrit par blocs $\begin{pmatrix} M_{n-1} & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$ avec $\beta > 0$.} 18. Démontrer par récurrence que toute matrice symétrique réelle vérifiant le critère de Sylvester est définie positive.} 19. Pour quelles valeurs de $x \in \mathbb{R}$ la matrice $$ C_x = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & x \\ 0 & x & 1 \end{pmatrix} $$ est-elle définie positive ?} 20. La matrice $$ \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 & 5 & 0 \\ 5 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ est-elle définie positive ? Justifier.} 21. Démontrer que pour tout $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$ : $$ 2x^2 + 2y^2 + 4z^2 – 2xy – 2xz > 0. $$} 22. Pour quelles valeurs de $n \in \mathbb{N}^*$ la matrice $$ S_n = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 3 & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & 3 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $$ est-elle définie positive ?}FAQ
Pour déterminer si une matrice est diagonalisable, tu dois vérifier que la dimension de l’espace engendré par ses vecteurs propres est égale à la dimension de la matrice, c’est-à-dire qu’elle possède une base de vecteurs propres. Cela simplifie énormément les calculs, en particulier pour les puissances de matrices ou la résolution de suites récurrentes. La diagonalisabilité est une notion-clé attendue lors des épreuves du CCINP en MP, parce qu’elle s’appuie à la fois sur l’algèbre linéaire, la manipulation de matrices et le raisonnement rigoureux.
Le critère de Sylvester permet de caractériser la définition positive d’une matrice symétrique réelle en examinant les mineurs principaux : une matrice est définie positive si et seulement si tous ses mineurs principaux sont strictement positifs. C’est un outil très utile pour éviter des calculs fastidieux avec des vecteurs. Pour l’appliquer, tu dois successivement calculer les déterminants des sous-matrices principales de taille croissante – très efficace dans des matrices de plus grande taille à l’écrit CCINP.
Pour étudier la convergence d’une suite vectorielle récurrente, tu peux souvent ‘diagonaliser’ la matrice associée au système puis exprimer chaque composante en fonction de n et des conditions initiales. La convergence dépend alors des valeurs propres : si elles sont toutes de module strictement inférieur à 1, la suite va converger. C’est un grand classique en MP car cette méthode mêle plusieurs compétences du programme : matrices, valeur propres et suites récurrentes. N’hésite pas à débloquer les corrigés Prépa Booster pour t’entraîner sur ce genre de questions et obtenir des astuces pour chaque étape.
Représenter une permutation sous forme de liste en Python, c’est traduire mathématiquement une bijection de {1, …, n} vers {1, …, n}. Savoir composer, inverser ou générer des sous-groupes cycliques à l’aide de fonctions Python permet de structurer sa réflexion algorithmique et d’expliciter l’abstraction algébrique. Cela fait partie des compétences très appréciées au CCINP et ailleurs, car tu relies mathématiques pures et compétences numériques très actuelles.
Pour démontrer l’existence d’un extremum local, il faut étudier le signe de la matrice Hessienne de la fonction en le point critique. Si la Hessienne est définie positive au point considéré, alors tu as un minimum local ; si elle est définie négative, il s’agit d’un maximum. C’est un vrai pont entre l’algèbre linéaire et l’analyse, omniprésent dans les sujets de maths de concours et fondamental pour la suite de tes études scientifiques.
La notion de matrice définie positive intervient autant en analyse, qu’en algèbre et en probabilités. Une matrice réelle symétrique est définie positive si pour tout vecteur non nul X, le produit X^T MX est strictement positif. Tu peux aussi le démontrer grâce au critère de Sylvester ou encore par l’analyse des valeurs propres : toutes doivent être strictement positives. Maîtriser ces différentes approches t’offre la souplesse nécessaire pour affronter toutes les variantes rencontrées au concours.
Pour tester si un ensemble de permutations forme un sous-groupe de Sn, il faut vérifier la présence de l’identité, la stabilité par composition et la présence de l’inverse pour chaque élément. En Python, cela se formalise en vérifiant ces propriétés au sein d’une liste de listes. Garde en tête que la vérification doit être exhaustive et que des erreurs de programmation (indices, confusion entre éléments et indices de listes, etc.) sont classiques sous la pression de l’examen.
En dimension 2, une matrice symétrique dont la trace et le déterminant sont strictement positifs est définie positive. En dimension 3, ce n’est plus suffisant, il faut contrôler la positivité de tous les mineurs principaux. C’est cette subtilité qui peut piéger, donc pense toujours à Sylvester en dimension supérieure. Si tu veux être sûr de ton raisonnement sur tous les exercices, débloque l’accès aux corrigés et au dashboard Prépa Booster.
Le concours CCINP cherche à évaluer non seulement ta maîtrise conceptuelle des objets mathématiques avancés (matrices, diagonalisation, etc.), mais aussi ta capacité à résoudre des problèmes concrets, à élaborer des algorithmes et à coder. Les exercices combinent donc réflexion rigoureuse et algorithmique – un atout pour aborder la science d’aujourd’hui et de demain.