Questions du sujet
1. Démontrer que l’on définit un produit scalaire sur $E$ en posant, pour tout couple $(P, Q)$ de polynômes de $E$, $< P, Q > = \int_0^{+\infty} P(x)Q(x)e^{-x}dx$. On notera $\|\|$ la norme euclidienne associée. 2. Déterminer le projeté orthogonal de $X^2$ sur $F = \mathbb{R}_1[X]$ noté $P_F (X^2)$. 3. Justifier que $\| X^2 – P_F (X^2) \|^2 = \| X^2 \|^2 – \| P_F (X^2) \|^2$ puis calculer le réel : \[\inf_{(a,b)\in\mathbb{R}^2} \int_0^{+\infty} (x^2 – ax – b)^2 e^{-x}dx.\] 4. Pour tout couple $(m, n)$ d’entiers naturels, déterminer $\mathbb{P}\big((Z = m) \cap (T = n)\big)$ en distinguant trois cas : $m > n$, $m < n$ et $m = n$. 5. En déduire la loi de la variable aléatoire $Z$.} 6. Vérifier que la matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ est diagonalisable.\\ Démontrer que les matrices $\Pi_1 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ et $\Pi_2 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ sont des matrices de projecteurs puis calculer $\Pi_1 + 5\Pi_2$, $\Pi_1 + \Pi_2$ et $\Pi_1\Pi_2$. 7. On rappelle le lemme de décomposition des noyaux :\\ si $P_1, P_2, \ldots, P_r$ sont des éléments de $\mathbb{C}[X]$ deux à deux premiers entre eux de produit égal à $T$, si $u$ est un endomorphisme de $E$, alors : \[ \mathrm{Ker}[T(u)] = \mathrm{Ker}(P_1(u)) \oplus \mathrm{Ker}(P_2(u)) \oplus \ldots \oplus \mathrm{Ker}(P_r(u)). \] L’objet de cette question est de démontrer le cas particulier $r = 2$.\\ Soit $u$ un endomorphisme de $E$ et soient $P$ et $Q$ deux polynômes premiers entre eux.\\ Justifier que $\mathrm{Ker}(P(u)) \subset \mathrm{Ker}[(PQ)(u)]$ (de même, on a : $\mathrm{Ker}(Q(u)) \subset \mathrm{Ker}[(PQ)(u)]$). Démontrer que : $\mathrm{Ker}[(PQ)(u)] = \mathrm{Ker}(P(u)) \oplus \mathrm{Ker}(Q(u))$.\\ Dans la suite du problème, on pourra utiliser librement le lemme de décomposition des noyaux. 8. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ et soit $\pi_u$ son polynôme minimal.\\ On suppose que $\pi_u = P_1^{k_1}P_2^{k_2}$ où les polynômes $P_1$ et $P_2$ sont premiers entre eux. On pose, pour tout entier $i \in \{1;2\}$, $Q_i = \frac{\pi_u}{P_i^{k_i}}$.\\ Justifier qu’il existe deux polynômes $R_1$ et $R_2$ de $\mathbb{C}[X]$ tels que $R_1 Q_1 + R_2 Q_2 = 1$.\\ Pour la suite de cette partie, on notera $\pi_u = P_1^{k_1} P_2^{k_2} \ldots P_m^{k_m}$ la décomposition en facteurs premiers du polynôme minimal et on admettra que, si pour tout entier $i \in \{1, 2, \ldots, m\}$, $Q_i = \frac{\pi_u}{P_i^{k_i}}$, il existe des polynômes de $\mathbb{C}[X]$ tels que $R_1 Q_1 + R_2 Q_2 + \ldots + R_m Q_m = 1$. 9. On pose alors, pour tout entier $i \in \{1,\ldots, m\}$, $p_i = R_i(u) \circ Q_i(u)$.\\ Démontrer que, pour tout couple $(i,j)$ d’entiers distincts de $\{1,\ldots, m\}$, on a les trois résultats suivants : \[ p_i \circ p_j = 0,\quad \sum_{i=1}^m p_i = \mathrm{id}_E, \] et chaque $p_i$ est un projecteur de $E$.\\ Les $p_i$ seront appelés projecteurs associés à $u$. 10. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ et soit $\chi_u$ son polynôme caractéristique : \[ \chi_u = \prod_{i=1}^m (X-\lambda_i)^{\alpha_i} \] (avec les $\lambda_i$ deux à deux distincts et les $\alpha_i$ des entiers naturels non nuls) et, pour tout entier $i \in \{1, 2, \ldots, m\}$, $N_i = \mathrm{Ker}(u - \lambda_i\ \mathrm{id}_E)^{\alpha_i}$ le sous-espace propre caractéristique associé à $\lambda_i$.\\ Justifier que $E = N_1 \oplus N_2 \oplus \ldots \oplus N_m$.} 11. Démontrer que $E = \mathrm{Im}\ p_1 \oplus \mathrm{Im}\ p_2 \oplus \ldots \oplus \mathrm{Im}\ p_m$. 12. Démontrer que, pour tout entier $i \in \{1, 2, \ldots, m\}$, $N_i = \mathrm{Im}\ p_i$. 13. Dans toute cette partie, on suppose que l’endomorphisme $u$ est diagonalisable et on note $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ ses valeurs propres distinctes.\\ Quel est alors le polynôme minimal $\pi_u$ de $u$ ? 14. On note toujours, pour tout entier $i \in \{1,2, \ldots, m\}$, $Q_i = \frac{\pi_u}{P_i}$ où $P_i = X - \lambda_i$, et on pose $\theta_i = \frac{1}{Q_i(\lambda_i)}$.\\ Donner sans détails, la décomposition en éléments simples de $\frac{1}{\pi_u}$, puis démontrer que les projecteurs associés à $u$ sont, pour tout entier $i \in \{1, 2, \ldots, m\}$, $p_i = \frac{Q_i(u)}{Q_i(\lambda_i)}$. 15. Démontrer que $X = \sum_{i=1}^m \lambda_i \frac{Q_i(X)}{Q_i(\lambda_i)}$ puis que $u = \sum_{i=1}^m \lambda_i p_i$ (décomposition spectrale de $u$).} 16. Exemple : on considère la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$. \begin{itemize} \item[(a)] Justifier que la matrice $A$ est diagonalisable et calculer la matrice $A^2$. \item[(b)] En déduire le polynôme minimal $\pi_A$ de la matrice $A$ puis la décomposition spectrale de la matrice $A$. On notera $\Pi_1$ et $\Pi_2$ les matrices des projecteurs associés. \item[(c)] Calculer, pour tout entier naturel $q$, $A^q$ en fonction des matrices $\Pi_1$ et $\Pi_2$. \end{itemize} 17. On note $\mathbb{C}[v]$ l’algèbre des polynômes d’un endomorphisme $v$ d’un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie.\\ Démontrer que la dimension de l’espace vectoriel $\mathbb{C}[v]$ est égale au degré du polynôme minimal $\pi_v$ de l’endomorphisme $v$. 18. On revient au cas $u$ diagonalisable avec $\pi_u = \prod_{i=1}^m (X - \lambda_i)$.\\ Démontrer que la famille $(p_1, p_2,\ldots, p_m)$ des projecteurs associés à $u$ est une base de l’espace vectoriel $\mathbb{C}[u]$. 19. Dans le cas d’un endomorphisme $u$ non diagonalisable, la famille $(p_1, p_2, \ldots, p_m)$ des projecteurs associés à $u$ est-elle toujours une base de l’espace vectoriel $\mathbb{C}[u]$ ? 20. Nous avons vu que si $u$ est un endomorphisme de $E$ diagonalisable, il existe $m$ endomorphismes non nuls $p_i$ de $E$, tels que, pour tout entier naturel $q$, on ait $u^q = \sum_{i=1}^m \lambda_i^q p_i$.\\ Nous allons étudier une "réciproque".\\ Soit $u$ un endomorphisme de $E$, $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie. On suppose qu’il existe $m$ endomorphismes non nuls $f_i$ de $E$ et $m$ complexes $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m$ distincts, tels que, pour tout entier naturel $q$, on ait $u^q = \sum_{i=1}^m \lambda_i^q f_i$.\\ Démontrer que $u$ est diagonalisable.}FAQ
Un produit scalaire sur un espace de polynômes, comme celui défini par l’intégrale pondérée par une fonction positive, permet de manipuler ces fonctions comme tu le ferais avec des vecteurs classiques en géométrie. Il est fondamental en CPGE, surtout en MP, car il sert de base à la notion d’orthogonalité, de projection et de développement dans des bases particulières comme les polynômes orthogonaux. Ce genre de question revient très souvent dans les épreuves du concours CCINP.
La décomposition spectrale, c’est le fait d’exprimer un endomorphisme (ou une matrice) comme une somme de projecteurs pondérés par les valeurs propres. Ça permet de calculer facilement les puissances de matrices, de résoudre des systèmes différentiels, ou d’étudier la stabilité. En MP, maîtriser la diagonalisation, le spectre, et la construction des projecteurs associés est un must pour bien réussir dans la partie algèbre des concours, notamment pour des questions sur les puissances de matrices ou la classification des endomorphismes.
Le polynôme caractéristique sert à déterminer les valeurs propres d’un endomorphisme ou d’une matrice ; c’est celui dont tu calcules le déterminant. Le polynôme minimal est le plus simple annulateur de ton endomorphisme, il joue un rôle clé pour la réduction et la décomposition en sous-espaces invariants. Distinguer les deux est crucial, car certaines propriétés dépendent du minimal (comme la diagonalisabilité), alors que le caractéristique te renseigne sur la multiplicité des valeurs propres.
Les projecteurs liés à un endomorphisme te permettent de décomposer ton espace vectoriel en sous-espaces stables et indépendants. Ils sont essentiels lorsqu’on travaille sur la diagonalisation ou la réduction d’opérateurs, et ils offrent une méthode rapide pour calculer des puissances d’endomorphismes, indispensable en concours. Leur construction passe généralement par la méthode des polynômes annulateurs et la relation de Bézout, notions incontournables pour briller aux écrits !
Dans ce sujet, on retrouve l’étude de la loi de variables aléatoires à travers des ensembles d’événements combinés et des probabilités conditionnelles. Cela te permet de manipuler des lois discrètes, de travailler sur des distributions de probabilités, et surtout de lier algèbre linéaire et probabilités, deux thèmes phares en MP. C’est typiquement le genre d’exercice qui fait la différence sur ta copie !
Les intégrales pondérées (comme avec un poids e^{-x}) sont omniprésentes pour calculer des produits scalaires, des moments ou résoudre des problèmes d’optimisation quadratique. Il faut t’entraîner à maîtriser l’intégration par parties, la linéarité et l’interprétation géométrique de ces intégrales. C’est toujours valorisé dans les épreuves du CCINP, notamment pour montrer la maîtrise d’outils analytiques avancés.
Travailler sur les noyaux et les sommes directes, c’est se donner les moyens de comprendre la structure fine d’un espace vectoriel sous l’action d’un endomorphisme. Cela permet de découper les problèmes complexes en sous-systèmes plus simples, souvent associés à des valeurs propres spécifiques, ce qui est utile aussi bien pour la diagonalisation que pour la résolution d’équations fonctionnelles. En MP, la maîtrise de ces notions t’ouvre la porte aux points bonus !
Savoir si un endomorphisme (ou une matrice) est diagonalisable te permet de savoir s’il est possible de simplifier ton problème au maximum. Être à l’aise avec les critères — multiplicité des valeurs propres, égalité du polynôme minimal et caractéristique, existence d’une base de vecteurs propres —, c’est une compétence clé qui revient quasi systématiquement en concours, sur des questions directes ou dans des problèmes de plus grande envergure.
L’algèbre des polynômes te permet de manipuler facilement les applications d’un endomorphisme, de calculer des puissances, d’expliciter des projecteurs ou encore de travailler sur la réduction de matrices. C’est la boîte à outils pour tout ce qui touche aux systèmes linéaires, à la dynamique linéaire, ou encore à l’étude fine des applications linéaires. C’est en t’entraînant sur ce terrain que tu gagneras en aisance pour les oraux comme pour les écrits ! Pour exploiter leurs corrigés détaillés, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
On te conseille de t’entraîner sur des sujets variés, notamment ceux comportant des questions de projections, de projecteurs, de polynômes minimaux et d’intégrales pondérées. Relis bien ton cours sur les produits scalaires, les bases orthogonales, la diagonalisation et les probabilités discrètes. Entraîne-toi à rédiger vite et bien, car la précision de la rédaction est souvent valorisée. Et surtout, n’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour t’exercer avec des solutions détaillées, des corrections structurées et progresser plus vite via le dashboard personnalisé.