Questions du sujet
1. On munit $M_n(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique $(A|B) = \mathrm{trace}(A^tB)$, déterminer $D_n(\mathbb{R})^{\perp}$, l’orthogonal de $D_n(\mathbb{R})$ pour ce produit scalaire. 2. Donner le couple de la décomposition de Dunford d’une matrice $A$ de $M_n(K)$ lorsque $A$ est diagonalisable, puis lorsque la matrice $A$ de $M_n(K)$ est nilpotente.\\ Justifier qu’une matrice trigonalisable vérifie l’hypothèse du théorème, admettant ainsi une décomposition de Dunford.\\ Le couple de matrices $\left(\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 2\\0 & 0\end{pmatrix}\right)$ est-il la décomposition de Dunford de la matrice $\begin{pmatrix}0 & 2\\1 & 1\end{pmatrix}$ ? 3. Donner un exemple d’une matrice de $M_2(\mathbb{R})$ n’admettant pas de décomposition de Dunford dans $M_2(\mathbb{R})$. 4. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}8 & 0 & 3 \\ 6 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & 2\end{pmatrix}$. 5. Pour $A \in M_n(K)$, $\exp(A) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{A^k}{k!}$ est l’exponentielle de la matrice $A$.\\ Déduire de la question précédente l’exponentielle de la matrice $A$ définie en Q4.\\ On pourra utiliser sans démonstration que si $M$ et $N$ sont deux matrices de $M_n(K)$ qui commutent, $\exp(M+N) = \exp(M)\exp(N)$.} 6. Soit $A \in M_n(K)$ telle que $A^2 – A = 0$.\\ Justifier que le polynôme $X(X-1)$ est annulateur de la matrice $A$.\\ Démontrer que le couple $(D,N)$ de la décomposition de Dunford de la matrice $A$ est donné par : $D = A^2$ et $N = A – A^2$. 7. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}$.\\ On note $u$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ canoniquement associé à la matrice $A$.\\ On notera $\mathrm{id}$ l’application identité de $\mathbb{R}^3$.\\ La matrice $A$ est-elle diagonalisable dans $M_3(\mathbb{R})$ ?\\ Démontrer qu’on a la somme directe : $\mathbb{R}^3 = \ker(u-\mathrm{id}) \oplus \ker((u-2\mathrm{id})^2)$. 8. Déterminer une base $(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ telle que:\\ $\ker(u-\mathrm{id}) = \mathrm{vect}\{e_1\}$, $\ker(u-2\mathrm{id}) = \mathrm{vect}\{e_2\}$ et $\ker((u-2\mathrm{id})^2) = \mathrm{vect}\{e_2,e_3\}$.\\ Écrire la matrice $B$ de $u$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb{R}^3$. 9. Déterminer le couple de la décomposition de Dunford de la matrice $B$ et en déduire le couple (on calculera ces matrices) de la décomposition de Dunford de la matrice $A$. 10. Décomposer en éléments simples la fraction $\dfrac{1}{(X-1)(X-2)}$ et en déduire deux polynômes $U$ et $V$ tels que :\\ $U(X)(X-1) + V(X)(X-2) = 1$ avec $\deg U < 2$ et $\deg V < 1$.} 11. On pose les endomorphismes : $p = V(u) \circ (u-2\mathrm{id})$ et $q = U(u) \circ (u-\mathrm{id})$.\\ Calculer $p(x) + q(x)$ pour tout $x$ vecteur de $\mathbb{R}^3$.\\ Démontrer que $p$ est le projecteur sur $\ker(u-\mathrm{id})$ parallèlement à $\ker((u-2\mathrm{id})^2)$ et $q$ est le projecteur sur $\ker((u-2\mathrm{id})^2)$ parallèlement à $\ker(u-\mathrm{id})$. 12. On pose $d = p + 2q$. Écrire la matrice de $d$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ (de la question Q8).\\ Déterminer le couple de la décomposition de Dunford de la matrice $A$ en exprimant $D$ et $N$ comme polynômes de la matrice $A$ (sous forme développée). 13. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$.\\ Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes diagonalisables de $E$ qui commutent. On note $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_p$ les valeurs propres de $u$ et pour tout $1 \leq i \leq p$, $E_u(\lambda_i)$ le sous-espace propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda_i$.\\ Démontrer que tout sous-espace propre de $u$ est stable par $v$.\\ En déduire qu’il existe une base commune de diagonalisation pour $u$ et $v$.\\ Pour tout $1 \leq i \leq p$, on pourra noter $v_i$ l’endomorphisme induit par $v$ sur $E_u(\lambda_i)$. 14. Soient $A$ et $B$ deux matrices diagonalisables de $M_n(K)$ qui commutent. Démontrer que la matrice $A - B$ est diagonalisable. 15. Soient $A$ et $B$ deux matrices nilpotentes de $M_n(K)$ qui commutent, démontrer que la matrice $A - B$ est nilpotente.} 16. Déterminer les matrices de $M_n(K)$ qui sont à la fois diagonalisables et nilpotentes. 17. Dans cette question, on admet, pour toute matrice carrée $A$ de $M_n(K)$ à polynôme caractéristique scindé, l’existence d’un couple $(D,N)$ vérifiant les conditions (1), (2), (3), (4) et tel que $D$ et $N$ soient des polynômes en $A$.\\ Établir l’unicité du couple $(D,N)$ dans la décomposition de Dunford. 18. On note $D$ l’ensemble des matrices de $M_n(\mathbb{C})$ qui sont diagonalisables.\\ $D$ est-il un espace vectoriel ?\\ Si $P$ est une matrice inversible de $M_n(\mathbb{C})$, justifier que l’application de $M_n(\mathbb{C})$ vers $M_n(\mathbb{C})$, $M \mapsto PMP^{-1}$ est continue. 19. Démontrer que $D$ est dense dans $M_n(\mathbb{C})$. 20. Si $(D, N)$ est le couple de la décomposition de Dunford d’une matrice $A$, on note $\varphi$ l’application de $M_n(\mathbb{C})$ dans $D$ qui à la matrice $A$ associe la matrice $D$.\\ Justifier que $\varphi$ est l’application identité sur $D$ et en déduire que l’application $\varphi$ n’est pas continue.}FAQ
Pour te démarquer à l’épreuve CCINP de maths, il faut absolument être solide sur les matrices, en particulier les espaces vectoriels, les produits scalaires, la notion d’orthogonalité, la trigonalisabilité, la décomposition de Dunford, l’exponentielle de matrices, et les projecteurs. Savoir manipuler les endomorphismes, les valeurs propres, la diagonalisation, mais aussi les applications comme la base de Jordan ou la croissance exponentielle (calcul de l’exponentielle de matrices) est fondamental. Ces notions sont souvent transversales et régulièrement sollicitées en concours d’écoles d’ingénieurs.
La décomposition de Dunford, c’est la possibilité d’écrire n’importe quelle matrice (ou endomorphisme) admettant un polynôme caractéristique scindé, comme la somme d’une partie diagonalisable et d’une partie nilpotente qui commutent. Au-delà de la technique, c’est un outil puissant pour analyser les matrices, simplifier des calculs ou étudier la stabilité des systèmes. Savoir la manipuler, ça permet de résoudre nombre de questions de concours et d’approfondir la compréhension des structures linéaires. Tu veux t’entraîner sur cette notion ? Débloque les corrigés pour trouver des exercices adaptés sur Prépa Booster !
Pour vérifier si une matrice est diagonalisable, tu dois regarder son polynôme minimal et ses valeurs propres. Si le polynôme minimal se scinde en facteurs simples et que la somme des dimensions des sous-espaces propres fait bien n, c’est gagné ! Pour la nilpotence, regarde si une puissance de la matrice est nulle : A^p = 0 pour un certain p. Un conseil : entraîne-toi à détecter rapidement ces situations, car elles reviennent très souvent en concours, y compris à l’oral. Les corrigés détaillés de Prépa Booster t’aident à faire le point sur la méthode à chaque étape.
L’exponentielle de matrice sert partout : équations différentielles linéaires, systèmes dynamiques, probabilités continues… et bien sûr dans l’algèbre linéaire pure ! Elle permet d’exprimer l’évolution de systèmes, de trouver des solutions explicites, ou de diagonaliser/simplifier les calculs. Savoir la calculer, en utilisant par exemple les propriétés de commutation ou la trigonalisation, c’est indispensable pour aller vite en concours. Les annales CCINP le confirment : maîtriser l’exponentielle, c’est marquer des points !
Prendre l’orthogonal d’un sous-espace, c’est trouver tous les éléments qui sont orthogonaux à chaque vecteur de ce sous-espace selon un produit scalaire donné. Dans le cas des matrices, avec le produit scalaire canonique (trace de A^T B), cet orthogonal permet souvent de construire des bases supplémentaires ou de comprendre la structure de l’espace total des matrices. Savoir manipuler ces outils, c’est incontournable pour réussir les sujets du concours CCINP et plus généralement pour maîtriser l’algèbre en prépa MP.
Parce que ça touche à l’essence même de l’algèbre linéaire. Deux endomorphismes diagonalisables qui commutent partagent une base commune de diagonalisation. Cet outil puissant permet de simplifier massivement les calculs, de résoudre des systèmes ou d’analyser la structure interne d’un espace vectoriel. Maîtriser cette propriété, c’est avoir un coup d’avance sur le sujet, et c’est souvent plébiscité en concours d’entrée aux écoles d’ingénieurs.
Cette propriété signifie que “presque toute” matrice peut être approchée arbitrairement bien par une matrice diagonalisable, ce qui est très utile pour l’approximation, les simulations numériques ou l’étude de la stabilité des systèmes. Pour les épreuves CCINP MP, comprendre cette densité, c’est montrer ta maturité en algèbre linéaire et ta capacité à manier des résultats globaux et abstraits.
Changer de base pour adapter la matrice à la structure (base de vecteurs propres, base adaptée à une somme directe, etc.) te permet de simplifier les calculs et de voir la structure cachée (diagonale, triangle, blocs…). C’est une technique incontournable pour traiter efficacement les questions d’algèbre linéaire avancée et c’est en t’y exerçant que tu gagneras en rapidité. Pour chaque type de question, Prépa Booster te propose des corrigés détaillés à débloquer afin de t’entraîner en conditions concours !