Questions du sujet
1. Justifier, sans calcul, que la matrice $A$ est diagonalisable puis déterminer une matrice $D$ diagonale réelle et une matrice $P\in GL_3(\mathbb{R})$ telles que $A = PDP^{-1}$. 2. Déterminer une matrice $B$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$, que l’on explicitera, vérifiant $B^2 = A$. 3. Déterminer, pour tout entier naturel non nul $n$, les 9 coefficients de la matrice $A^n$ en utilisant la matrice de passage $P$. 4. Donner le polynôme minimal de la matrice $A$ et en déduire, à l’aide d’une division euclidienne de polynômes, la matrice $A^n$ comme une combinaison linéaire des matrices $A$ et $I_2$. 5. L’ensemble $GL_n(\mathbb{R})$ est-il fermé dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ?} 6. Démontrer que l’ensemble $GL_n(\mathbb{R})$ est ouvert dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. 7. Soit $M$ un élément de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, justifier que : \[ \exists \rho > 0, \ \forall \lambda \in \,]0, \rho[, \ M + \lambda I_n \in GL_n(\mathbb{R}). \] Démontrer que l’ensemble $GL_n(\mathbb{R})$ est dense dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. 8. Si $A$ et $B$ sont deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, démontrer que les matrices $A.B$ et $B.A$ ont le même polynôme caractéristique. À l’aide des matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, prouver que le résultat n’est pas vrai pour les polynômes minimaux. 9. Démontrer que $GL_n(\mathbb{R})$ n’est pas connexe par arcs. On rappelle que l’image d’une partie connexe par arcs par une application continue est une partie connexe par arcs. 10. Démontrer que la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ est, dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$, la matrice d’une similitude $u$ dont on précisera le rapport.} 11. Interprétation géométrique avec la similitude $u$ de la question précédente. Le plan $\mathbb{R}^2$ est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{e}_1, \vec{e}_2)$. On considère les trois points $M(2,1)$, $N(4,1)$, $P(4,2)$ et on définit les points $M’,N’,P’$ par les relations $\overrightarrow{OM’} = u(\overrightarrow{OM})$, $\overrightarrow{ON’} = u(\overrightarrow{ON})$, $\overrightarrow{OP’} = u(\overrightarrow{OP})$. Représenter les triangles $MNP$ et $M’N’P’$ et comparer leurs aires. 12. Démontrer que tout élément de $Sim(E)$ est bijectif et établir que $Sim(E)$, muni de la loi de composition, est un groupe. 13. Soient $u$ un endomorphisme de $E$, $\mathcal{B}$ une base orthonormée de $E$ et $A$ la matrice de $u$ dans la base $\mathcal{B}$. Démontrer que $u$ est un automorphisme orthogonal de $E$ si et seulement si $A \cdot A^\mathrm{t} = I_n$. Caractériser par une relation matricielle une similitude de rapport $k$. 14. Exemple Démontrer que la matrice $\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}$ est la matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ d’une similitude $u$ dont on donnera le rapport. Donner la matrice de la similitude $u^{-1}$. Vérifier que, pour tout élément $f$ de $O(E)$, $u \circ f \circ u^{-1} \in O(E)$. 15. On appelle sphère de centre $0$ et de rayon $r>0$, l’ensemble des vecteurs $x$ de $E$ tels que $\Vert x \Vert = r$. Démontrer que si $u$ est un endomorphisme de $E$ tel que l’image par $u$ de toute sphère de $E$ de centre $0$ est une sphère de $E$ de centre $0$, alors $u$ est une similitude de $E$. On pourra remarquer que pour $y$ vecteur non nul, $\left\Vert \frac{y}{\Vert y \Vert} \right\Vert = 1$.} 16. On rappelle qu’une homothétie vectorielle de $E$ est une application de la forme $\alpha \, \mathrm{id}_E$. Démontrer que $u \in Sim(E)$ si et seulement si $u$ est la composée d’une homothétie vectorielle non nulle de $E$ et d’un élément de $O(E)$. 17. Exemple Écrire la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ comme produit de la matrice d’une homothétie vectorielle et de la matrice d’un automorphisme orthogonal de $\mathbb{R}^2$ dont on précisera la nature. 18. Démontrer que : \[ \forall (x, y) \in E^2, \quad \langle x|y \rangle = \frac{1}{4} \left( \|x+y\|^2 – \|x-y\|^2 \right). \] En déduire que $u$ est une similitude de rapport $k$, si et seulement si \[ \forall (x,y) \in E^2, \quad \langle u(x) | u(y) \rangle = k^2 \langle x | y \rangle. \] 19. Démontrer que, si $u$ est une similitude de rapport $k$, alors, pour tout couple $(x, y)$ de vecteurs de $E$, $x \perp y \implies u(x) \perp u(y)$. On dit que l’endomorphisme $u$ conserve l’orthogonalité. Réciproquement, on suppose que $u$ est un endomorphisme de $E$ conservant l’orthogonalité. Soit $(e_1, e_2, …, e_n)$ une base orthonormée de $E$. Démontrer que : \[ \forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2, \ \langle e_i + e_j | e_i – e_j \rangle = 0, \quad \text{puis que} \ \forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2, \ \|u(e_i)\| = \|u(e_j)\| . \] On note $k$ la valeur commune prise par tous les $\|u(e_i)\|$. Après avoir justifié que, pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$, $u(e_i) = k e_i$, démontrer que $u$ est une similitude de rapport $k$. 20. Soit $u$ une application de $E$ dans $E$ (non supposée linéaire) telle qu’il existe un réel $k>0$ pour lequel : \[ \forall (x,y) \in E^2, \quad \langle u(x)|u(y)\rangle = k^2 \langle x|y\rangle. \] Démontrer que $u$ est un endomorphisme de $E$, puis que $u$ est une similitude de $E$.}FAQ
Pour repérer rapidement si une matrice est diagonalisable, il faut regarder la nature de ses valeurs propres et la dimension de ses espaces propres. Si la somme des dimensions des espaces propres correspond à la taille de la matrice, alors elle est diagonalisable. Maîtriser cette notion est crucial en maths sup/maths spé, car la diagonalisation simplifie grandement le calcul des puissances de matrices et l’étude des systèmes dynamiques linéaires, deux points récurrents aux concours comme le CCINP.
Le polynôme minimal d’une matrice carrée est le polynôme unitaire de plus bas degré qui annule la matrice. C’est un outil central en algèbre linéaire, surtout dans la filière MP, car il permet d’exprimer toutes les puissances de la matrice comme combinaisons linéaires de puissances strictement inférieures. Cela te sert notamment pour calculer efficacement Aⁿ ou pour tester les propriétés de commutativité et d’inversibilité.
Le groupe orthogonal O(E) rassemble tous les automorphismes de l’espace euclidien E qui conservent le produit scalaire (donc la norme et les angles). À l’inverse, le groupe des similitudes Sim(E) contient les applications linéaires qui multiplient tous les produits scalaires par une constante k²>0, c’est-à-dire les applications qui préservent la forme mais pas forcément les tailles, comme les homothéties suivies d’orthogonaux. Cette distinction est très testée en oral et à l’écrit des concours scientifiques.
GL_n(ℝ) est ouvert car ses éléments, les matrices inversibles, sont caractérisés par le déterminant non nul, et la condition ‘déterminant différent de zéro’ définit un ouvert dans ℝⁿ². Il est dense parce qu’on peut toujours approcher une matrice non inversible par des matrices inversibles. Mais il n’est pas fermé car la limite d’une suite de matrices inversibles peut être une matrice non inversible, et il n’est pas connexe par arcs car les matrices de déterminant positif et celles de déterminant négatif appartiennent à deux composantes connexes distinctes.
Les similitudes sont les transformations qui préservent les rapports de distance et les angles, typiquement les compositions d’homothéties et d’isométries. Elles jouent un rôle clé en géométrie euclidienne plane ou en dimension 3, et leur compréhension profonde permet d’aborder sereinement des sujets de géométrie analytique, fréquemment proposés au CCINP MP, que ce soit pour déterminer des invariants, manipuler des coniques ou calculer des aires transformées.
Une application linéaire préserve l’orthogonalité si, pour toute paire de vecteurs orthogonaux, leurs images restent orthogonales. Une propriété remarquable : pour une application linéaire u, cela équivaut à ce que u soit une similitude, c’est-à-dire que, dans une base orthonormée, u multiplie toutes les longueurs par une constante positive. Cette propriété fait souvent l’objet de questions de démonstration ou d’exemples contre-exemples dans l’épreuve du CCINP.
Deux matrices A et B de taille compatible n’ont pas nécessairement le même polynôme minimal, même si A·B et B·A ont le même polynôme caractéristique, ce qui est un piège classique. Le polynôme caractéristique dépend des valeurs propres, alors que le polynôme minimal dépend aussi de la structure de la matrice. Des exemples concrets, comme A et B nilpotentes non inversibles, permettent de bien observer ce phénomène souvent questionné en approfondissement.
La division euclidienne de polynômes te permet de réécrire toute puissance Aⁿ comme combinaison linéaire d’A, de I (la matrice identité), et éventuellement d’autres termes, selon le degré du polynôme minimal. C’est fondamental pour résoudre des suites de matrices, étudier la convergence, ou exprimer élégamment des exposants dans les sujets type concours.
Réussir l’épreuve de maths du CCINP (filière MP) repose d’abord sur la maîtrise parfaite de l’algèbre linéaire (matrices, transformations, polynômes caractéristiques et minimaux, groupes de transformations…), de la géométrie et de l’analyse. Revis les bases, entraîne-toi sur des exercices variés et n’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour accéder à des exercices type concours totalement corrigés et à un tableau de suivi personnalisé qui te fera progresser plus vite.