Questions du sujet
1. Écrire une fonction booléenne estPremier(n) qui prend en argument un entier naturel non nul n et qui renvoie le booléen True si n est premier et le booléen False sinon. On pourra utiliser le critère suivant : un entier n \geq 2 qui n’est divisible par aucun entier d \geq 2 tel que $d^2 \leq n$, est premier. 2. En déduire une fonction liste\_premiers(n) qui prend en argument un entier naturel non nul n et renvoie la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à n. 3. Pour calculer la valuation 2-adique de 40, on peut utiliser la méthode suivante : — 40 est divisible par 2 et le quotient vaut 20 — 20 est divisible par 2 et le quotient vaut 10 — 10 est divisible par 2 et le quotient vaut 5 — 5 n’est pas divisible par 2. La valuation 2-adique de 40 vaut donc 3. Écrire une fonction valuation\_p\_adique(n, p) non récursive qui implémente cet algorithme. Elle prend en arguments un entier naturel n non nul et un nombre premier p et renvoie la valuation p-adique de n. Par exemple, puisque $40 = 2^3 \times 5$, valuation\_p\_adique(40, 2) renvoie 3, valuation\_p\_adique(40, 5) renvoie 1 et valuation\_p\_adique(40, 7) renvoie 0. 4. Écrire une deuxième fonction cette fois-ci récursive, val(n, p) qui renvoie la valuation p-adique de n. 5. En déduire une fonction decomposition\_facteurs\_premiers(n) qui calcule la décomposition en facteurs premiers d’un entier n \geq 2. Cette fonction doit renvoyer la liste des couples (p, v_p(n)) pour tous les nombres premiers p qui divisent n. Par exemple, decomposition\_facteurs\_premiers(40) renvoie la liste [[2, 3],[5, 1]].} 6. Un endomorphisme u de E vérifiant, pour tout vecteur $x \in E$, $\langle u(x) , x \rangle = 0$, est-il nécessairement l’endomorphisme nul ? 7. Étant donné un endomorphisme u de E, on admet qu’il existe un unique endomorphisme v de E vérifiant : $\forall x,y \in E, \langle u(x), y\rangle =\langle x, v(y)\rangle$. Démontrer l’équivalence des trois propriétés suivantes : \\ i. $u \circ v = v \circ u.$ \\ ii. $\forall x, y \in E, \langle u(x), u(y)\rangle = \langle v(x), v(y)\rangle.$ \\ iii. $\forall x \in E,\, u(x) = v(x)$. \\ On pourra, par exemple, successivement prouver les implications : i $\Rightarrow$ ii, ii $\Rightarrow$ iii, iii $\Rightarrow$ ii et ii $\Rightarrow$ i. 8. Justifier que deux matrices de $M_n(\mathbb{R})$ qui sont semblables ont la même trace, le même rang, le même déterminant et le même polynôme caractéristique. 9. On donne deux matrices : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \] Vérifier que ces deux matrices ont la même trace, le même déterminant, le même rang et le même polynôme caractéristique. Ces deux matrices sont-elles semblables ? (on pourra vérifier que l’une de ces matrices est diagonalisable). Ont-elles le même polynôme minimal ? 10. On donne deux matrices : \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}. \] Établir que ces deux matrices sont semblables par les deux méthodes suivantes : \\ première méthode : en utilisant $u$ l’endomorphisme associé à $A$ dans une base $(e_1,e_2,e_3)$ d’un espace vectoriel $E$ et en cherchant, sans calculs, une nouvelle base de $E$ ; \\ deuxième méthode : en prouvant que le polynôme $X^3 – 3X – 1$ admet trois racines réelles distinctes (que l’on ne cherchera pas à déterminer) notées $\alpha,\ \beta$ et $\gamma$.} 11. Démontrer que toute matrice $A \in M_n(\mathbb{R})$ de rang 1 est semblable à une matrice : \[ U = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \in M_n(\mathbb{R}). \] On pourra utiliser l’endomorphisme $u$ canoniquement associé à la matrice $A$. 12. Application : soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n \geq 2$ et $u$ un endomorphisme de $E$ de rang 1 vérifiant $u \circ u \neq 0$ , démontrer que $u$ est diagonalisable.\\On pourra calculer $U^2$. 13. Démontrer qu’une matrice symétrique à coefficients complexes n’est pas nécessairement diagonalisable. 14. On donne une matrice \[ A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \alpha & \beta \\ \beta & \alpha & \beta & \alpha \\ \alpha & \beta & \alpha & \beta \\ \beta & \alpha & \beta & \alpha \\ \end{pmatrix} \] où $\alpha$ et $\beta$ sont deux nombres complexes non nuls, différents et non opposés. \\ Déterminer le rang de la matrice $A$ et en déduire que 0 est valeur propre de $A$. Justifier que $2(\alpha + \beta)$ et $2(\alpha – \beta)$ sont aussi valeurs propres de $A$. Préciser une base de vecteurs propres de $A$. \\ Dans cette question, il est déconseillé de calculer le polynôme caractéristique de la matrice $A$. 15. Démontrer que quels que soient les réels non nuls $a, b$ et le réel $\lambda$, les matrices \[ A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ \lambda & a \end{pmatrix} \text{ et } B = \begin{pmatrix} b & 0 \\ \lambda & b \end{pmatrix} \] sont semblables.} 16. Démontrer que $RB = AR$ et $SB = AS$. 17. Justifier que la fonction $x \mapsto \det(R + xS)$ est une fonction polynomiale non identiquement nulle et en déduire qu’il existe un réel $x$ tel que la matrice $R + xS$ soit inversible. 18. Conclure que les matrices $A$ et $B$ sont semblables dans $M_n(\mathbb{R})$. 19. Application : démontrer que toute matrice $A$ de $M_3(\mathbb{R})$ de polynôme caractéristique $X^3 + X$ est semblable à la matrice \[ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}. \] 20. En étudiant les différentes valeurs possibles pour le polynôme caractéristique et le même polynôme minimal, démontrer que la proposition $P_n$ est vraie pour $n = 2$. \\ On admet qu’elle l’est également pour $n = 3$.} 21. Démontrer que la proposition $P_n$ est fausse pour $n = 4$. On pourra fournir deux matrices composées uniquement de 0 et de 1.}FAQ
Un entier est premier s’il n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. En CPGE, tu manipules souvent des entiers premiers pour leurs propriétés fondamentales, notamment dans la décomposition en facteurs premiers, les calculs de valuations p-adiques, mais aussi dans les problématiques d’arithmétique modulaire. Savoir écrire un algorithme ou reconnaître rapidement si un nombre est premier fait gagner un temps précieux en concours.
La décomposition en facteurs premiers est un outil clé pour beaucoup de démonstrations en arithmétique (PGCD, PPCM, valuations p-adiques, étude de divisibilité, résolution d’équations diophantiennes…). C’est aussi la base de nombreuses questions d’algorithmique et d’informatique. Maîtriser cette notion, c’est mettre toutes les chances de ton côté le jour de l’épreuve !
La valuation p-adique compte combien de fois un nombre premier p divise un entier n. Ce concept intervient partout en arithmétique (sommets de congruence, étude de fractions irréductibles, preuve de la structure des entiers) et se code assez facilement en Python, ce qui t’est demandé en concours. Attention : il est crucial de bien maîtriser cette technique, car c’est typiquement le genre de questions faciles à scorer !
Les endomorphismes qui vérifient certaines propriétés d’orthogonalité (comme ⟨u(x), x⟩ = 0 pour tout x) ont une place particulière en algèbre linéaire : ils sont liés à la notion de matrices antisymétriques ou à des endomorphismes particuliers comme les projections ou les symétries. Ces questions font régulièrement partie des écrits du CCINP pour tester si tu sais exploiter correctement le produit scalaire et les bases adaptées.
Deux matrices sont semblables si l’une peut s’obtenir à partir de l’autre par un changement de base (conjugaison par une matrice inversible). Cela signifie qu’elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes et partagent donc beaucoup d’invariants (trace, déterminant, rang, polynôme caractéristique). Au concours, on t’attend au tournant sur cette notion cruciale pour la classification des endomorphismes ! Pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour bosser ces points avec des exemples types.
Savoir quand une matrice est diagonalisable, comment la diagonaliser effectivement ou la mettre sous forme de Jordan, est central en CPGE. Cela te permet de simplifier énormément les calculs de puissances, d’étudier la dynamique d’un système linéaire, de résoudre certains systèmes différentiels ou d’établir l’équivalence de matrices. C’est une de tes principales armes tout au long de la filière Maths Spé.
Les polynômes caractéristiques et minimaux d’une matrice permettent de déterminer ses valeurs propres, sa diagonalisabilité, sa forme de Jordan et de déduire beaucoup d’informations sur la structure d’un endomorphisme. Ce sont des outils incontournables pour distinguer si deux matrices sont semblables et pour résoudre plein de problèmes algébriques qui tombent aux écrits.
Pour performer en mathématiques au CCINP, il faut s’entraîner sur des sujets récents et variés, mais aussi revoir les incontournables comme l’arithmétique, l’algèbre linéaire, les matrices, les endomorphismes, et maîtriser l’algorithmique Python appliquée aux maths. En débloquant les corrigés sur Prépa Booster, tu bénéficies d’un accès à tous les corrigés détaillés, à des exercices corrigés et à un dashboard personnalisé pour suivre ta progression et cibler tes révisions !