Questions du sujet
1. Déterminer en justifiant la loi de $X_1$. 2. Justifier la relation matricielle suivante : \[\forall n \in \mathbb{N}, \mu_{n+1} = \mu_n A \text{ avec } A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}.\] 3. En déduire, à l’aide de la calculatrice, la loi de $X_5$ (on demande les résultats arrondis au centième). 4. Temps de premier accès à l’état $1$ : on note $T$ la variable aléatoire égale au plus petit entier $n \in \mathbb{N}$ tel que $X_n = 1$. Déterminer $\mathbb{P}(T = 1)$, puis $\mathbb{P}(T = k)$ pour tout entier $k \ge 2$. 5. Justifier que $A$ est diagonalisable, puis donner, sans détailler les calculs, une matrice $Q$ inversible à coefficients entiers telle que \[ A = Q \ \mathrm{diag}\left( 1,\ \frac{1}{4} \right) Q^{-1}. \]} 6. Justifier que les applications $M \mapsto QMQ^{-1}$ et $M \mapsto \mu_0 M$ définies sur $M_2(\mathbb{R})$ sont continues. 7. En déduire la convergence de la suite de matrices $(A^n)_{n \in \mathbb{N}}$, puis de la suite de vecteurs lignes $(\mu_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Préciser les coefficients du vecteur ligne obtenu comme limite. 8. Justifier que $1$ est valeur propre de $A$ (on pourra considérer le vecteur colonne de $\mathbb{R}^p$ dont toutes les coordonnées valent $1$). 9. Soit $x$ un vecteur colonne de $\mathbb{C}^p$. Démontrer que $\|Ax\|_\infty \le \|x\|_\infty$. 10. En déduire que si $\lambda \in \mathbb{C}$ est une valeur propre de $A$, on a $|\lambda| \le 1$.} 11. Justifier l’existence d’un vecteur colonne $x = (x_1,…,x_p)$ de $\mathbb{C}^p$ tel que $\|x\|_\infty = 1$ et $Ax = \lambda x$. 12. Soit $i \in \{1, …, p\}$ tel que $|x_i| = 1$. Démontrer que : \[ |\lambda – a_{i,i}| \le 1 – a_{i,i}. \] 13. Dans cette question uniquement, on prend : \[A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{6} & \frac{4}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}.\] Déduire de la question précédente que les valeurs propres de $A$ sont contenues dans la réunion de trois disques, que l’on représentera en précisant leurs centres et leurs rayons. 14. On suppose en plus pour cette question et la question suivante que la matrice $A$ est strictement positive. On pose $B = A – I_p$ et on note $B’$ la matrice de $M_{p-1}(\mathbb{R})$ obtenue en supprimant la dernière colonne et la dernière ligne de $B$. Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre de $B’$. On admet qu’il existe un entier $i \in \{1,\ldots,p-1\}$ tel que : \[|\lambda – (a_{i,i} – 1)| \le 1 – a_{i,i} – a_{i,p}.\] La démonstration (non demandée) de cette inégalité est similaire à celle de la question Q12. Déduire de cette inégalité que $B’$ est inversible. 15. En déduire que $\dim \ker(A – I_p)=1$.} 16. On considère $s$ la symétrie orthogonale de $\mathbb{R}^2$ par rapport à la droite d’équation $y = x$. Donner, sans justification, la matrice $B$ de $s$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$. 17. La Proposition 2 reste-t-elle vraie si la matrice stochastique n’est pas strictement positive ? 18. Soit $\lambda$ un nombre complexe avec $|\lambda| < 1$ et $N$ une matrice nilpotente de $M_p(\mathbb{C})$. Démontrer que $N^p = 0$. 19. Soit $k \in \mathbb{N}$. Justifier que pour $n$ au voisinage de $+\infty$, $\binom{n}{k}$ est équivalent à $\dfrac{n^k}{k!}$. En déduire la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ de $\binom{n}{k}\lambda^{n-k}$. 20. En déduire que la suite de matrices $((\lambda I_p + N)^n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers la matrice nulle.} 21. Déduire des questions Q18 à Q20 que la suite $(A^n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge. 22. Démontrer que l’ensemble des vecteurs stochastiques de $\mathbb{R}^n$ est une partie fermée de $\mathbb{R}^n$. 23. Démontrer que la suite $(\mu_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers un vecteur $\mu_\infty$ vérifiant $\mu_\infty = \mu_\infty A$. 24. Soit $\mu = (m_1,...,m_p)$ un vecteur ligne stochastique. Démontrer que $\mu A$ est encore un vecteur stochastique. 25. En déduire que $\mu_\infty$ est une probabilité invariante par $A$.} 26. Lien avec le spectre de la transposée de $A$ : soit $\mu \in \mathbb{R}^p$ un vecteur ligne stochastique. Justifier que $\mu$ est une probabilité invariante pour $A$, si et seulement si le vecteur colonne $^t\mu$ est un vecteur propre de $^tA$ associé à la valeur propre $1$. 27. Justifier, en utilisant la question Q15, que $\dim \ker({}^tA - I_p) = 1$. 28. En déduire que $A$ admet une unique probabilité invariante. 29. On exécute le script suivant \\texttt{A = [ [1,2,3], [4,5,6], [7,8,9], [10,11,12] ]} qui représente la matrice \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}\]. Donner les valeurs renvoyées lorsque l’on exécute len(A), A[1] et A[2][1]. 30. Écrire une fonction \texttt{difference} qui prend en arguments deux vecteurs $x$ et $y$ de même taille et renvoie le vecteur $x - y$. Par exemple si $x = (5, 2)$ et $y = (3, 7)$, \texttt{difference(x,y)} renverra \texttt{[2,-5]}.} 31. Écrire une fonction \texttt{norme} qui prend en arguments un vecteur $x = (x_1,...,x_p)$ et renvoie sa norme infinie $\|x\|_\infty = \max\{|x_i| \mid i \in \{1, ..., p\}\}$ (on pourra utiliser librement la fonction \texttt{abs} qui renvoie la valeur absolue d’un nombre, mais on s’interdit l’utilisation de la fonction \texttt{max} déjà implémentée dans Python). 32. Écrire une fonction \texttt{itere} qui prend en arguments un vecteur ligne $x$ et une matrice $A$ carrée de même taille que $x$ et qui renvoie le vecteur $xA$. Par exemple si $x = (1, 1)$ et $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$, on a $xA = (5, 7)$ et donc \texttt{itere(x,A)} renverra \texttt{[5,7]}. 33. On a vu, dans la Partie IV, que si $A$ est une matrice strictement positive, la suite de vecteurs lignes de $\mathbb{R}^p$ associée $(\mu_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par la relation : $\forall n \in \mathbb{N}, \mu_{n+1} = \mu_nA$ convergeait vers un vecteur $\mu_\infty$ indépendant du choix de $\mu_0$ vecteur stochastique. \\ Écrire une fonction \texttt{probaInvariante} qui prend en arguments une matrice stochastique strictement positive $A$ de $M_p(\mathbb{R})$ et un réel $\varepsilon > 0$ et qui renvoie le premier terme $\mu_k$ de la suite $(\mu_n)_{n\in\mathbb{N}}$ avec $\mu_0 = \left(\frac{1}{p}, \frac{1}{p}, …, \frac{1}{p}\right)$ tel que $\|\mu_k – \mu_{k-1}\|_\infty \leq \varepsilon$. On ne demandera pas à l’algorithme de vérifier que la matrice passée en argument est bien stochastique et strictement positive. \\ Par exemple, si $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}$ et $\varepsilon = 10^{-6}$, \texttt{probaInvariante(A,eps)} renverra \texttt{[0.33333396911621094, 0.6666660308837891]}.}FAQ
Le sujet traite en profondeur les chaînes de Markov, les matrices stochastiques, leurs propriétés spectrales (valeurs propres, vecteurs propres, diagonalisation), ainsi que les lois de probabilité associées à ce type de processus stochastique. Tu y croiseras aussi des notions de convergence des suites de matrices et de vecteurs, de stabilité des probabilités invariantes, et d’étude des matrices positives ou strictement positives. Ces compétences sont fondamentales pour comprendre la dynamique des systèmes probabilistes linéaires en CPGE scientifique.
Les matrices stochastiques interviennent partout dès qu’on modélise des processus où la somme des probabilités reste toujours 1 à chaque transition, comme dans les chaînes de Markov. Cela tombe bien, car ces problématiques sont centrales pour la modélisation en probabilités, statistiques, ou même en physique et en informatique (algorithmes, systèmes dynamiques, etc.). Les étudier au CCINP ou en prépa MP, c’est donc renforcer ses outils pour la suite des études et pour les concours. Si tu veux accéder au corrigé détaillé et t’assurer de maîtriser tous ces concepts essentiels, il suffit de débloquer les corrigés sur Prépa Booster !
Une probabilité invariante, pour une matrice de transition (stochastique), c’est un vecteur ligne de probabilités qui reste inchangé lorsque la matrice agit dessus (autrement dit : μ = μA). Dans les chaînes de Markov, elle représente la distribution stable du système à long terme, indépendamment de l’état initial. Comprendre cela, c’est la clé pour analyser le comportement asymptotique de tout processus stochastique linéaire, un super point de synthèse pour briller au concours et en prépa.
En diagonalisant une matrice (quand c’est possible !), on peut exprimer ses puissances de manière beaucoup plus simple, ce qui permet d’analyser efficacement la convergence de suites du type Aⁿ, surtout lorsque tous les spectres (valeurs propres) sont de module strictement inférieur à 1 sauf éventuellement 1. C’est l’essence de nombreux exercices d’algèbre linéaire en CPGE et l’une des méthodes phares pour analyser la stabilité et l’évolution de systèmes dynamiques linéaires. Tu veux voir ça appliqué à un vrai sujet de concours ? Le corrigé détaillé t’y attend sur Prépa Booster !
Dans ce sujet, tu rencontres des questions sur la manipulation des listes pour représenter des vecteurs et des matrices, sur l’implémentation d’algorithmes de calcul matriciel (produit matrice/vecteur, norme infinie, etc.), ainsi que la rédaction de fonctions pour simuler la convergence vers la probabilité invariante d’une chaîne de Markov. C’est un bon moyen de relier l’algèbre linéaire à une pratique informatique concrète et très présente aujourd’hui en MP. Progresse en t’entraînant sur tous les exercices corrigés disponibles sur Prépa Booster en débloquant l’accès !
Une matrice stochastique est une matrice dont les coefficients sont positifs et dont chaque ligne (ou colonne selon le contexte) a pour somme 1. Une matrice positive a simplement tous ses coefficients positifs ou nuls, tandis qu’une matrice strictement positive n’a que des coefficients strictement supérieurs à 0. Cette distinction est cruciale pour garantir, par exemple, l’unicité de la probabilité invariante ou la convergence vers elle, et on la retrouve régulièrement dans les sujets de concours et d’analyse de chaînes de Markov.
Les valeurs propres renseignent sur la stabilité et le comportement asymptotique des suites récurrentes numériques ou vectorielles, tandis que les normes permettent de majorer ou de borner la croissance de suites ou d’erreurs d’approximation numérique. Ce sont de vrais outils pour l’analyse qualitative et quantitative de modèles linéaires et leur maîtrise fait la différence, tant en cours qu’en épreuve écrite.
L’idéal, c’est d’alterner la lecture attentive du cours, la réalisation d’exercices classiques et d’annales de concours, ainsi que la correction méthodique de ses erreurs avec un corrigé fiable et détaillé. Profite de Prépa Booster pour accéder non seulement aux annales corrigées des sujets CCINP, mais aussi à des exercices d’entraînement supplémentaires et à un dashboard personnalisé qui te permet de suivre tes progrès et cibler tes révisions.