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CCINP Maths 2 MP 2015

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Questions du sujet

1. I.1. Donner la décomposition binaire (en base 2) de l’entier 21. 2. I.2. Quelle valeur est renvoyée lorsque l’on exécute mystere(256,10)?\\ On recopiera et complétera le tableau suivant, en ajoutant les éventuelles colonnes nécessaires pour tracer entièrement l’exécution.\\ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline k & 1 & 2 & \cdots \\ \hline c_k & \cdots \\ \hline t_k & \cdots \\ \hline n_k & \cdots \\ \hline \end{tabular} 3. I.3. Soit $n >0$ un entier. On exécute mystere(n,10). On pose $n_0 = n$. 4. I.3.a. Justifier la terminaison de la boucle while. 5. I.3.b. On note $p$ le nombre d’itérations lors de l’exécution de mystere(n,10). Justifier que pour tout $k \in \llbracket 0,p \rrbracket$, on a $n_k \leq \dfrac{n}{10^k}$. En déduire, une majoration de $p$ en fonction de $n$.} 6. I.4. En s’aidant du script de la fonction mystere, écrire une fonction somme\_chiffres qui prend en argument un entier naturel et renvoie la somme de ses chiffres. Par exemple, somme\_chiffres(256) devra renvoyer 13. 7. I.5. Ecrire une version récursive de la fonction somme\_chiffres, on la nommera somme\_rec. 8. II.1. Si $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ et $A’ = \begin{pmatrix} a’ & b’ \\ c’ & d’ \end{pmatrix}$ sont deux matrices de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, que vaut le réel $(A|A’)$ ? 9. II.2. On note $\mathcal{E}$ le sous-espace vectoriel formé des matrices triangulaires supérieures de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Donner, pour le produit scalaire canonique, une base orthonormée de $\mathcal{E}$ et de son orthogonal $\mathcal{E}^\perp$. 10. II.3. Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, déterminer le projeté orthogonal de la matrice $A$ sur $\mathcal{E}$, ainsi que la distance de la matrice $A$ à $\mathcal{E}$.} 11. III.1. On note pour $A = (a_{i,j})$ élément de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, $\|A\|_\infty = \sup_{1\leq i,j \leq n} |a_{i,j}|$ et $\|A\| = n\|A\|_\infty$.\\ L’application $\|.\|$ est une norme sur l’espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Démontrer que c’est une norme d’algèbre. 12. III.2. Justifier simplement qu’une série de vecteurs de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ absolument convergente est convergente. 13. III.3. Si $M$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, établir que la série de réels positifs $\sum_k \left\| \frac{1}{k!} M^k \right\|$ converge et en déduire que la série de matrices $\sum \frac{1}{k!} M^k$ converge.\\ Si $M$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on notera $\exp(M) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} M^k$, exponentielle de la matrice $M$. 14. III.4. Si $M$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, rappeler pourquoi la matrice $M$ est trigonalisable et déterminer une relation entre $\det(\exp(M))$ et $e^{\operatorname{tr}(M)}$. 15. III.5. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & 6 & -6 \\ -1 & -9 & 11 \\ 0 & -5 & 7 \end{pmatrix}.$\\ Donner le déterminant de la matrice $A$. En déduire qu’il n’existe aucune matrice $B$ à coefficients réels vérifiant $B^2 = A$ et qu’il n’existe aucune matrice $M$ à coefficients réels vérifiant $\exp(M) = A$.} 16. III.6. \begin{itemize} \item[a.] Déterminer un élément $f$ de $F$ vérifiant pour tout entier naturel $n$, $f(n) = \alpha(-3)^n + \beta n 2^n$, si $\alpha$ et $\beta$ sont deux constantes complexes. \item[b.] Si $f$ est un élément de $F$ et si $x_0$ est un réel, expliquer pourquoi $x \mapsto f(x + x_0)$ est encore un élément de $F$. \end{itemize} 17. III.7. \begin{itemize} \item[a.] Soit $\theta$ un réel. Démontrer que la suite de nombres complexes $n^2 \left(\frac{2}{3}\right)^n e^{i\theta n}$ converge vers 0. \item[b.] Soit $k_1 \in \{0,1,2\}$, $\rho_1 \in ]0,+\infty[$, $\theta_1 \in ]0,2\pi]$, $k_2 \in \{0,1,2\}$, $\rho_2 \in ]0,+\infty[$ et $\theta_2 \in ]0,2\pi]$, $\theta_1 \ne \theta_2$.\\ Démontrer que si $\alpha$ et $\beta$ sont deux constantes complexes vérifiant, pour tout entier naturel $n$, $$\alpha n^{k_1} \rho_1^n e^{i\theta_1 n} + \beta n^{k_2} \rho_2^n e^{i\theta_2 n} = 0,$$ alors $\alpha = \beta = 0$. \item[c.] On admet alors que si $f$ est un élément de $F$ vérifiant pour tout entier naturel $n$, $f(n) = 0$, alors $f$ est l’application nulle.\\ Que peut-on dire de deux applications $f$ et $g$ de $F$ vérifiant pour tout entier naturel $n$, $f(n) = g(n)$~? \end{itemize} 18. III.8. Dans la suite de cette partie, $A$ est une matrice inversible de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.\\ Expliquer pourquoi on peut trouver 9 applications $\omega_{i,j}$ éléments de $F$ telles que, pour tout entier naturel $n$, $A^n = \left( \omega_{i,j}(n) \right)_{1\leq i,j \leq 3}$.\\ Discuter en fonction du nombre de racines du polynôme caractéristique de la matrice $A$.\\ On ne demande pas de résoudre des systèmes, une explication de la méthode pourra suffire. 19. III.9. On pose pour tout réel $t$, la matrice $\gamma(t) = \left( \omega_{i,j}(t) \right)_{1\leq i,j \leq 3} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$. 20. III.9.a. Quelles sont les matrices $\gamma(0)$ et $\gamma(1)$~?} 21. III.9.b. Justifier que, pour tout couple d’entiers naturels $(n, m)$, on a la relation~: $\gamma(n+m) = \gamma(n)\gamma(m)$. 22. III.9.c. Pour $x$ réel et $m$ entier naturel, on pose $f(x) = \omega_{i,j}(x + m)$ et $g(x) = \sum_{k=1}^{3} \omega_{i,k}(x)\omega_{k,j}(m)$.\\ Démontrer que l’on a $f = g$ et en déduire, pour tout entier naturel $m$, la relation $\gamma(x + m) = \gamma(x)\gamma(m)$. 23. III.9.d. En déduire que, pour tout couple $(x, y)$ de réels, $\gamma(x + y) = \gamma(x)\gamma(y)$. 24. III.10. Démontrer que $\gamma(-1) = A^{-1}$ et que, pour tout entier naturel $p$ non nul, $[\gamma(1/p)]^p = A$. 25. III.11. Justifier que l’application $\gamma$ définie pour tout réel $t$ par $\gamma(t) = (\omega_{i,j}(t))_{1\leq i,j \leq 3}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que la fonction $\gamma$ est une solution de l’équation différentielle $u'(t) = \gamma'(0) u(t)$ vérifiant $u(0) = I_3$ où la fonction inconnue $u$ vérifie, pour tout réel $t$, $u(t)\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$.\\ Trouver la solution sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle $u'(t) = \gamma'(0)u(t)$ vérifiant $u(0) = I_3$ et en déduire que l’on a~: $\exp(\gamma'(0)) = A$.} 26. III.12. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 301 & 1 & -1 \\ -2 & -10 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.\\ Donner le polynôme caractéristique de la matrice $A$.\\ La matrice $A$ est-elle diagonalisable~? 27. III.13. Déterminer, par la méthode développée dans ce problème, les éléments suivants~: 28. III.13.a. La matrice $A^{-1}$. 29. III.13.b. Une matrice $B$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ vérifiant $B^2 = A$. 30. III.13.c. Une matrice $M$ de $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ vérifiant $\exp(M) = A$.}

FAQ

Quelles notions informatiques sont mobilisées dans le sujet de mathématiques CCINP MP 2015 ?

Pour ce sujet, tu vas travailler sur la représentation des entiers en différentes bases, la compréhension d’algorithmes (analyse de boucle while, calculs concernant la terminaison et la complexité), ainsi que sur la programmation Python avec écriture de fonctions récursives et itératives. Ces notions sont fondamentales pour l’épreuve d’informatique des concours CPGE scientifiques.

Quel est l’intérêt d’étudier la somme des chiffres d’un entier dans ce type de concours ?

La somme des chiffres d’un entier permet d’aborder la manipulation des entiers, la programmation d’algorithmes (notamment la récursivité), et de réfléchir à la complexité algorithmique. Ces compétences sont régulièrement mobilisées dans les sujets de concours, aussi bien en mathématiques qu’en informatique appliquée à la filière MP.

Pourquoi le produit scalaire canonique des matrices et la projection orthogonale reviennent-ils souvent dans les sujets CCINP MP ?

Ces notions sont incontournables car elles permettent d’approfondir la compréhension des espaces vectoriels, des bases orthonormées, des sous-espaces et de la géométrie dans l’espace des matrices. Maîtriser ces outils donne un gros avantage sur la partie algèbre linéaire du concours et t’aide à comprendre de nombreux problèmes de mathématiques en filière MP.

Comment aborder efficacement les exercices sur les normes dans les espaces de matrices pendant ta préparation ?

Pour réussir ce type d’exercices, il faut bien maîtriser les propriétés des différentes normes (ici la norme infinie et la norme algébrique), savoir démontrer qu’une application est une norme, et comprendre leurs liens avec les séries de matrices, la convergence et la structure d’algèbre. Refaire les exercices corrigés proposés dans les sujets CCINP, accessibles sur Prépa Booster après avoir débloqué les corrigés, est un excellent entraînement !

Pourquoi l’exponentielle de matrice et la trigonalisabilité sont-elles au programme en MP pour les concours comme le CCINP ?

L’exponentielle de matrice est centrale pour relier algèbre et analyse, notamment pour résoudre des systèmes différentiels ou étudier la dynamique en dimension finie. Comprendre la trigonalisabilité et les propriétés spectrales des matrices est indispensable pour aborder ces questions avec méthode. Les sujets CCINP réutilisent souvent ce genre de notions en les articulant avec des questions sur les applications linéaires et les suites de matrices.

En quoi la factorisation du polynôme caractéristique et la diagonalisation d’une matrice sont-elles des outils clés pour les exercices de concours ?

Savoir factoriser le polynôme caractéristique permet de déterminer la diagonalisabilité d’une matrice et de prédire la nature de ses solutions aux équations linéaires ou différentielles. La maîtrise de ces outils est essentielle pour gagner du temps et éviter les pièges classiques ; n’hésite pas à utiliser les corrigés détaillés sur Prépa Booster pour progresser sur ce point !

Quelle est la place des suites et séries de matrices dans ce sujet et comment s’y préparer ?

Le sujet traite plusieurs aspects des suites et séries de matrices : convergence, série d’exponentielles matricielles, propriétés des termes généraux. Pour t’y préparer, il faut bien comprendre les liens entre convergence absolue et convergence, et savoir appliquer rigoureusement les propriétés des normes de matrices. Prendre le temps d’analyser les corrigés fournis et de refaire les exercices corrigés aide énormément à maîtriser ces concepts.

À quoi sert l’étude fonctionnelle des puissances d’une matrice via les familles de fonctions $n^k \rho^n e^{i \theta n}$ ?

En étudiant la structure de $A^n$ et la façon dont elle dépend du polynôme caractéristique et du spectre de la matrice, tu développes des outils puissants pour résoudre des problèmes d’algèbre linéaire avancée, modéliser certains processus (comme des suites récurrentes linéaires) et explorer des liens entre les théories. C’est un vrai plus pour se démarquer à l’écrit !

Quels sont les bénéfices de débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour ce sujet CCINP MP 2015 ?

En débloquant les corrigés sur Prépa Booster, tu accèdes non seulement au corrigé détaillé de chaque question, mais aussi à un dashboard personnalisé qui t’aide à cibler tes révisions, et à des exercices corrigés qui renforcent ta compréhension des notions majeures du programme. C’est la méthode la plus efficace pour progresser vite et réussir l’épreuve de mathématiques au concours CCINP !