Questions du sujet
1. I.1.a Justifier sans calcul que la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \in M_3(\mathbb{R})$ est diagonalisable. 2. I.1.b Diagonaliser la matrice $A \in M_3(\mathbb{R})$. 3. I.1.c Déterminer la matrice $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On pourra utiliser la calculatrice. 4. I.2. Expliciter les termes $u_n$, $v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$. 5. II.1.a Démontrer que les sous-espaces vectoriels $\Ker(p)$ et $\operatorname{Im}(p)$ sont supplémentaires dans $E$, où $p$ est un projecteur de $E$.} 6. II.1.b En déduire que la trace de $p$ (notée $\operatorname{Tr}(p)$) est égale au rang de $p$ (noté $\operatorname{rg}(p)$). 7. II.1.c Un endomorphisme $u$ de $E$ vérifiant $\operatorname{Tr}(u) = \operatorname{rg}(u)$ est-il nécessairement un projecteur de $E$ ? 8. II.2. Donner un exemple de deux matrices $A$ et $B$ de $M_3(\mathbb{R})$ de rang $1$ telles que $A$ soit diagonalisable et $B$ ne soit pas diagonalisable. Justifier la réponse. 9. II.3.a Démontrer qu’il existe une base $\beta = (e_1, \ldots, e_n)$ de $E$ telle que la matrice $\mathrm{Mat}_\beta(u)$ de $u$ dans $\beta$ soit de la forme : $$ \mathrm{Mat}_\beta(u) = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_1 \\ 0 & \cdots & 0 & a_2 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_n \end{pmatrix} \in M_n(\mathbb{R}) $$ où $a_1, \ldots, a_n$ sont $n$ nombres réels. 10. II.3.b Démontrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, la trace de $u$ est non nulle.} 11. II.3.c On suppose que $\operatorname{Tr}(u) = \operatorname{rg}(u)=1$. Démontrer que $u$ est un projecteur. 12. II.3.d Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \in M_3(\mathbb{R})$. Démontrer que $A$ est la matrice d’un projecteur de $\mathbb{R}^3$ dont on déterminera l’image et le noyau. 13. III.1.a Enoncer (sans démonstration) le théorème de réduction des endomorphismes symétriques de l’espace euclidien $E$ et sa version relative aux matrices symétriques réelles. 14. III.1.b Toute matrice symétrique à coefficients complexes est-elle nécessairement diagonalisable ? On pourra par exemple considérer la matrice de $M_2(\mathbb{C})$ : $$ S = \begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & -i \end{pmatrix} $$ 15. III.2.a Exprimer $R_s(x)$ à l’aide des $\lambda_i$ et des coordonnées de $x$ dans la base $\beta$.} 16. III.2.b En déduire l’inclusion : $R_s (S(0, 1)) \subset [\lambda_1, \lambda_n]$ où $S(0, 1)$ désigne la sphère unité de $E$. 17. III.3.a On suppose dans cette question que $s$ est symétrique positif (respectivement symétrique défini positif). Démontrer que les valeurs propres de $s$ sont toutes positives (respectivement strictement positives). 18. III.3.b Soit $S = (s_{i,j} ) \in S^+_n (\mathbb{R})$, de valeurs propres $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ rangées dans l’ordre croissant : $0 \leq \lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$. On note $s$ l’endomorphisme de $E$ représenté par $S$ dans la base canonique $B = (e_1, \ldots, e_n)$. Exprimer le terme général $s_{i,j}$ de $S$ comme un produit scalaire et démontrer que : \[ \forall i \in \{1, \ldots, n\} \quad \lambda_1 \leq s_{i,i} \leq \lambda_n. \] 19. III.4. Démontrer que l’application $M \mapsto M^\top M – I_n$ est continue de $M_n(\mathbb{R})$ dans $M_n(\mathbb{R})$. 20. III.5. Justifier que, si $A = (a_{i,j})$ est une matrice orthogonale, alors : \[ \forall (i, j) \in \{1, \ldots, n\}^2 \quad | a_{i,j} | \leq 1. \]} 21. III.6. En déduire que le groupe orthogonal $O_n(\mathbb{R})$ est une partie compacte de $M_n(\mathbb{R})$. 22. III.7.a Soit $S \in S^+_n(\mathbb{R})$, de valeurs propres (positives) $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$. On pose $\Delta = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$. Si $A$ est une matrice orthogonale, on note $T(A)$ le nombre réel $T(A) = \operatorname{Tr}(AS)$. Soit $A \in O_n(\mathbb{R})$. Démontrer qu’il existe une matrice orthogonale $B$ telle que : $T(A) = \operatorname{Tr}(B\Delta)$. 23. III.7.b Démontrer que l’application $T$ de $O_n(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}$ admet un maximum sur $O_n(\mathbb{R})$, que l’on notera $t$. 24. III.7.c Démontrer que, pour toute matrice orthogonale $A$ de $O_n(\mathbb{R})$, $T(A) \leq \operatorname{Tr}(S)$, puis déterminer le réel $t$. 25. III.8. Démontrer l’inégalité valable pour tout $S \in S^+_n(\mathbb{R})$ : \[ \det(S) \leq \left( \frac{1}{n} \operatorname{Tr}(S)\right)^n \] $(*)$.} 26. III.9. Soit $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \in \mathbb{R}^n$, $D = \operatorname{diag}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ et $S_\alpha = D^\top S D$. Démontrer que $S_\alpha \in S^+_n (\mathbb{R})$ et calculer $\operatorname{Tr}(S_\alpha)$. 27. III.10. Dans cette question, on suppose que les coefficients diagonaux $s_{i,i}$ de $S$ sont strictement positifs et, pour $1 \leq i \leq n$, on pose $\alpha_i = \frac{1}{\sqrt{s_{i,i}}}$. En utilisant l’inégalité $(*)$, démontrer que : \[ \det(S) \leq \prod_{i=1}^n s_{i,i} \] 28. III.11. Pour tout réel $\varepsilon > 0$, on pose $S_\varepsilon = S + \varepsilon I_n$. Démontrer que $\det(S_\varepsilon) \leq \prod_{i=1}^n (s_{i,i} + \varepsilon)$, puis conclure que : \[ \prod_{i=1}^n \lambda_i \leq \prod_{i=1}^n s_{i,i} \] (inégalité d’Hadamard). 29. III.12. Démontrez que, pour tout $A \in U$, la matrice $B = \Omega^\top A \Omega$ est une matrice de $U$ vérifiant : $\operatorname{Tr}(AS) = \operatorname{Tr}(B\Delta)$. 30. III.13. Démontrer que $\{\operatorname{Tr} (AS) \mid A \in U\} = \{\operatorname{Tr}(B\Delta)\mid B \in U\}$, puis que ces ensembles admettent une borne inférieure que l’on notera $m$.} 31. III.14. Démontrer que, si $B = (b_{i,j}) \in U$ : \[ \operatorname{Tr}(B \Delta) \geq n (\lambda_1 \cdots \lambda_n)^{1/n} (b_{1,1}\cdots b_{n,n})^{1/n} \] 32. III.15. En déduire que, pour $B = (b_{i,j}) \in U$, $\operatorname{Tr}(B\Delta) \geq n (\det(S))^{1/n}$. 33. III.16. Pour tout entier $k$ tel que $1 \leq k \leq n$, on pose $\mu_k = \frac{1}{\lambda_k} (\det(S))^{1/n}$ et $D = \operatorname{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n)$. Déterminer le réel $m$.}FAQ
Pour déterminer si une matrice réelle est diagonalisable, tu peux commencer par regarder si elle est symétrique : toute matrice réelle symétrique est diagonalisable, grâce au théorème spectral. Sinon, il faut vérifier que la somme des dimensions des sous-espaces propres atteint la dimension de l’espace, c’est-à-dire que le polynôme caractéristique a suffisamment de racines réelles ou complexes, et que chaque racine possède une famille de vecteurs propres de la bonne dimension. Attention, certaines matrices, même à valeurs réelles, peuvent avoir des valeurs propres complexes : pense à travailler sur le corps complexe si besoin.
Un projecteur est un endomorphisme \( p \) tel que \( p^2 = p \), ce qui implique que l’espace se scinde en un noyau et une image supplémentaires. Un endomorphisme est diagonalisable s’il existe une base de vecteurs propres : c’est le cas des projecteurs, mais aussi de bien d’autres matrices. Enfin, un endomorphisme de rang un a une image de dimension 1, il est souvent de la forme \( x \mapsto \lambda f(x)v \) avec \( f \) une forme linéaire et \( v \) un vecteur non nul. Ces notions se recoupent parfois, mais leur champ d’application diffère : un projecteur n’a pas forcément rang un, ni une matrice de rang un n’est nécessairement diagonalisable.
Le théorème spectral t’affirme que toute matrice réelle symétrique est diagonalisable dans une base orthonormée de \(\mathbb{R}^n\). En pratique, lors du concours, dès que tu identifies une matrice symétrique tu gagnes énormément en posant que tu vas diagonaliser via une base orthonormée (les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux). C’est aussi un excellent levier pour traiter les questions sur les formes quadratiques, l’étude des extrema de fonctions quadratiques ou pour simplifier des calculs d’élévation à la puissance d’une matrice. N’hésite pas à venir débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour voir des exemples détaillés de cette méthode !
L’inégalité d’Hadamard te dit que, pour toute matrice symétrique positive \(S\), le déterminant de \(S\) est inférieur ou égal au produit de ses coefficients diagonaux : \\( \\det(S) \\leq \\prod_{i=1}^n s_{i,i} \\). Cette inégalité est super pratique pour estimer rapidement si un système est bien conditionné ou pour donner des bornes sur le volume d’un parallélépipède à partir de vecteurs. En épreuve écrite, c’est typiquement une question qui tombe sur les questions de fin de sujet, mêlant algèbre et analyse matricielle.
Les matrices orthogonales sont super utiles car elles conservent le produit scalaire, donc les longueurs et les angles : elles représentent simplement un changement de repère orthonormé (rotation ou symétrie, sans déformation ni torsion). Utilisées dans les preuves pour simplifier l’étude des matrices symétriques (qui deviennent diagonales dans certaines bases), ou aussi dans l’analyse des groupes compacts, optimisation (maximum de la trace par exemple). Elles sont omniprésentes dans les exercices de diagonalisation, calculs de puissances de matrices, formes quadratiques, etc.
Le rang d’une matrice, c’est la dimension de l’image, donc le nombre de directions « indépendantes » jouées par la transformation linéaire. La trace, elle, c’est la somme des valeurs propres (comptées avec multiplicité) : géométriquement, elle donne le taux d’expansion moyen. Dans le cas des projecteurs, la trace correspond précisément au rang (c’est une belle propriété à connaître par cœur !), d’où leur intérêt en géométrie et en théorie des espaces vectoriels.
Pour briller sur les sujets d’algèbre linéaire du concours CCINP en filière MP, il faut être à l’aise avec la diagonalisation (notamment des matrices symétriques), les projecteurs et leurs propriétés, les sous-espaces caractéristiques (noyau, image) et tout ce qui touche aux endomorphismes particuliers (symétrique, orthogonal, rang un…). Un autre point important est la maîtrise des inégalités matricielles comme celle d’Hadamard. Pour progresser rapidement, pense à débloquer les corrigés Prépa Booster pour accéder à des exercices expliqués pas à pas et au dashboard personnalisé !