Questions du sujet
1. Déterminer le plus petit entier naturel non nul $p$ tel que $3^p \equiv 1$ modulo $11$. 2. En utilisant des congruences modulo $11$, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, l’entier $3^{n+2012} – 9 \times 5^{2n}$ est divisible par $11$. 3. Vérifier que l’application $\varphi_A$ est linéaire et que $I_2$ et $A$ appartiennent à $\ker(\varphi_A)$. 4. Dans la suite de cette partie, on pose $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$. Donner la matrice de $\varphi_A$ dans la base $(E_{1,1}, E_{2,2}, E_{1,2}, E_{2,1})$ de $M_2(\mathbb{R})$. 5. Donner le polynôme caractéristique de $\varphi_A$ sous forme factorisée (on pourra utiliser la calculatrice).} 6. En déduire que $\varphi_A$ est diagonalisable si et seulement si $(d-a)^2 + 4bc > 0$. 7. Démontrer que $\varphi_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable. 8. On suppose dans cette question que $A$ est diagonalisable. \\ On note $e = (e_1, \ldots, e_n)$ une base de vecteurs propres de $u$ (défini au début du problème) et, pour tout entier $i$ tel que $1 \leq i \leq n$, $\lambda_i$ la valeur propre associée au vecteur $e_i$. On note alors $P$ la matrice de passage de la base $c$ à la base $e$ et $D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_n \end{pmatrix}$. Enfin, pour tout couple $(i, j)$ d’entiers tels que $1 \leq i \leq n$ et $1 \leq j \leq n$, on pose~: $B_{i,j} = PE_{i,j}P^{-1}$. \begin{enumerate} \item[(a)] Exprimer, pour tout couple $(i, j)$, la matrice $DE_{i,j} – E_{i,j}D$ en fonction de la matrice $E_{i,j}$ et des réels $\lambda_i$ et $\lambda_j$. \item[(b)] Démontrer que, pour tout couple $(i, j)$, $B_{i,j}$ est un vecteur propre de $\varphi_A$. \item[(c)] En déduire que $\varphi_A$ est diagonalisable. \end{enumerate} 9. On suppose dans cette question que $\varphi_A$ est diagonalisable en tant qu’endomorphisme de $M_n(\mathbb{R})$. \\ On note $\left(P_{i,j}\right)_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n}$ une base de vecteurs propres de $\varphi_A$ et, pour tout couple $(i, j)$, $\lambda_{i,j}$ la valeur propre associée à $P_{i,j}$. \begin{enumerate} \item[(a)] Dans cette question, on considère $A$ comme une matrice à coefficients complexes ($A \in M_n(\mathbb{R}) \subset M_n(\mathbb{C})$) et $\varphi_A$ comme un endomorphisme de $M_n(\mathbb{C})$ (défini par $\varphi_A(M) = AM – MA$ pour tout $M \in M_n(\mathbb{C})$). \begin{enumerate} \item[i.] Justifier que tous les vecteurs propres de $\varphi_A$ sont réels. \item[ii.] Soit $z \in \mathbb{C}$. Justifier que si $z$ est une valeur propre de $A$, alors $\bar{z}$ est aussi une valeur propre de $A$. \item[iii.] Soit $z \in \mathbb{C}$. On suppose que $z$ et $\bar{z}$ sont des valeurs propres de la matrice $A$. On considère alors $X \in M_{n,1}(\mathbb{C}) \setminus \{0\}$ et $Y \in M_{n,1}(\mathbb{C}) \setminus \{0\}$ tels que $AX = zX$ et $A^T Y = \bar{z} Y$. En calculant $\varphi_A(X^T Y)$, démontrer que $z – \bar{z}$ est une valeur propre de $\varphi_A$. \end{enumerate} \item[(b)] En déduire que la matrice $A$ a au moins une valeur propre réelle. \item[(c)] Démontrer que, pour tout couple $(i, j)$, il existe un réel $\mu_{i,j}$, que l’on exprimera en fonction de $\lambda$ et $\lambda_{i,j}$, tel que $AP_{i,j}X = \mu_{i,j} P_{i,j}X$. \item[(d)] En déduire que $A$ est diagonalisable. \end{enumerate} 10. Soit $m$ le degré du polynôme minimal de $A$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la famille $(I_n, A, \ldots, A^{m-1})$ est une base de $\mathbb{R}[A]$. \item Vérifier que $\mathbb{R}[A]$ est inclus dans $\ker(\varphi_A)$ et en déduire une minoration de $\dim(\ker(\varphi_A))$. \end{enumerate} } 11. On suppose que l’endomorphisme $u$ (défini au début du problème) est nilpotent d’indice $n$ (c’est-à-dire que $u^n = 0$ et $u^{n-1} \neq 0$). On considère un vecteur $y$ de $\mathbb{R}^n$ tel que $u^{n-1}(y) \neq 0$ et, pour tout entier $i$ tel que $1 \leq i \leq n$, on pose $e_i = u^{n-i}(y)$. \begin{enumerate} \item[(a)] Démontrer que la famille $(e_1, e_2, \ldots, e_n)$ est une base de $\mathbb{R}^n$. \item[(b)] Soit $B \in \ker(\varphi_A)$ et $v$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ canoniquement associé à $B$. Démontrer que si $v(y) = \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i$ ($\alpha_i \in \mathbb{R}$) alors $v = \sum_{i=1}^n \alpha_i u^{n-i}$. \item[(c)] En déduire $\ker(\varphi_A)$. \end{enumerate} 12. On suppose que $u$ est diagonalisable. On note $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_p$ ($1 \leq p \leq n$) les $p$ valeurs propres distinctes de $u$ et, pour tout entier $k$ tel que $1 \leq k \leq p$, $E_u(\lambda_k)$ le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda_k$. On note $m_k$ la dimension de ce sous-espace propre. \begin{enumerate} \item[(a)] Soit $B \in M_n(\mathbb{R})$ et $v$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ canoniquement associé à $B$. Démontrer que si $B \in \ker(\varphi_A)$ alors, pour tout entier $k$ tel que $1 \leq k \leq p$, $E_u(\lambda_k)$ est stable par $v$ (c’est-à-dire $v(E_u(\lambda_k)) \subset E_u(\lambda_k)$). \item[(b)] En déduire que $B \in \ker(\varphi_A)$ si et seulement si, la matrice de $v$, dans une base adaptée formée de vecteurs propres de $u$, est formée de blocs sous-espaces propres. \item[(c)] Préciser la dimension de $\ker(\varphi_A)$. \item[(d)] Lorsque $n = 7$, donner toutes les valeurs possibles pour cette dimension en envisageant les différentes valeurs possibles de $p$ et des $m_k$ (on ne demande pas de justification). \end{enumerate} 13. Dans cette partie, $\alpha$ est une valeur propre non nulle de $\varphi_A$ et $B$ un vecteur propre associé ($B \in M_n(\mathbb{R})$, $B \neq 0$). On note $\pi_B$ le polynôme minimal de $B$ et $d$ le degré de $\pi_B$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $\varphi_A(B^k) = \alpha k B^k$. \item Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. Exprimer $\varphi_A(P(B))$ en fonction de $\alpha$, $B$ et $P'(B)$. \item Démontrer que le polynôme $X \pi_B’ – d \pi_B$ est le polynôme nul ($\pi_B’$ étant le polynôme dérivé du polynôme minimal $\pi_B$ de la matrice $B$). \item En déduire que $B^d = 0$. \end{enumerate} }FAQ
Les congruences te permettent de résoudre des équations dans les entiers, de comprendre la divisibilité et d’aborder les bases de la théorie des nombres, très appréciée dans les sujets de concours MP. Par exemple, démontrer qu’une expression est divisible par un nombre ou trouver le plus petit entier qui vérifie une équation modulo n sont des classiques qui montrent la puissance de cet outil. Si tu veux t’entraîner sur ce genre de questions, les corrigés détaillés sont à débloquer sur Prépa Booster.
Le polynôme caractéristique d’une matrice, c’est celui qui permet de trouver ses valeurs propres. Sa factorisation te donne des infos précieuses sur la diagonalisabilité : si le polynôme se factorise complètement dans le corps de base (ici, ℝ) avec des racines simples, alors la matrice (ou l’endomorphisme) est diagonalisable. C’est une brique incontournable de l’algèbre linéaire, notamment en filière MP des concours comme le CCINP.
Le commutateur te permet de creuser la structure interne de l’espace des matrices et d’aborder des concepts d’algèbre avancée comme la double diagonalisabilité. Pour montrer que φA est diagonalisable, on analyse les valeurs propres en se ramenant souvent à la diagonalisation de A elle-même. Ce genre d’application apparaît fréquemment pour tester ta compréhension de l’action d’un endomorphisme sur des espaces supplémentaires, comme M_n(ℝ) – c’est un incontournable en épreuve écrite.
Le polynôme caractéristique donne les valeurs propres, alors que le polynôme minimal détermine l’annulation de la matrice. Ils sont reliés mais différents : le minimal divise le caractéristique et aide à préciser la structure d’une matrice (surtout pour la diagonalisabilité et la trigonalisation). Ces deux outils sont fondamentaux, d’où leur présence quasi-systématique dans les épreuves du CCINP et des autres concours.
Un endomorphisme nilpotent s’annule après un certain rang, alors qu’un diagonalisable possède une base de vecteurs propres – deux comportements aux antipodes ! Distinguer ces cas-là permet de rétro-construire des bases, de calculer des noyaux, voire de raisonner sur la structure entière d’un espace vectoriel. Ces exercices sont pensés pour vérifier tes bases majeures en algèbre linéaire.
Trouver le noyau de φA revient à chercher toutes les matrices qui commutent avec une matrice donnée A. Cela révèle les symétries de A et, selon la nature particulière de A (nilpotente, diagonalisable, etc.), la taille du noyau donne de précieuses informations sur la structure des matrices et leur centralisateur. C’est un outil puissant pour investiguer la structure profonde de M_n(ℝ). Pour voir la résolution de ces noyaux, pense à débloquer le corrigé sur Prépa Booster.
Parce que la stabilité d’un sous-espace propre par un endomorphisme est une clé pour comprendre l’action combinée de plusieurs applications linéaires et assembler la structure en blocs de matrices – une méthode élégante pour analyser la complexité des matrices, incontournable pour progresser dans la filière MP.
En t’entraînant régulièrement sur des sujets types, en te confrontant à leur variété (arithmétique, algèbre linéaire, calculs de noyau, valeurs propres…). Refaire les annales corrigées, avec un œil sur les méthodes et la rigueur attendue, reste la meilleure stratégie. Sur Prépa Booster, tu peux débloquer les corrigés pour profiter d’un suivi personnalisé et de l’accès au dashboard pour piloter ta progression !