Questions du sujet
1. Justifier l’existence d’une matrice $P \in M_{n}(\mathbb{R})$ inversible telle que $A = PDP^{-1}$ où $D = \operatorname{diag}(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n})$, puis montrer que $R$ est une racine carrée de $A$ si et seulement si la matrice $S = P^{-1}RP$ est une racine carrée de $D$. 2. Racines carrées de $D$ \\ Soit $S$ une racine carrée de $D$. \\ a. Montrer que $DS = SD$. \\ b. En déduire que la matrice $S$ est diagonale. \\ c. On note alors $S = \operatorname{diag}(s_{1},s_{2},\ldots,s_{n})$. Que vaut $s_{i}^{2}$ lorsque $i\in\{1,\ldots,n\}$? \\ d. Que peut-on dire de $\operatorname{Rac}(A)$ si $A$ admet une valeur propre strictement négative ? \\ e. Si on suppose que toutes les valeurs propres de $A$ sont positives ou nulles, déterminer les racines carrées de la matrice $D$. On pourra poser $\varepsilon_{i} \in \{-1,+1\}$ pour $i\in\{1,\ldots,n\}$. 3. Écrire toutes les racines carrées de $A$ à l’aide de la matrice $P$. Combien de racines carrées $A$ admet-elle ? (On discutera selon le signe des valeurs propres de $A$). 4. Application : Écrire les racines carrées de $A = \begin{pmatrix} 11 & 5 & 5 \\ 5 & 3 & -3 \\ 5 & -3 & 3 \end{pmatrix}$ à l’aide de la matrice $P$ que l’on déterminera. 5. Soit $R\in M_{n}(\mathbb{R})$, une racine carrée de la matrice nulle. \\ Soit $f$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^{n}$ dont $R$ est la matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^{n}$. On note $r$ le rang de $f$. \\ a. Comparer $\mathrm{Im}\ f$ et $\ker f$ puis montrer que $r\leq \dfrac{n}{2}$. \\ b. On suppose $f$ non nul, donc $r\geq 1$. Soit $(e_{1},…,e_{r})$ une base de $\mathrm{Im}\ f$ que l’on complète avec $(e_{r+1},…,e_{n})$ pour former une base de $\ker f$. Pour $i \in \{1,…,r\}$, on note $u_{i}$ le vecteur tel que $f(u_{i})=e_{i}$. Montrer que la famille $B = (e_{1},…,e_{r},u_{1},…,u_{r},e_{r+1},…,e_{n})$ est une base de $\mathbb{R}^{n}$ puis écrire la matrice de $f$ dans la base $B$. On notera $M_{r}$ cette matrice.} 6. a. Déterminer les racines carrées dans $M_{n}(\mathbb{R})$ de la matrice nulle. \\ b. Application : déterminer dans $M_{4}(\mathbb{R})$, les racines carrées de la matrice nulle. 7. Soit $R$ une racine carrée de l’unité $I_{n}$. \\ a. Vérifier que $R$ est une matrice inversible. \\ b. Montrer que $R$ est semblable à une matrice diagonale que l’on décrira. 8. Déterminer $\operatorname{Rac}(I_{n})$. On pourra poser $\varepsilon_{i} \in \{-1,+1\}$ pour $i\in\{1,\ldots,n\}$. 9. Une matrice symétrique admet-elle nécessairement une racine carrée ? 10. Montrer qu’une matrice symétrique positive admet au moins une racine carrée qui est elle-même symétrique et positive.} 11. Soit $A$ une matrice de $M_{n}(\mathbb{R})$. Montrer que $\operatorname{Rac}(A)$ est une partie fermée de $M_{n}(\mathbb{R})$. 12. Étude du caractère borné de $\operatorname{Rac}(I_{n})$\\ a. Un exemple instructif\\ Pour tout entier naturel $q$, on pose $S_{q} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ q & -1 \end{pmatrix}$. Calculer $S_{q}^{2}$. $\operatorname{Rac}(I_{2})$ est-elle une partie bornée de $M_{2}(\mathbb{R})$ ?\\ b. $\operatorname{Rac}(I_{n})$ est-elle une partie bornée de $M_n(\mathbb{R})$ pour $n\geq 3$ ?\\ c. Application : pour cette question, $n\geq 2$. Montrer qu’il n’existe pas de norme « surmultiplicative » sur $GL_{n}(\mathbb{R})$, c’est-à-dire vérifiant pour tous $A$ et $B$ dans $GL_{n}(\mathbb{R})$, $\|AB\| \geq \|A\|\|B\|$. 13. Questions préliminaires :\\ a. Soit $a = (a_{1},…,a_{p}) \in \mathbb{R}^{p}$ et $r > 0$. Montrer que $B(a, r)_{\infty}$ peut s’écrire comme produit de $p$ intervalles.\\ b. Soient $F$ et $G$ deux parties de $\mathbb{R}^{p}$. On suppose que $F$ et $G$ sont d’intérieur vide, montrer que $F \cap G$ est encore d’intérieur vide. 14. Exemples d’ensemble des zéros de fonctions polynomiales\\ a. Dans cette question $p=1$. Soit $P$ une fonction polynôme sur $\mathbb{R}$. Dans quel cas $Z(P)$ est-il infini ? Justifier votre réponse.\\ b. Dans cette question $p=2$. On considère $P(x_{1}, x_{2}) = 2x_{1} – x_{2} – 1$ et $Q(x_{1},x_{2}) = x_{1}^{2} – x_{2}$. Représenter graphiquement dans le plan $\mathbb{R}^2$ les ensembles $Z(P)$ et $Z(Q)$. $Z(P)$ et $Z(Q)$ sont-ils infinis ? 15. Intérieur de l’ensemble des zéros d’une fonction polynomiale\\ Soit $P \in \Gamma_{p}$.\\ a. Soient $I_{1},…,I_{p}$ des parties infinies de $\mathbb{R}$. Montrer par récurrence que si la fonction polynomiale $P$ s’annule sur $I_{1} \times \cdots \times I_{p}$, alors $P$ est la fonction nulle.\\ b. En déduire que si $P$ s’annule sur une partie d’intérieur non vide, $P$ est la fonction nulle.\\ c. Si l’on suppose que $P$ n’est pas la fonction nulle, que vaut l’intérieur de $Z(P)$ ?} 16. Application à l’étude de l’intérieur de $\operatorname{Rac}(A)$\\ Dans cette question, on confondra les espaces vectoriels $M_{n}(\mathbb{R})$ et $\mathbb{R}^{n^{2}}$. Par exemple, on prendra la liberté d’écrire que pour $M = (m_{ij})_{1\leq i,j\leq n} \in M_{n}(\mathbb{R})$, $M \in \mathbb{R}^{n^{2}}$ sans se soucier de l’ordre des termes. \\ Soit $A$ une matrice de $M_{n}(\mathbb{R})$.\\ a. Écrire $\operatorname{Rac}(A)$ sous forme d’un sous-ensemble de $\mathbb{R}^{n^2}$ puis montrer qu’il existe des éléments $P_1,\ldots,P_{n^2}$ de $\Gamma_{n^2}$ tels que \[ \operatorname{Rac}(A) = \bigcap_{\ell=1}^{n^2} Z(P_{\ell}). \] b. Déterminer l’intérieur de $\operatorname{Rac}(A)$. }FAQ
Une racine carrée d’une matrice A est une matrice R telle que R² = A. Cette notion apparaît très souvent en algèbre linéaire, notamment dans les concours comme le CCINP en filière MP. Maîtriser ce concept t’aide à comprendre plus largement les propriétés des fonctions polynomiales appliquées à des matrices.
La diagonalisabilité est une propriété majeure car elle permet de simplifier énormément les calculs : élévation à une puissance, calculs de racines, exponentiation de matrices… Dans le contexte du concours CCINP MP, savoir diagonaliser une matrice permet souvent de résoudre des problèmes qui semblent très compliqués à première vue.
Les matrices symétriques, particulièrement quand elles sont positives, jouent un rôle central en mathématiques, en physique et en optimisation. Elles garantissent l’existence de racines carrées réelles et parfois même symétriques. Lors d’un concours comme le CCINP, il n’est pas rare que tu doives utiliser ces propriétés pour démontrer l’existence de solutions à un problème matriciel ou étudier la stabilité d’un système.
Pour déterminer toutes les racines carrées d’une matrice, on commence souvent par chercher à diagonaliser la matrice lorsqu’elle est diagonalisable. Ensuite, on traite le problème sur la diagonale, en trouvant les racines carrées de chaque valeur propre. Le passage à la matrice de départ s’effectue via un changement de base. Si le sujet te semble ardu, débloque les corrigés sur Prépa Booster : tu y retrouveras toutes les méthodes détaillées étape par étape.
Comprendre les ensembles de zéros de fonctions polynomiales, à la fois en dimension 1 et dans ℝⁿ, est fondamental pour l’algèbre et l’analyse. Cela permet de déterminer si une équation matricielle admet un ensemble de solutions « large » (d’intérieur non vide), voire infini. Ce type de question apparaît régulièrement dans les concours comme le CCINP pour t’entraîner à raisonner sur la structure des solutions.
L’étude de la fermeture ou du caractère borné d’ensembles comme \( \operatorname{Rac}(A) \) permet de comprendre la structure des solutions d’une équation matricielle. En CPGE, ces propriétés relèvent à la fois de l’algèbre linéaire et de la topologie. Ce sont des notions au programme du concours CCINP, très utiles pour analyser le comportement des solutions d’équations polynomiales matricielles.
La norme surmultiplicative, c’est-à-dire \( \|AB\| \geq \|A\|\|B\| \), survient dans l’étude avancée des matrices et de leurs groupes comme \( GL_n(\mathbb{R}) \). Comprendre pourquoi une telle norme ne peut exister dans ce contexte affine ta maîtrise de la géométrie matricielle, au cœur de certains exercices exigeants du concours CCINP.
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