Questions du sujet
1. On note $T_1$ la variable aléatoire égale au temps écoulé entre le temps 0 et le temps où arrive le client d’indice 1.\\ Justifier que pour tout $k \in \N^*$, $\P(T_1 = k) = (1-p)^{k-1}p$. 2. On note $A$ l’événement « aucun nouveau client n’arrive dans la file ».\\ Exprimer $A$ en fonction des événements $\{T_1 = k\}, k \in \N^*$. En déduire $\P(A)$. Interpréter. 3. Déterminer le rayon de convergence $R$ de la fonction génératrice de $T_1$, puis calculer sa somme. 4. En déduire l’espérance et la variance de $T_1$. 5. Pour tout $n \in \N^*$, on note $T_n$ la variable aléatoire égale au temps écoulé entre l’arrivée du client d’indice $n-1$ et le client d’indice $n$. On admet que les variables aléatoires $T_n$ sont indépendantes et de même loi.\\ On note $D_n = T_1 + \ldots + T_n$ la variable aléatoire qui donne le temps d’arrivée du client d’indice $n$.\\ Calculer l’espérance, la variance et la fonction génératrice $G_{D_n}$ de $D_n$.} 6. Rappeler le développement en série entière de $(1+x)^\alpha$ au voisinage de $x=0$ pour $\alpha \in \R$.\\ En déduire le développement en série entière de $G_{D_n}$ en 0 et montrer que pour tout $(k, n) \in (\N^*)^2$ : \[ \P(D_n = k) = \begin{cases} 0 & \text{si } k < n, \\ \binom{k-1}{k-n}p^n(1-p)^{k-n} & \text{sinon}. \end{cases} \] 7. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $z_n \in ]0,1[$ et $z_{n+1}-z_n$ est du même signe que $z_2-z_1$. 8. En déduire que $(z_n)_{n \in \N^*}$ converge vers une limite $\ell \in [0, 1]$ vérifiant $f(\ell) = \ell$. 9. Soit la fonction $\psi : ]0,1] \to \R,\ x\mapsto \ln(x)-a(x-1)$.\\ Montrer que pour tout $x > 0$, on a : $0 \leq \psi(x) \Leftrightarrow f(x) \leq x$ et $\psi(x)=0 \Leftrightarrow f(x)=x$. 10. On suppose dans cette question que $a\leq 1$.\\ Étudier le signe de $\psi$ et montrer qu’elle ne s’annule qu’en $x=1$. En déduire que $z_n \to_{n\to+\infty} 1$.} 11. On suppose dans cette question que $a > 1$.\\ Étudier le signe de $\psi$ et montrer que l’équation $f(x) = x$ d’inconnue $x \in [0, 1]$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $1$ avec $\alpha \in ]0,1[$ qu’on ne cherchera pas à expliciter.\\ En distinguant les cas $z_1 \in ]0, \alpha]$ et $z_1 \in ]\alpha, 1[$, montrer que $z_n \to_{n\to +\infty} \alpha$. 12. Quelle est la situation concrète décrite par l’événement $Z = \bigcup_{n \in \N^*} \{V_n = 0 \}$ ? 13. Quelle est la loi du nombre $N_n$ de clients qui sont arrivés dans la file d’attente dans l’intervalle de temps $\llbracket 1, n \rrbracket$ ? 14. Pour tout $(n, k) \in \N^2$, calculer $\P(V_1 = k \mid S = n)$.\\ En déduire que $V_1$ suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre. 15. On note $z_n = \P(V_n = 0)$. Montrer que $(z_n)_{n \in \N}$ converge et que $\P(Z)= \lim_{n \to +\infty} z_n$.} 16. Justifier que pour tout $(j,n) \in \N^2$,\\ $\P(V_{n+1} = 0 \mid V_1 = j) = \P(V_n = 0)^j$. On distinguera le cas $j = 0$. 17. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $z_{n+1} = \exp(\lambda p (z_n – 1))$. 18. Déterminer, suivant les valeurs de $\lambda p$, la limite de la suite $(z_n)_{n \in \N^*}$. Interpréter. 19. Soit $x \in \R$. Montrer que $\int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$ converge si, et seulement si, $x > 0$.\\ Pour tout $x > 0$, on note : $\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$. 20. Montrer que pour tout $x > 0$, $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$. En déduire que pour tout $n \in \N^* :\ \Gamma(n) = (n-1)!$.} 21. On admet que l’intégrale $\int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt$ converge et qu’elle vaut $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$.\\ Montrer que pour tout $n \in \N : \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right) = \frac{(2n)!}{2^{2n} n!} \sqrt{\pi}$. 22. Pour tout $k \in \N^*$ on note $\rho_k = \ln k – \int_{(k-1)/2}^{(k+1)/2} \ln t dt$. Montrer que pour tout $n \in \N^*$ :\\ $\ln \Gamma(n) = \int_{1/2}^{(n-1)/2} \ln t dt + \sum_{k=1}^{n-1} \rho_k$. On remarquera que pour $n=1$, par convention, la somme des $\rho_k$ est nulle. 23. Montrer que pour tout $k \in \N^*$ :\\ $\rho_k = \int_0^{1/2} \left(2\ln k – \ln(k + t) – \ln(k – t)\right) dt = \int_0^{1/2} -\ln\left(1 – \frac{t^2}{k^2}\right) dt$. 24. En déduire que $\sum_{k \in \N^*} \rho_k$ converge. 25. Montrer qu’il existe $c \in \R$ tel que, lorsque $n \to +\infty$ :\\ $\ln \Gamma(n) = \left(n-\frac{1}{2}\right)\ln n – n + c + o(1)$.\\ En déduire que lorsque $n \to +\infty :\ \Gamma(n) \sim e^c n^{n-1/2}e^{-n}$.} 26. Pour tout $x > 0$ et tout $n \in \N^*$, on admet que $t\mapsto t^{x-1} (1 – t/n)^n$ est intégrable sur $]0, n]$ et on note :\\ $\Gamma_n(x) = \int_0^n t^{x-1} (1 – t/n)^n dt$.\\ Montrer que pour tout $x > 0$ et tout $n \in \N^*$ :\\ $\Gamma_n(x) = n^x \int_0^1 u^{x-1}(1-u)^n du$. 27. Montrer que pour tout $n \in \N^*$ :\\ $\forall x > 0,\ \Gamma_n(x) = \frac{n^x n!}{x(x+1)\ldots(x+n)}$. 28. On définit la fonction $1_{]0,n[}$ sur $\R_+$ en posant $1_{]0,n[}(t) = \begin{cases} 1 & \text{si } t \in ]0, n[, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$\\ En remarquant que $\Gamma_n(x) = \int_0^{+\infty} 1_{]0,n[}(t) t^{x-1} (1-t/n)^n dt$, utiliser le théorème de convergence dominée pour montrer que pour tout $x > 0$ :\\ $\Gamma_n(x) \to_{n \to +\infty} \Gamma(x)$.\\ En déduire que pour tout $x > 0$ : $\Gamma(x) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n^x n!}{x(x+1)\ldots(x+n)}$. 29. Montrer que pour tout $x > 0$, \[ \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(n) n^x} \to_{n\to +\infty} 1. \] En déduire que $e^c = \sqrt{2\pi}$ où $c$ est défini à la question Q25.\\ On pourra faire appel aux résultats des questions Q19 et Q20.} 30. Calculer $u_0^2(e_j)$ pour tout $j \in \llbracket 1, p \rrbracket$ et en déduire $J_0^2$.\\ Calculer de même $J_0^{p-1}$ et $J_0^p$. En déduire que $J_0$ est nilpotente d’indice $p$. 31. Montrer que $Sp(u_\lambda)=\{\lambda\}$ et déterminer le sous-espace propre associé. 32. Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $\R^p$. Montrer que $V$ est stable par $u_\lambda$ si, et seulement si, $V$ est stable par $u_0$.\\ Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $\R^p$ stable par $u_\lambda$, de dimension $k \in \llbracket 1, p \rrbracket$. On note $v$ l’endomorphisme induit par $u_\lambda$ sur $V$ et $(\tilde e_1, \ldots, \tilde e_k)$ une base de $V$, que l’on complète en une base $\tilde B = (\tilde e_1, …,\tilde e_p)$ de $\R^p$. 33. Quelle est la forme de la matrice de $u_\lambda$ dans la base $\tilde B$ ? 34. En déduire que le polynôme caractéristique de $v$ divise le polynôme caractéristique de $u_\lambda$ et que $e_p \in V$.} 35. Déduire de la question précédente qu’il n’existe pas de décomposition $\R^p = V \oplus W$ où $V$ et $W$ sont des sous-espaces vectoriels de $\R^p$ stables par $u_\lambda$ non réduits à $\{0\}$. 36. On s’intéresse dans cette partie aux solutions du système différentiel :\\ $(S)\ :\ X’ = J_\lambda X$.\\ Une solution de $(S)$ est une fonction : \[ X : \begin{cases} \R \to E \\ t \mapsto X(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ \vdots \\ x_p(t) \end{pmatrix} \end{cases} \] de classe $\mathcal{C}^1$ telle que pour tout $t \in \R$, $X'(t) = J_\lambda X(t)$.\\ Pour tout $t \in \R$, on définit la matrice carrée de taille $p$ notée $\exp(tJ_\lambda)$ par : \[ \exp(tJ_\lambda) = e^{\lambda t} \sum_{k=0}^{p-1} \frac{t^k}{k!} J_0^k. \] 37. Montrer que si $X_0$ est un vecteur propre pour $J_\lambda$ associé à la valeur propre $\lambda$, alors $\tilde X : t \mapsto e^{\lambda t} X_0$ est une solution particulière de $(S)$. 38. On définit la fonction $\varphi :\ \R \to M_p(\R),\ t \mapsto \exp(tJ_\lambda)$.\\ Montrer que $\varphi$ est dérivable et que pour tout $t \in \R$, $\varphi'(t) = J_\lambda \exp(tJ_\lambda) = \exp(tJ_\lambda) J_\lambda$. 39. Justifier que pour tout $t \in \R$, $\exp(tJ_\lambda) = e^{\lambda t} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{t^k}{k!} J_0^k$.\\ Montrer que pour tout $t \in \R$, $\exp(tJ_\lambda)$ est inversible, d’inverse $\exp(-tJ_\lambda)$.} 40. Montrer que $X : t \mapsto X(t)$ est solution de $(S)$ si, et seulement si, $Y : t \mapsto \exp(-tJ_\lambda) X(t)$ est constante.\\ En déduire que les solutions de $(S)$ sont exactement les fonctions $X : t \mapsto \exp(tJ_\lambda) X_0$ où $X_0 \in E$. 41. Montrer que si $\lambda > 0$, $(S)$ admet une solution non bornée sur $\R_+$. 42. Montrer que pour tout $A \in M_p(\R)$ et tout $X \in E$, on a $\|AX\| \leq N(A)\|X\|$.\\ En déduire que si $\lambda < 0$, toutes les solutions de $(S)$ sont bornées sur $\R_+$. 43. Que dire concernant l’existence de solutions de $(S)$ non bornées sur $\R_+$ si $\lambda = 0$ ?}FAQ
Le sujet aborde des notions fondamentales de probabilités discrètes comme la loi géométrique, la loi binomiale, les lois de Poisson et les suites de variables aléatoires indépendantes. On y traite aussi d’évènements, de conditionnement, de convergence de suites de probabilités, de fonction génératrice, espérance et variance. C’est un vrai concentré de probabilités à maîtriser pour le concours !
La loi géométrique intervient souvent quand tu attends le premier succès dans une suite d’expériences indépendantes identiques. Dans le contexte du sujet, elle permet de modéliser le temps d’attente jusqu’au premier évènement (ici l’arrivée d’un client). Il faut connaître la formule de son espérance et de sa variance, et savoir la relier à une situation concrète. C’est une loi classique à manipuler rapidement le jour J !
La fonction génératrice encapsule toutes les probabilités d’une variable aléatoire discrète sous forme de série. C’est un outil puissant pour retrouver les lois, calculer espérance, variance ou encore démontrer des résultats sur des sommes de variables indépendantes. Elle permet souvent de simplifier les calculs, surtout pour les lois classiques vues en CPGE scientifique. N’hésite pas à t’entraîner à la manipuler car c’est très apprécié des correcteurs !
La fonction Gamma généralise la factorielle aux réels et intervient dans de nombreux domaines (probabilités, calcul intégral, statistiques, équations différentielles…). Les techniques autours de Gamma et son asymptotique (avec la formule de Stirling) permettent de résoudre des questions difficiles liées aux suites, séries et intégrales, qui tombent très régulièrement en Maths PSI CCINP. Savoir les reconnaître et manipuler les propriétés de Gamma, c’est indispensable pour briller !
Quand tu rencontres une suite définie par une formule de récurrence (comme $(z_n)$ dans le sujet), il faut systématiquement étudier son sens de variation, sa borne, et identifier sa ou ses limites éventuelles, voire les interpréter en probabilités. Ces outils analytiques sont toujours liés à une application concrète (file d’attente, process de file, chaîne de Markov, etc.). Prends l’habitude de passer par un raisonnement rigoureux à chaque étape pour sécuriser les points.
Révise bien les formules de développement limité (notamment celui de $(1+x)^\alpha$). Il faut savoir reconnaître la situation où une série entière simplifie la résolution d’un problème (somme de séries, identification de coefficients, expressions de lois en probas…). Surligne ces passages dans tes annales de CCINP PSI : ces questions sont ultra classiques et faciles à sécuriser si tu es entraîné.
Une matrice nilpotente est une matrice dont une puissance devient nulle. En analyse, notamment dans les systèmes différentielles linéaires, leur exponentielle permet de donner des solutions explicites grâce à la formule $(J_\lambda)$. Ce concept, souvent abordé en PSI et incontournable au concours CCINP, offre un accès privilégié aux solutions et à la compréhension de la dynamique du système, surtout lorsqu’on combine avec une composante diagonale (matrice de Jordan). Entraîne-toi à manipuler leur exponentielle !
Oui, il illustre parfaitement l’esprit du concours : savoir manœuvrer des probabilités discrètes et continues, expliquer et exploiter des propriétés analytiques (intégrales, séries), traiter de l’algèbre linéaire avancée (matrices nilpotentes, exponentielles). On te demande à chaque fois rigueur, capacité de modélisation, et justesse dans les raisonnements. Si tu maîtrises ce type de sujet, tu es prêt pour les autres épreuves du CCINP PSI ! Retrouve les corrigés complets et des conseils méthodes en débloquant les corrigés sur Prépa Booster.