Questions du sujet
1. Montrer que : $\forall t \in \mathbb{R}_+, |\sin(t)| \leq t$. 2. Montrer que les fonctions $F, G$ et $H$ sont bien définies sur $]0, +\infty[$. 3. Montrer que $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 0$. 4. Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $]0, +\infty[$ et exprimer $F’$ à l’aide de la fonction $G$. 5. Trouver une expression simple pour $G$ et pour $H$. On pourra calculer $H(x) + iG(x)$. En déduire, pour $\alpha \in ]0, +\infty[$, la valeur de $\int_{0}^{+\infty} e^{-tx} \cos(\alpha t)\,dt$.} 6. En déduire une expression simple pour $F$. Que vaut $F(1)$ ? 7. Montrer que pour tout $t > 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$ \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{t}{2^k}\right) = \frac{\sin(t)}{2^n \sin(t/2^n)}. $$ 8. Montrer que pour tout $t > 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$ \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{t}{2^k}\right) = \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=1}^{2^{n-1}} \cos\left( \frac{2k-1}{2^n} t \right). $$ On pourra raisonner par récurrence et utiliser l’identité : $$ \cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2}\left( \cos(a+b) + \cos(a-b)\right). $$ 9. En déduire que pour tout $t > 0$ : $$ \frac{\sin(t)}{t} = \lim_{n\to+\infty} \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=1}^{2^{n-1}} \cos\left( \frac{2k-1}{2^n} t \right). $$ 10. Montrer que pour tout $x > 0$ : $$ F(x) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=1}^{2^{n-1}} \int_{0}^{+\infty} \cos\left( \frac{2k-1}{2^n} t \right) e^{-tx}\, dt. $$ On pourra introduire, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la fonction $f_n : ]0, +\infty[ \rightarrow \mathbb{R}$ définie par : $$ \forall t \in ]0, +\infty[,~ f_n(t) = \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{k=1}^{2^{n-1}} \cos\left( \frac{2k-1}{2^n} t \right) e^{-tx}. $$ } 11. En déduire que : $$ \frac{\pi}{4} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2^{n+1}}{2} \sum_{k=1}^{2^{n-1}} \frac{1}{(2k-1)^2 + 2^{2n}}. $$ 12. Déterminer : $$ \lim_{n \to +\infty} \frac{2^{n+1}}{2} \sum_{k=0}^{2^{n-1}} \frac{1}{4k^2 + 2^{2n}} $$ en écrivant cette quantité à l’aide d’une somme de Riemann. 13. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tout $k \in \{0, 2^{n-1}\}$ : $$ \left| \frac{1}{4k^2+2^{2n}} – \frac{1}{(2k-1)^2+2^{2n}} \right| \leq \frac{4\times 2^{n-1}+1}{1 + 2^{2n}} \frac{1}{4k^2 + 2^{2n}}. $$ 14. En déduire que : $$ \lim_{n \to +\infty} \frac{2^{n+1}}{2} \sum_{k=0}^{2^{n-1}} \left( \frac{1}{4k^2 + 2^{2n}} – \frac{1}{(2k-1)^2 + 2^{2n}} \right) = 0 $$ et retrouver le résultat de la question Q11. 15. Déterminer le polynôme caractéristique $\chi_A = \det(XI_3 – A)$ de $A$ et le décomposer en facteurs irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$.} 16. En déduire que la matrice $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$. Donner la liste des valeurs propres de $A$ et la dimension des espaces propres correspondants. On ne demande pas de déterminer les espaces propres de $A$ dans cette question. 17. Déterminer le polynôme caractéristique $\chi_B$ de $B$ et le décomposer en facteurs irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$, puis dans $\mathbb{C}[X]$. Vérifier que $\chi_A(X) = i\chi_B(iX)$. 18. La matrice $B$ est-elle diagonalisable sur $\mathbb{R}$ ? Est-elle diagonalisable sur $\mathbb{C}$ ? Donner la liste des valeurs propres réelles puis complexes de $B$ et la dimension des espaces propres sur $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ correspondants. On ne demande pas de déterminer les espaces propres de $B$ dans cette question. 19. Exprimer $D^{-1} A D$ à l’aide de la matrice $B$. 20. Calculer $\Delta^{-1} A \Delta$. En déduire à nouveau que la matrice $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$.} 21. Montrer que la famille $(f_0, …, f_n)$ est libre. En déduire la dimension de l’espace vectoriel complexe $V_n$. 22. Pour $k \in \{0, n\}$, montrer que $f_k’ \in V_n$. En déduire que : $$ \varphi_n : V_n \to V_n \\ f \mapsto \varphi_n(f) = f’ $$ définit un endomorphisme de $V_n$ et que sa matrice $B_n$ dans la base $(f_0, f_1, …, f_n)$ est la matrice : $$ B_n = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ n & 0 & -2 & \cdots & 0 \\ 0 & n-1 & 0 & -3 & \cdots \\ \vdots & & \ddots & & \\ 0 & \cdots & 2 & 0 & -n \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R}). $$ 23. Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R},~ g_k(x) = (\cos x + i \sin x)^k (\cos x – i \sin x)^{n-k}$. 24. En déduire, à l’aide de la formule du binôme de Newton, que $\forall k \in \{0, n\},\ g_k \in V_n$. 25. Pour $k \in \{0, n\}$, calculer $g_k’$. En déduire que $\varphi_n$ est diagonalisable. Donner la liste des valeurs propres complexes de $\varphi_n$ et décrire les espaces propres correspondants.} 26. Pour quelles valeurs de $n$ l’endomorphisme $\varphi_n$ est-il un automorphisme de $V_n$ ? 27. Écrire la décomposition de $g_n$ dans la base $(f_0, …, f_n)$ et en déduire que : $$ \ker(B_n – inI_{n+1}) = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} q_0 \\ q_1 \\ \vdots \\ q_n \end{pmatrix}, $$ où pour tout $k \in \{0, n\}$, on note $q_k = i^{n-k} {n \choose k}$. 28. Soient $M = (m_{kl})_{1 \leq k, l \leq p} \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ une matrice de taille $p$ et $D = (d_{kl})_{1 \leq k, l \leq p} \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ une matrice diagonale de taille $p$. Exprimer le terme général de la matrice $DM$ en fonction des $m_{kl}$ et des $d_{kl}$, puis exprimer le terme général de la matrice $MD$ en fonction des $m_{kl}$ et des $d_{kl}$. 29. Montrer que $D_n^{-1} A_n D_n = -i B_n$ où $B_n$ est la matrice déterminée dans la Partie II. En déduire une relation simple entre $\chi_{A_n}(X)$ et $\chi_{B_n}(iX)$, où $\chi_{A_n}$ et $\chi_{B_n}$ sont les polynômes caractéristiques respectifs de $A_n$ et $B_n$. 30. En déduire, à l’aide de la Partie II, que $A_n$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$, que les valeurs propres de $A_n$ sont les entiers de la forme $2k-n$ pour $k \in \{0, n\}$ et que : $$ \ker(A_n – n I_{n+1}) = \mathrm{Vect} \begin{pmatrix} p_0 \\ p_1 \\ \vdots \\ p_n \end{pmatrix} $$ où pour tout $k \in \{0, n\}$, on note $p_k = {n \choose k}$. } 31. Pour $k \in \mathbb{N}$, que peut-on dire de la famille $(E_{k,0}, E_{k,1}, …, E_{k,n})$ ? 32. Si l’urne $U_1$ contient $j$ boules à l’instant $k$, combien peut-elle en contenir à l’instant $k + 1$ ? 33. Pour $k \in \mathbb{N}$ et $j, l \in \{0, n\}$, déterminer : $$ P_{E_{k,l}}(E_{k+1, j}). $$ On traitera séparément les cas $j=0$ et $j=n$. 34. Démontrer que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $$ P(E_{k+1,0}) = \frac{1}{n} P(E_{k,1}) \quad \text{et} \quad P(E_{k+1,n}) = \frac{1}{n} P(E_{k,n-1}) $$ et que : $$ \forall j \in \{1, n-1\},\ P(E_{k+1, j}) = \frac{n-j+1}{n} P(E_{k, j-1}) + \frac{j+1}{n} P(E_{k, j+1}). $$ 35. En déduire que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $$ Z_k = \frac{1}{n^k} A_n^k Z_0 $$ où $A_n$ est la matrice introduite dans la Partie III. } 36. Déterminer la loi $\pi$ de $N_0$. 37. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}$, $N_k$ a la même loi que $N_0$. On pourra utiliser la question Q30 de la Partie III. 38. Démontrer que $\pi$ est l’unique loi de probabilité ayant la propriété suivante : si $N_0$ suit la loi $\pi$, alors toutes les variables $N_k$ suivent la loi $\pi$.}FAQ
Ce sujet couvre de nombreuses notions clés du programme de maths PSI : inégalités trigonométriques, limites, continuité et dérivabilité, intégrales de fonctions trigonométriques, identités remarquables, produits télescopiques, sommes de Riemann, diagonalisation de matrices réelles et complexes, endomorphismes et matrices de dérivation, ainsi que des questions de probabilités et sur les chaînes de Markov. Toutes ces questions te permettent de tester et consolider ta maîtrise du cours et des méthodes transversales du concours.
Pour les questions de matrices et diagonalisation, il est essentiel de bien savoir déterminer le polynôme caractéristique, factoriser dans \( \mathbb{R}[X] \) puis dans \( \mathbb{C}[X] \), trouver les valeurs propres, et comprendre comment vérifier la diagonalisabilité (multiplicité algébrique/ géométrique). Tu dois aussi savoir manipuler les changements de bases pour exhiber des formes diagonales, ainsi que faire le lien avec les endomorphismes liés aux applications linéaires de ton sujet.
Lorsqu’on te demande de calculer des intégrales du type \( \int_0^{+\infty} e^{-tx} \cos(\alpha t)\,dt \), il faut maîtriser à la fois les techniques de changement de variables, les intégrations par parties, mais aussi savoir utiliser les nombres complexes et relier des intégrales réelles à des parties réelles ou imaginaires d’intégrales complexes. Les exercices du concours CCINP exploitent souvent ces liens pour introduire les transformées de Laplace ou de Fourier.
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Le sujet propose une modélisation d’urne qui amène à manipuler les lois de probabilités discrètes, la notion de variable aléatoire, et à écrire des équations de récurrence sur les lois. La fin du sujet aborde la notion fondamentale d’invariance de loi pour une chaîne de Markov, un grand classique du concours qui nécessite de savoir manipuler des produits matriciels, comprendre le passage à la limite, et savoir caractériser la loi invariante.
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