Questions du sujet
1. Justifier la nécessité de changer le matériau de la bande de captage du pantographe plutôt que celui du fil de contact de la caténaire. 2. Donner 2 propriétés physiques qui justifient l’emploi du carbone graphite. Dans quel autre usage similaire et courant retrouve-t-on l’usage du carbone graphite ? 3. Donner le schéma électrique équivalent. En déduire l’expression de $R_e$ en fonction de $r$, $L$ et $x$. 4. Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la résistance $R_e$ est maximale. 5. Déterminer l’expression de $R_e$. Faire l’application numérique.} 6. En déduire l’expression de la chute de tension aux bornes de cette résistance : $U_R$. Faire l’application numérique. 7. Donner l’expression du rendement lié à l’alimentation de la motrice via la caténaire. Faire l’application numérique. Que devient ce rendement lorsque la motrice est au niveau d’une sous-station (en A ou B) ? 8. Quel est l’intérêt principal d’utiliser une tension de 25 kV par rapport à une tension de 1,5 kV? 9. Justifiez la fréquence de 50 Hz. Les sous-stations étant elles-mêmes alimentées par des lignes à haute tension 63 kV, quel élément permet le passage d’une tension de 63 kV à une tension de 25 kV ? 10. Pour le système défini précédemment, donner les expressions des flux thermiques entrant en $z$, sortant en $z + \Delta z$ et sur les parois latérales (pertes conducto-convectives).} 11. Donner l’expression de l’énergie dissipée par effet Joule dans le système entre $t$ et $t + \Delta t$ en fonction de $\Delta z,\, \Delta t,\, I,\,\gamma$ et $R$ le rayon de la caténaire. 12. En appliquant le premier principe de la thermodynamique au système et en considérant $\Delta z$ et $\Delta t$ comme des infiniments petits du premier ordre, montrer que $T$ est solution d’une équation aux dérivées partielles de la forme} \[ \frac{\partial T}{\partial t} = a \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} – b(T-T_e) + d \] avec $a,b$ et $d$ des constantes à exprimer en fonction de $R,\,c,\,I,\,\lambda,\,\rho,\,\gamma$ et $h$. 13. À l’aide de la formule de Taylor-Young, écrire le développement limité à l’ordre 2 de $f(x+\epsilon)$ lorsque $\epsilon \to 0$. Déterminer aussi le développement limité à l’ordre 2 de $f(x-\epsilon)$ lorsque $\epsilon \to 0$. 14. En déduire la valeur de :} \[ \lim_{\epsilon \to 0} \frac{f(x+\epsilon) + f(x-\epsilon) – 2f(x)}{\epsilon^2} \ 15. Déduire des questions Q13 et Q14 une expression approchée de $\displaystyle \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} (z_k,t)$.} 16. En utilisant la méthode d’Euler, donner l’expression de $\displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}(z_k, t_p)$ en fonction notamment de $T(z_k, t_{p+1})$ et de $T(z_k, t_p)$. 17. En utilisant l’équation aux dérivées partielles (2), déterminer l’expression de $T(z_k, t_{p+1})$ en fonction de $T(z_k, t_p)$, $T(z_{k+1}, t_p)$, $T(z_{k-1}, t_p)$, $a$, $b$, $e$, $\Delta t$ et $\Delta z$. 18. Donner le contenu de la ligne 18 (on pourra également utiliser les lignes suivantes si nécessaires) qui enregistre les conditions initiales dans le tableau Tab. 19. Recopier et compléter la ligne 27 qui permet de remplir une ligne de Tab en fonction de la précédente. Veuillez respecter l’ordre des paramètres $p$ et $k$ utilisés dans les lignes 27 et suivantes. 20. Donner la ligne 22 (et suivantes si nécessaires) qui fixe la condition en $z = -L_1$.} 21. En faisant un bilan d’énergie sur le dernier élément de largeur $\Delta z$ situé juste avant $z = -L_1$, déterminer l’expression du terme $g$ de la ligne 30, qui traduit le transfert de chaleur, en fonction de $j,\, \rho$ et $c$. 22. En exploitant la figure 6, indiquer si le régime stationnaire est atteint ou non au bout de $1200\,\text{s}$. Justifier sans aucun calcul. 23. Quelle relation relie le champ électrique $\vec{E}$ et le potentiel $V$. 24. En utilisant une équation de Maxwell, déduire une équation simple pour le champ de potentiel $V$. 25. À partir des grandeurs relevées sur la figure 7, donner les ordres de grandeur de la composante du champ électrique contenue dans le plan $z = 0$, respectivement aux points $C$ et $D$. En déduire une conséquence pour la température en ces points. Une justification succincte est attendue.} 26. Pourquoi l’étude du régime transitoire en thermique n’est-elle pas incompatible avec le régime stationnaire électrique ? Une réponse succincte est attendue. 27. D’après la figure 9, le modèle est-il adapté au régime transitoire ? Justifier votre réponse. 28. Expliquer comment ce capteur peut mesurer un effort ? En particulier, quel est le corps d’épreuve et la grandeur de sortie de ce capteur ? 29. Reproduire et compléter le graphe de structure du système de la figure 13. On rappelle que le graphe de structure permet de représenter les solides, les liaisons et les actions mécaniques. 30. En isolant la pièce 3, déterminer l’expression simplifiée au point $D$ dans la base $(\vec{x}_3, \vec{y}_3, \vec{z}_3)$ du torseur $\{T_{2 \rightarrow 3}\}$.} 31. En isolant la pièce 2, montrer que la composante sur $\vec{x}_3$ de la résultante du torseur $\{T_{32}\}$ s’exprime par l’équation (3) :} \[ X_{32} = -\frac{\cos \beta (b m_2 g + e F_C)}{c \sin(\gamma – \beta) + d \cos(\gamma – \beta)} \ 32. Sans résoudre les équations, donner l’isolement, le bilan des actions mécaniques extérieures et le théorème à appliquer pour aboutir à la relation liant le couple $C_m$ à la force de contact $F_C$, qui est de la forme} \[ C_m = X \cdot F_c + Y \cdot m_2 g + Z \cdot m_1 g \] où $X$, $Y$ et $Z$ sont des paramètres dépendants des données de l’énoncé. 33. Expliquer l’allure des tracés. Dans la perspective d’une modélisation par un gain de la fonction de transfert entre $F_C$ et $C_m$, est-il possible de simplifier le problème en négligeant les masses ou en concentrant la masse dans le bras 1 ? 34. À l’aide des courbes des figures 14 et 15, donner les avantages et inconvénients du placement de la jauge sur les 2 bras. Pour cela, calculer la sensibilité du capteur dans chaque cas. 35. Déterminer l’équation de la valeur moyenne $F_{cmoy}$ de la force de contact en fonction de la vitesse $V$ du train pour les deux plages de vitesse définies dans le document 1.} 36. À partir des équations de la Q35, exprimer l’erreur relative pour les deux plages de vitesse en fonction de $V$. 37. Pour quelle valeur de la vitesse du train l’erreur relative $\varepsilon_\%$ est-elle la plus faible ? En déduire la valeur maximale de l’erreur statique relative admissible dans l’asservissement de la force de contact. 38. Quel problème va poser cette flèche du fil de contact pour l’asservissement de la force de contact ? 39. En appliquant le Principe Fondamental de la Statique au tronçon isolé, puis en projetant sur $\vec{x}$ et $\vec{y}$, établir les deux équations suivantes} \[ \begin{cases} T_h(x+dx) – T_h(x) = 0 \\ T_v(x+dx) – T_v(x) – \delta P = 0 \end{cases} \] avec $T_h$ et $T_v$ les valeurs absolues des composantes horizontales et verticales de la tension. 40. En déduire que la tension horizontale $T_h$ est constante.} 41. En considérant que chaque tronçon infinitésimal de la chaînette est rectiligne (figure 19), démontrer la relation suivante :} \[ \frac{d\ell}{dx} = \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \ 42. En exploitant les résultats des questions Q39 et Q41, montrer que} \[ T’_v(x) = \mu g\sqrt{1 + (y'(x))^2} \ 43. En exploitant le rappel ci-dessus et les résultats démontrés Q42, déterminer l’expression de $y”(x)$. Montrer alors que l’équation de la chaînette s’écrit} \[ y(x) = a \cosh\left(\frac{x}{a} + \alpha\right) + \beta \] avec $\alpha$ et $\beta$, les constantes d’intégration et $a$ un paramètre à expliciter. 44. Justifier les valeurs des deux raies principales du spectre. 45. En prenant un coefficient de $1{,}5$ pour les simplifications et les incertitudes sur le modèle, quelle doit être la bande passante minimale de l’asservissement ?} 46. En conclusion, proposer un résumé des éléments du cahier des charges (performances) pour l’asservissement. On explicitera également le temps de réponse et les dépassements envisageables. 47. Expliquer pourquoi la variation de hauteur de la caténaire fait varier l’effort de contact $F$. 48. Passer cette équation dans le domaine de Laplace en supposant les conditions initiales nulles. 49. Exprimer $Y_M(p)$ sous la forme $Y_M(p) = B(p)\left(A(p)Y_L(p) + F_m(p)\right)$. Expliciter les termes $A(p)$ et $B(p)$. 50. Déterminer la relation $F(p) = H_1(p) F_C(p) + H_2(p) Y_L(p)$ en explicitant les fonctions de transfert $H_1(p)$ et $H_2(p)$ en fonction de $H_C(p)$, $A(p)$, $B(p)$ et de $C(p)$.} 51. À 320 km/h, on peut modéliser $y_L(t)$ par une sinusoïde d’amplitude 6 cm à la fréquence de 1 Hz. En déduire l’influence maximale de la perturbation due à la variation de niveau de la caténaire sur la force de contact. 52. Conclure quant à la capacité de l’asservissement à respecter l’exigence E1.}FAQ
Le sujet de maths PSI 2018 du concours CCINP balaie de grandes notions de physique et de mathématiques : lois d’Ohm et de Joule, circuits électriques, bilan d’énergie, équations différentielles, transferts thermiques, effets de la résistance et du rendement, chaînes de transmission, modélisation de systèmes mécaniques et électriques, chaînette (équilibre, statique), développement limité et méthode d’Euler pour les équations aux dérivées partielles, ainsi que l’analyse de capteurs et l’asservissement. On y retrouve typiquement des questions croisées maths-physique, dans l’esprit du concours.
Pour te préparer efficacement à ce genre d’épreuve, il te faut une bonne connaissance des montages électriques (analyse des schémas, équivalents de résistance, chute de tension), des équations de la physique (bilan énergétique, effet Joule, équations de Maxwell), de la modélisation mathématique (développements limités, méthodes numériques type Euler) et de la mécanique (torseurs, principe fondamental de la statique, modélisation des transferts thermiques ou mécaniques). N’oublie pas de t’entraîner à bien justifier tes calculs et interpréter graphiquement (par exemple, régime stationnaire ou transitoire). Les corrigés complets sont accessibles en débloquant les corrigés sur Prépa Booster !
Le développement limité (DL) est un outil essentiel pour approcher une fonction par un polynôme et simplifier l’analyse locale autour d’un point. Aux concours PSI, il sert souvent à linéariser des équations ou à établir des liens avec des méthodes numériques (Euler, différences finies) pour résoudre des équations aux dérivées partielles, des bilans thermiques, etc. Savoir écrire un DL à l’ordre 2 et interpréter sa signification physique ou numérique est une compétence phare à valoriser dans ta copie.
L’équation de la chaînette modélise la forme prise par un câble (ou un fil de caténaire) suspendu sous son propre poids, soumis à une tension horizontale. On la retrouve souvent dans les sujets car elle croise analyse (équation différentielle), physique (statique), et techniques de résolution (méthodes de résolution de type séparabilité des variables, introduction d’un paramètre a, etc). Maîtriser la démonstration et les propriétés de la chaînette est fondamental pour être à l’aise sur ce thème au concours.
Une question classique du concours est la transition entre la formulation locale et la formulation intégrale des lois de l’électricité, notamment à partir de l’équation de Maxwell-Gauss ou de la loi d’Ohm locale. Tu dois savoir relier le champ électrique au potentiel, puis traduire ces équations en une équation aux dérivées partielles (type Laplace ou Poisson). Cette maîtrise est indispensable en PSI et démontre ta capacité à faire le lien maths-physique.
Dans beaucoup de systèmes réels (train, caténaires…), les phénomènes électriques générant un courant entraînent aussi des phénomènes thermiques (effet Joule, dissipation). La capacité à coupler les outils des deux domaines (bilans énergétiques, équations différentielles pour température et potentiel) est très valorisée au concours. Cela prouve ta maîtrise globale du système et ta capacité à interpréter un fonctionnement multi-physique.
La question du choix des matériaux (ici carbone-graphite) fait typiquement le lien entre physique des matériaux et problématiques technologiques : résistance à l’usure, conductivité, comportement en frottement. Le carbone-graphite possède des avantages majeurs (bonne conductivité, auto-lubrification, faible usure). Savoir en parler, et relier l’usage dans différents contextes (train, moteurs électriques), apporte une vraie richesse dans tes copies.
La méthode d’Euler est l’approche de base pour discrétiser une équation différentielle ou une équation aux dérivées partielles (EDP). Savoir passer d’une EDP continue à un algorithme qui te donne l’évolution de la température ou d’un potentiel à chaque pas de temps est très demandé. Mets en avant dans ta rédaction la logique du schéma, la structure des tableaux et l’écriture claire des conditions initiales, tout comme on t’y entraîne dans les corrigés de Prépa Booster.
Au-delà du calcul, le jury attend de toi capacité d’analyse critique (interpréter un graphe, justifier une hypothèse physique), rigueur dans la rédaction, aptitude à passer du modèle théorique à la résolution numérique ou à la simulation, et qualité de justification scientifique. Contextualiser chaque résultat obtenu (implication physique ou technologique) fait toute la différence. Viens t’entraîner sur d’autres sujets et leurs corrigés détaillés sur Prépa Booster !