Questions du sujet
1. Q1. Montrer que 1 est valeur propre de $A(\alpha, \beta)$ et determiner le sous-espace propre associé. 2. Q2. Montrer que $A(\alpha, \beta)$ est diagonalisable dans $M_2(\mathbb{R})$ et la diagonaliser. 3. Q3. Calculer, pour tout entier $p \in \mathbb{N}$, la matrice $A(\alpha, \beta)^p$. 4. Q4. Montrer que, pour $(\alpha, \beta) \neq (1, 1)$, la suite $(A(\alpha, \beta)^p)_{p \in \mathbb{N}}$ converge vers une matrice $L(\alpha, \beta)$ que l’on précisera. Que se passe-t-il pour $(\alpha, \beta) = (1, 1)$ ? 5. Q5. Cas $\ell = 1$\\ Montrer que pour tout entier $n \geq 0$ : \[ \begin{pmatrix} P(X_{n+1} = 0) \\ P(X_{n+1} = 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\alpha & \beta \\ \alpha & 1-\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P(X_n = 0) \\ P(X_n = 1) \end{pmatrix} \] Calculer, pour $n > 0$, $P(X_n = 0 \mid X_0 = 0)$ et $P(X_n = 1 \mid X_0 = 1)$.\\ Si $r = \min\left[\frac{\alpha}{\alpha+\beta}, \frac{\beta}{\alpha + \beta}\right]$, montrer que la probabilité pour que $X_n$ soit conforme à $X_0$ est supérieure ou égale à : \[ r + (1 – r)(1 – \alpha – \beta)^n. \]} 6. Q6. Cas $\ell > 1$\\ On pose $X_n = (X_n^1, \dots, X_n^\ell)$ où, pour $k \in \{1, \dots, \ell\}$, $X_n^k$ est le résultat de la transmission du $k$-ième bit au $n$-ième relais. Soit $Q_n$ la probabilité pour que le message $X_n$ soit conforme au message initial. Montrer que $Q_n$ vérifie : \[ Q_n \geq \left[r + (1 – r) (1 – \alpha – \beta)^n\right]^\ell. \] 7. Q7. On suppose dans cette question que $\alpha = \beta$. Que peut-on dire dans ce cas de l’inégalité précédente ?\\ Pour tout $\varepsilon \in ]0,1[$, déterminer un entier $n_c$ tel que la probabilité d’obtenir un message erroné au $n$-ième relais soit supérieure ou égale à $\varepsilon$ (on dit que $n_c$ est la taille critique du réseau). 8. Q8. Soit $A = (a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in M_n(\mathbb{R})$ une matrice stochastique [respectivement strictement stochastique]. Montrer que pour tous $i, j$ compris entre $1$ et $n$ on a : \[ 0 \leq a_{ij} \leq 1 \quad [\text{respectivement } 0 < a_{ij} < 1]. \] 9. Q9. Montrer qu’une matrice $A$ à coefficients réels positifs est stochastique si et seulement si $1$ est valeur propre de $A$ et le vecteur $e$ de coordonnées $(1, \dots, 1)$ est un vecteur propre associé. 10. Q10. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques [respectivement strictement stochastiques] est une matrice stochastique [respectivement strictement stochastique].} 11. Q11. Montrer que \[ \forall x \in \mathbb{C}^n, \forall p \in \mathbb{N}, \ \|A^p x\|_\infty \leq \|x\|_\infty. \] 12. Q12. Montrer que $\rho(A) = 1$. 13. Q13. Soit $A$ une matrice quelconque dans $M_n(\mathbb{C})$ et soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une valeur propre de $A$. Montrer qu’il existe un indice $i \in \{1, 2, \dots, n\}$ tel que : \[ |\lambda - a_{ii}| \leq \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^n |a_{ij}|. \] 14. Q14. Montrer qu’une matrice $A \in M_n(\mathbb{C})$ à diagonale strictement dominante est inversible. 15. Q15. On désigne par $A_1 = (a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n-1} \in M_{n-1}(\mathbb{R})$ la matrice extraite de $A$ en supprimant sa dernière ligne et sa dernière colonne. Montrer que la matrice $A_1 - I_{n-1}$ est à diagonale strictement dominante. Que peut-on en déduire quant au rang de $A-I$ ?} 16. Q16. Montrer que $\ker(A - I_n)$ est de dimension $1$. 17. Q17. Soit $\lambda \in Sp(A) \setminus \{1\}$. Montrer que $|\lambda| < 1$. 18. Q18. Montrer qu’il existe une matrice $Q$, que l’on déterminera, telle que : \[ P_1 = QP_0. \] Calculer $P_n$ en fonction de $Q$ et de $P_0$. 19. Q19. Montrer qu’il existe un unique vecteur \[ \Pi = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \\ p_4 \end{pmatrix} \] que l’on déterminera, tel que : \[ \forall i \in \{1, \dots, 4\},\; p_i \geq 0, \quad \sum_{i=1}^4 p_i = 1 \text{ et } \Pi = Q\Pi. \] 20. Q20. Montrer sans calcul que $Q$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$.} 21. Q21. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $Q$. 22. Q22. En déduire que $(Q^p)_{p \in \mathbb{N}}$ converge vers une matrice $R$ que l'on précisera en fonction de $\Pi$ et qu’il existe $r \in ]0, 1[$ tel que : \[ \|Q^p - R\| = O(r^p). \] En déduire que $(P_n)_{n \in \mathbb{N}}$ admet une limite indépendante de la loi de $X_0$ et interpréter le résultat obtenu. 23. Q23. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $p$ et tout entier $j$ compris entre $1$ et $n$, on a : \[ 0 < m^{(p)}_j \leq m^{(p+1)}_j \leq M^{(p+1)}_j \leq M^{(p)}_j. \] 24. Q24. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $p$ et tout entier $j$ compris entre $1$ et $n$, on a : \[ m^{(p+1)}_j - m^{(p)}_j \geq m \left( M^{(p)}_j - m^{(p)}_j \right) \] et \[ M^{(p)}_j - M^{(p+1)}_j \geq m \left( M^{(p)}_j - m^{(p)}_j \right). \] 25. Q25. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $p$ et tout entier $j$ compris entre $1$ et $n$, on a : \[ M^{(p+1)}_j - m^{(p+1)}_j \leq (1 - 2m)(M^{(p)}_j - m^{(p)}_j). \]} 26. Q26. En déduire que, pour tout entier $j$ compris entre $1$ et $n$, les suites $\left(m^{(p)}_j\right)_{p\in\mathbb{N}}$ et $\left(M^{(p)}_j\right)_{p \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. 27. Q27. En déduire que la suite $(A^p)_{p \in \mathbb{N}}$ converge vers une matrice $L$ stochastique dont toutes les lignes sont identiques.}FAQ
Tu dois être à l’aise avec la définition et la recherche de valeurs propres, la diagonalisation, les puissances de matrices (notamment pour les matrices stochastiques), la convergence de suites de matrices, ainsi que la caractérisation des espaces propres. Maîtriser ces notions te permet notamment d’aborder sereinement tous les exercices liés aux chaînes de Markov et aux matrices d’évolution du sujet.
Une matrice stochastique représente les transitions d’une chaîne de Markov discrète. Elle modélise par exemple les évolutions de systèmes probabilistes comme des chaînes de transmission d’information, un sujet typique du concours CCINP PSI. Pour la reconnaître, la clé est de vérifier que toutes ses lignes (ou colonnes selon la convention) sont constituées de coefficients réels positifs dont la somme vaut 1. C’est essentiel pour modéliser la conservation des probabilités.
Dans les exercices de chaînes de Markov, comme ceux du sujet CCINP PSI 2016, la progression de la suite de matrices passe par la multiplication répétée d’une matrice de transition stochastique. L’étude des puissances de cette matrice permet d’analyser la convergence vers une matrice limite (où toutes les lignes sont identiques), ce qui se traduit par l’atteinte d’un état stationnaire pour le système étudié. Comprendre ce mécanisme est fondamental pour traiter ce type de questions le jour du concours.
Il faut d’abord diagonaliser la matrice lorsque c’est possible, ou utiliser le théorème de Perron-Frobenius pour les matrices stochastiques : on montre que la valeur propre principale est 1, que toutes les autres ont un module strictement inférieur à 1, puis on en déduit la convergence vers une matrice de rang 1. Tu peux aussi établir des inégalités de type contraction pour assurer que les suites de min et de max sont adjacentes et permettent de conclure sur la convergence par encadrement.
Parce que les chaînes de Markov illustrent parfaitement la modélisation probabiliste en dimension finie. Elles relient matrices, probabilités et comportements limites — trois piliers des maths de prépa. Les sujets comme celui de 2016 t’entraînent à manier ces outils pour prévoir l’évolution d’un processus stochastique et comprendre sa stabilisation à long terme. C’est une compétence précieuse pour l’écrit comme pour l’oral.
Elles permettent de prouver la convergence sans forcément calculer explicitement toutes les itérations ! En encadrant les suites par des bornes décroissantes et croissantes adjacentes, tu peux prouver que la suite de matrices converge, ce qui est souvent demandé dans les questions de fin d’exercice. C’est une technique redoutable à maîtriser pour tout sujet sur les chaînes de Markov ou la dynamique des systèmes linéaires en concours CPGE.
Il faut savoir qu’un état stationnaire d’une chaîne de Markov correspond à un vecteur propre associé à la valeur propre 1 de la matrice de transition, où la somme des coefficients vaut 1 et chacun est positif. Cet état décrit la répartition des probabilités à long terme, quel que soit l’état de départ, ce qui est un résultat central du sujet qui revient souvent dans les concours d’écoles d’ingénieur. C’est également un grand classique à l’oral.
Exprimer les relations de récurrence sous forme matricielle, c’est-à-dire sous la forme $P_{n+1} = AP_n$, te permet d’automatiser les calculs et d’utiliser toute la puissance de l’algèbre linéaire pour étudier les itérations, calculer les $n$-ièmes termes rapidement ou exploiter la diagonalisation. Cela t’offre aussi un gain de temps précieux lors de la rédaction de ta copie, un atout non négligeable lors des épreuves du concours CCINP.
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