Questions du sujet
1. I.1.1/ Préciser, selon la valeur du nombre réel $x$, la limite de $\dfrac{1}{n^x}$ lorsque l’entier $n$ tend vers $+\infty$. 2. I.1.2/ Montrer que l’ensemble de définition de la fonction $\theta$ est $E = ]0 ; +\infty[$. 3. I.1.3/ Pour tout entier naturel $n$, on pose $J_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan t)^n dt$. 4. I.1.3.1/ Préciser une primitive de la fonction $t \mapsto \tan t$ et calculer $J_1$. 5. I.1.3.2/ Montrer que la suite $J_n$ est convergente et préciser sa limite.} 6. I.1.3.3/ Calculer $J_{2k} + J_{2k+1}$ pour tout entier naturel $k$. 7. I.1.3.4/ En utilisant le résultat obtenu en I.1.3.3/, établir (par exemple par récurrence), pour tout entier naturel $n$ non nul, la relation : $\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k} = J_1 + (-1)^{n+1} J_{2n+1}$. 8. I.1.3.5/ En déduire la valeur de $\theta(1)$. 9. I.2/ Une valeur approchée de $\theta(3)$. 10. I.2.1/ Décrire, en français, un algorithme de calcul de $S_n$ pour $n$ entier naturel non nul donné, où $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k^3}$.} 11. I.2.2/ En utilisant l’algorithme précédent et la calculatrice, donner la valeur décimale approchée par défaut $\sigma$ de $S_{30}$ à la précision $10^{-4}$. 12. I.2.3/ Montrer que $\sigma$ est aussi la valeur décimale approchée par défaut de $\theta(3)$ à la précision $10^{-4}$. 13. I.3/ Calcul de $\theta(2)$ et $\theta(4)$. 14. I.3.1/ Calculer $\alpha_n$ pour tout entier naturel $n$, où $\alpha_n = \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos(nx) dx$. 15. I.3.2/ Expliciter les coefficients de Fourier réels $a_n(g)$ et $b_n(g)$ de la fonction $g$.} 16. I.3.3/ Justifier la convergence, pour tout $x$ réel, de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$ pour $x\in]-\pi; \pi]$ et expliciter sa somme $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$ pour $x\in]-\pi; \pi]$. 17. I.3.4/ En déduire la valeur de $\theta(2)$. 18. I.3.5/ Justifier la convergence de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}$ et calculer la valeur de sa somme $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^4}$. 19. I.3.6/ En utilisant le résultat obtenu en I.3.3/, établir la convergence de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx)$ et expliciter sa somme $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^3} \sin(nx)$ pour $x\in]-\pi; \pi]$. 20. I.3.7/ Justifier, pour tout $x$ réel, la convergence de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^4} \cos(nx)$ et calculer sa somme $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^4} \cos(nx)$ pour $x\in]-\pi; \pi]$ en fonction de $x$ et $\theta(4)$.} 21. I.3.8/ En déduire la valeur de $\theta(4)$. 22. II.1/ Montrer que la fonction $f$ est définie sur $]0 ; +\infty[$. 23. II.2/ Montrer que la fonction $f$ est continue sur $]0 ; +\infty[$. 24. II.3/ Montrer que la fonction $f$ est strictement monotone sur $]0 ; +\infty[$. 25. II.4/ Justifier l’affirmation : $\mathcal{C}$ est un intervalle de $\mathbb{R}$.} 26. II.5/ Montrer que la fonction $f$ admet une limite finie $\lambda$ (que l’on précisera) en $+\infty$. 27. II.6/ Pour tout nombre réel $x$ strictement positif, on désigne par $\psi_x$ la fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ par : $\psi_x(t) = \ln(1+e^{-xt})$. 28. II.6.1/ Justifier la convergence de l’intégrale $\int_{0}^{+\infty} \psi_x(t) \, dt$. 29. II.6.2/ Établir, pour tout nombre réel $x>0$, la double inégalité : \[ \int_{0}^{+\infty} \psi_x(t) \,dt \leq f(x) \leq \ln 2 + \int_{0}^{+\infty} \psi_x(t) \,dt. \] 30. II.6.3/ Montrer l’existence de l’intégrale $\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+y)}{y} \,dy$ et exprimer sa valeur en fonction de $\theta(2)$.} 31. II.6.4/ Montrer qu’il existe une constante $\mu$ (que l’on précisera) telle que pour tout nombre réel $x$ strictement positif, on ait la double inégalité : \[ \frac{\mu}{x} \leq f(x) \leq \lambda + \frac{\mu}{x}. \] 32. II.6.5/ En déduire la limite de $xf(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ et préciser l’intervalle $\mathcal{C}$. 33. III.1/ Montrer que pour tout nombre réel $x$ de $E=]0 ; +\infty[$, on a la double inégalité $1-\frac{1}{2x} \leq \theta(x) \leq 1$. 34. III.2/ En déduire que la fonction $\theta$ est bornée sur $E$ et qu’elle admet une limite finie en $+\infty$ ; on précisera cette limite. 35. III.3.1/ En utilisant la notion de convergence normale, montrer que la fonction $\theta$ est continue sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.} 36. III.3.2/ Montrer que la fonction $\theta$ est continue sur $E$. 37. III.4.1/ Soit $x$ un nombre réel fixé strictement positif, on désigne par $\varphi_x$ la fonction définie sur l’intervalle $[2 ; +\infty[$ par $\varphi_x(t) = \frac{\ln(t)}{t^x}$.\\ Étudier les variations de la fonction $\varphi_x$ sur l’intervalle $[2 ; +\infty[$ ; on précisera l’étude dans les deux cas : 38. III.4.1.1/ lorsque $x \geq \frac{1}{\ln 2}$, 39. III.4.1.2/ lorsque $x \in\left]0;\frac{1}{\ln 2}\right[$. 40. III.4.2/ Démontrer de façon rigoureuse que la fonction $\theta$ est de classe $C^1$} 41. III.4.2.1/ sur l’intervalle $\left[\frac{1}{\ln 2};+\infty\right[$, 42. III.4.2.2/ sur l’intervalle $]0;\,+\infty[$. 43. III.4.3/ Déterminer le signe 44. III.4.3.1/ de $\theta'(2)$, 45. III.4.3.2/ de $\theta'(1)$.}FAQ
Ce sujet aborde en profondeur la convergence de séries à termes réels, notamment les séries alternées et les séries de Riemann. Il te faut être à l’aise avec les critères de convergence (série alternée, série de Bertrand, etc.), la manipulation de sommes partielles et le passage à la limite. La compréhension de la notion de convergence normale est également sollicitée, en lien avec la continuité ou la différentiabilité des sommes de séries de fonctions.
Le sujet CCINP PSI 2008 te guide pour calculer explicitement des valeurs remarquables comme θ(2) ou θ(4). Pour y arriver, il faut s’appuyer sur des liens avec les séries de Fourier, les outils d’intégration et des développements en série. Ces résultats sont incontournables dans la suite de ta scolarité scientifique et souvent réutilisés dans d’autres concours ou colles.
Les intégrales apparaissent régulièrement pour représenter des sommes ou des séries, notamment via les méthodes d’intégration terme à terme ou de connexion avec les coefficients de Fourier. Cela permet d’obtenir des évaluations précises ou des expressions fermées de certaines sommes, parfois inaccessibles par simple calcul de séries. Maîtriser ces liens est capital pour traiter efficacement les sujets de concours.
Dans ce sujet CCINP PSI 2008, certaines suites sont définies par des relations de récurrence. Pour bien les maîtriser, entraîne-toi à établir la convergence via des majorations, minorations et en exploitant la monotonie. Savoir manipuler une récurrence efficacement est un atout pour traiter rapidement ce type de questions qui revient fréquemment à l’écrit comme à l’oral.
Oui, les séries de Fourier sont des incontournables ! Elles interviennent ici pour établir ou exploiter des égalités entre sommes de séries et intégrales, et pour calculer des valeurs de séries alternées. Savoir calculer les coefficients de Fourier, connaître leurs propriétés de convergence, et relier ces notions à des fonctions classiques est souvent mis à profit dans les énoncés du CCINP.
L’étude des variations et des limites de fonctions est centrale pour justifier la convergence d’intégrales ou de séries, établir l’existence de certaines limites, ou encore prouver des propriétés de continuité ou de dérivabilité. Savoir rédiger rigoureusement ces points te permettra de gagner des points précieux, car cette démarche est systématiquement attendue par les correcteurs en concours.
Le sujet CCINP PSI 2008 comporte une partie algorithmique et calcul approché, comme c’est souvent le cas dans les sujets modernes. Maîtriser ces aspects, c’est savoir décrire proprement un algorithme, estimer une précision et exploiter un résultat numérique. Ces compétences sont de plus en plus attendues à l’écrit comme à l’oral, alors n’oublie pas de les travailler dans tes révisions.
Dès qu’une fonction est définie par une série dépendant d’un paramètre, il te faut systématiquement justifier que cette série converge normalement sur l’intervalle donné, pour pouvoir dériver ou intégrer terme à terme. Cette rigueur est une vraie marque de maturité en maths de prépa, et les correcteurs y sont particulièrement attentifs. Entraîne-toi sur des sujets corrigés pour bien comprendre la méthodologie attendue.
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