Questions du sujet
1. I.1.1/ Expliciter $\alpha_k$ pour $k$ dans $[0,4]$. 2. I.1.2/ Montrer que $\alpha_n$ est un entier naturel pour tout $n \in \mathbb{N}$. 3. I.2.1/ Expliciter $\beta_k$ pour $k$ dans $[0,4]$. 4. I.2.2/ Montrer que $\beta_n$ est un entier relatif pour tout $n \in \mathbb{N}$. 5. I.2.3/ Expliciter $ \beta_{n+1} – (n+1)\beta_n $ en fonction de $n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$.} 6. I.2.4/ Comparer les deux suites $\alpha$ et $\beta$. 7. I.3.1/ Préciser le signe de $\rho_n$ en fonction de l’entier naturel $n$. 8. I.3.2/ Etablir, pour tout entier naturel $n$, l’inégalité suivante : $|\rho_n| \leq \frac{1}{(n+1)!}$. \\ L’inégalité est-elle stricte ? 9. I.3.3/ Déduire de ce qui précède que pour tout entier naturel $n \geq 1$, $\beta_n$ est l’entier naturel le plus proche de $n!e^{-1}$. 10. I.4.1/ Justifier l’existence et l’unicité de la fonction $f$. Expliciter $f(x)$ pour tout $x \in ]-1;1[$.} 11. I.4.2/ Justifier l’affirmation : « $f$ est de classe $C^\infty$ sur $]-1;1[$ ». 12. I.4.3/ Expliciter $(1-x)f(x)$, puis exprimer pour tout entier naturel $n$ : \\ $(1-x)f^{(n)}(x) + (n+1)f^{(n-1)}(x)$ en fonction de $n$ et de $x$. 13. I.4.4/ En déduire une relation, valable pour tout entier naturel $n$, entre $\beta_n$ et $f^{(n)}(0)$. 14. II.1/ Calculer $\gamma_1$ et $\gamma_2$. 15. II.2/ Classer les éléments de $S_3$ selon leur nombre de points fixes et calculer $\gamma_3$.} 16. II.3.1/ Quel est le nombre d’éléments $\tau \in S_4$ ayant deux points fixes ? 17. II.3.2/ Quel est le nombre d’éléments $\tau \in S_4$ ayant un point fixe ? 18. II.3.3/ Calculer $\gamma_4$. 19. II.4.1/ Rappeler sans justification le nombre d’éléments de $S_n$. 20. II.4.2/ Si $0\leq k\leq n$, combien d’éléments de $S_n$ ont exactement $k$ points fixes ?} 21. II.4.3/ Etablir pour tout entier naturel $n$ la relation : $$n! = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \gamma_{n-k}.$$ 22. II.5.1/ Montrer que le rayon de convergence de cette série entière est supérieur ou égal à $1$. 23. II.5.2/ Pour tout $x \in ]-1;1[$, on pose $h(x) = g(x)e^{-x}$. Justifier l’existence du développement en série entière de la fonction $h$ sur $]-1;1[$ et expliciter ce développement. 24. II.5.3/ Expliciter $g(x)$ pour tout $x \in ]-1;1[$. En déduire la valeur du rayon de convergence de la série $\sum_{n \geq 0} \frac{\gamma_n}{n!} x^n$. 25. II.5.4/ Comparer les deux suites $\beta$ et $\gamma$.} 26. II.5.5/ La fonction $g$ est-elle définie en $1$ ? 27. II.5.6/ La fonction $g$ est-elle définie en $-1$ ? 28. II.5.7/ Calculer $\gamma_8$. 29. III.1.1/ Quelle est la limite de $J_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ? 30. III.1.2/ Établir la convergence de la série $\sum_{n\geq 0} v_n$.} 31. III.2.1/ Justifier, pour tout nombre réel $x$ et pour tout entier naturel $n$, l’égalité : \\ \[ \int_0^x t^n e^{-t} dt = n! \left[ 1 – e^{-x} \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \right] \] 32. III.2.2/ Déduire de (1) l’expression de $\delta_n$ en fonction de $v_n$. 33. III.3/ Justifier la convergence de la série $\sum_{n\geq 0} \delta_n$ ; la convergence est-elle absolue ? 34. III.4.1/ Justifier la convergence de la série $\sum_{n\geq 1} \frac{\delta_n}{n}$. 35. III.4.2.1/ Justifier la convergence de l’intégrale impropre $A = \int_0^1 \ln(1-x)e^{-x} dx$.} 36. III.4.2.2/ Exprimer la somme $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\delta_n}{n}$ en fonction de l’intégrale $A$. 37. III.4.3/ Justifier la convergence de la série $\sum_{n\geq 2} \frac{1}{n!(n+1)}$ et expliciter la somme $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n!(n+1)}$ en fonction de $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\delta_n}{n}$. 38. III.4.4/ Expliciter un nombre rationnel $\frac{p}{q}$ vérifiant $\left|\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\delta_n}{n} – \frac{p}{q}\right| \leq \frac{1}{600}$.}FAQ
Les suites récurrentes sont au cœur des mathématiques en filière PSI car elles permettent de modéliser et résoudre un très grand nombre de problèmes, de l’analyse à la combinatoire. Savoir expliciter leurs termes, démontrer leur nature entière ou réelle, et établir des inégalités précises est essentiel pour manier les outils mathématiques exigés en concours. Ce sujet du CCINP 2007 illustre parfaitement ces compétences attendues.
Pour traiter les questions sur les groupes de permutations S_n, il faut être à l’aise avec la notion de points fixes et la façon dont on compte les éléments selon certaines propriétés, comme le nombre de points fixes. Cela fait appel aux bases de la combinatoire, à la manipulation du coefficient binomial et à la reconnaissance des différentes structures dans un ensemble fini. Ce sont des questions incontournables pour le concours CCINP en PSI.
Les séries entières sont omniprésentes car elles ouvrent la porte au développement en série de fonctions, à l’étude de la convergence, ainsi qu’à l’analyse des comportements aux bornes de leur intervalle de définition. Savoir calculer un rayon de convergence ou établir l’existence d’un développement valide, comme ici avec les fonctions f, g et h, est un grand classique. C’est un socle indispensable pour réussir les épreuves écrites.
L’intégration joue un rôle clé pour relier certaines suites et séries à des quantités continues. Ici, tu vois par exemple l’apparition d’intégrales pour exprimer des sommes ou des termes de suites qui interviennent naturellement dans les problématiques d’analyse. Cette interaction entre sommation discrète et intégration continue est très recherchée dans les sujets du concours.
Parce qu’il est fondamental, en mathématiques de CPGE, d’être capable de maîtriser la notion de convergence : c’est ce qui permet de justifier rigoureusement les résultats obtenus, d’aller de l’approximation à l’exactitude, que ce soit pour les séries, les suites, ou les intégrales. Parfois, une question sur le passage à la limite ou la convergence cache aussi des questions plus subtiles sur la précision de l’approximation ou l’existence même d’une valeur à laquelle un processus se stabilise.
Les sujets tels que celui de 2007 balayent l’essentiel des notions-clés attendues en PSI : manipulation de suites et séries, combinatoire (groupes de permutations), analyse (intégrales, développement en série, étude de la régularité des fonctions), et approximation. Cet éventail prépare à tous types d’exercices : du classique problème d’analyse à l’étude de structures combinatoires. Pour progresser et s’entraîner sur des corrigés détaillés, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !
Pour réussir, il faut toujours soigner la rédaction, justifier rigoureusement chaque étape, et ne jamais négliger l’étude des cas frontières ou particuliers (comme x = 1 ou x = –1 dans les questions de convergence). Travaille régulièrement sur des sujets variés, lis bien les corrigés pour voir la démarche attendue et profite du tableau de bord personnalisé de Prépa Booster pour cibler tes points faibles !