CCINP Maths 1 PSI 2005

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Chapitres abordés : algèbre linéaire, endomorphismes d’un espace euclidien, espaces préhilbertiens, intégrales à paramètres, Intégration, séries de fonctions, Séries numériques

Mots clés : convergence uniforme de séries de fonctions (e^{-kt^2}), fonctions propres exponentielles complexes e^{(a+ib)t}, monotonie héritée par intégration sur [0,x[, noyau de q : c^1_0 et moyenne nulle sur [0,1], primitive déterminée f(x)=∫_0^x f(t)dt

Corrigé de l’épreuve ccinp Mathématiques PSI 2005

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Énoncé de l’épreuve ccinp Mathématiques PSI 2005

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Questions du sujet

1. I.1.1/ Expliciter $F(x)$, si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=1$. 2. I.1.2/ Expliciter $F(x)$, si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=t^k$ (où $k$ est fixé dans $\mathbb{N}^*$). 3. I.2.1/ Montrer que la fonction $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$. Expliciter $F'(x)$ en fonction de $f$ et de $x$. 4. I.2.2/ Montrer que si la fonction $f$ est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle $J_x = [0,x[$, alors la fonction $F$ est croissante (respectivement décroissante) sur $J_x$. 5. I.2.3/ Montrer que la fonction $F = q(f)$ est constante sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $f$ appartient à $C^1_0$.} 6. I.2.4/ Expliciter $F(x)$, si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t)=\sin(\pi t)$. 7. I.2.5/ On suppose que la fonction $f$ admet une limite finie $L_1$ en $+\infty$. Montrer que la fonction $F$ admet une limite $L_2$ (que l’on explicitera) en $+\infty$ ; on pourra étudier d’abord le cas où $L_1 = 0$. 8. I.3.1/ Comparer $y(-u)$ et $y(u)$, si la fonction $f$ est impaire (respectivement paire). 9. I.3.2/ Quelle propriété géométrique de la représentation graphique de la fonction $F$ peut-on déduire des résultats obtenus en I.3.1, si la fonction $f$ est impaire (respectivement paire) ? 10. I.4.1/ Montrer que la fonction $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$. ($f(t)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2} e^{-kt^2}$, pour $t$ réel)} 11. I.4.2/ La fonction $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$ ? 12. I.4.3/ La fonction $f$ admet-elle une limite en $+\infty$ ? Si oui, laquelle ? 13. I.4.4/ Indiquer l’allure de la représentation graphique de la fonction $f$ (on ne cherchera pas à préciser $f(0)$). 14. I.4.5/ La fonction $f$ est-elle intégrable sur $\mathbb{R}$ ? 15. I.4.6.1/ Indiquer l’allure de la représentation graphique de la fonction $F$.} 16. I.4.6.2/ La fonction $F$ est-elle intégrable sur $\mathbb{R}$ ? (on pourra comparer $F(x)$ et $f(x)$ pour $x$ appartenant à $\mathbb{R}_+$). 17. II.1/ L’endomorphisme $q$ est-il surjectif ? 18. II.2.1/ Montrer que $f \in \Ker q \Leftrightarrow f \in C^1_0$ et $\int_0^1 f(t)dt=0$. 19. II.2.2.1/ Vérifier que $C_k$ appartient à $C^1_0$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ et calculer $$ pour $(j,k) \in (\mathbb{N}^*)^2$. ($C_k(t) = \cos(2k\pi t)$) 20. II.2.2.2/ $\Ker q$ est-il de dimension finie ?} 21. II.2.3.1/ Établir, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, la relation : \\ $W_n = \int_n^{n+1} f(t)dt = \int_0^1 f(t+n)dt$. 22. II.2.3.2/ Si on suppose que $f$ appartient à $\Ker q$, quelle est la nature de la série $\sum_{n\geq1} W_n$ ? 23. II.2.3.3/ Si on suppose que $f$ n’appartient pas à $\Ker q$, quelle est la nature de la série $\sum_{n\geq1} W_n$ ? 24. II.3.1/ Montrer que chaque $h_a$ est un vecteur propre de l’endomorphisme $q$. 25. II.3.2/ Étudier les variations de la fonction $\frac{e^u-1}{u}$ pour $u\in\mathbb{R}^*$.} 26. II.3.3/ Expliciter l’ensemble $\mathrm{Sp}(q)\cap \mathbb{R}_{++}$. 27. III.1.1/ Soit $r$ la fonction définie sur $I_k$, par $r(t) = t\sin 2t – t^2\sin t$. Étudier la fonction $r$ sur $I_k$ et préciser son signe. 28. III.1.2/ Montrer que $g$ définit une bijection de $I_k$ sur un intervalle de $\mathbb{R}$ à préciser. 29. III.2.1/ Soit $x\in\mathbb{R}$. Calculer $\int_x^{x+1} e^{gt} dt$ pour $g=a+ib$. 30. III.2.2/ À quelle condition nécessaire et suffisante la fonction $h$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par $h(t) = e^{at}\cos(bt)$ est-elle un vecteur propre de l’endomorphisme $q$ associé à la valeur propre $\lambda$ ?} 31. III.3/ En déduire une suite $(f_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ de fonctions propres de l’endomorphisme $q$.}

FAQ

Quelles sont les principales notions abordées dans le sujet de maths PSI CCINP 2005 ?

Dans ce sujet, tu rencontres des notions fondamentales comme l’intégration, les fonctions de classe C^1, les propriétés des fonctions paires et impaires, l’étude de la continuité, les séries, les espaces vectoriels de fonctions, ou encore la diagonalisation d’endomorphismes. On y croise aussi des questions autour de la limite, de la périodicité et de l’intégrabilité sur ℝ, autant de points clés pour réussir l’épreuve du CCINP en filière PSI.

Qu’est-ce qu’un endomorphisme et pourquoi est-il central dans ce sujet ?

Un endomorphisme, c’est une application linéaire d’un espace vectoriel vers lui-même. Dans ce sujet, tu travailles notamment avec l’endomorphisme q, dont l’étude permet d’aborder des questions de surjectivité, de noyau (Ker q), d’espaces propres et de valeurs propres. Sa maîtrise est indispensable pour comprendre comment les outils algébriques et analytiques s’articulent dans le programme de PSI.

Comment aborder l’étude de la continuité et de la différentiabilité d’une fonction définie par une somme ou par une intégrale paramétrée ?

Pour prouver la continuité ou la différentiabilité d’une telle fonction, il faut regarder la convergence uniforme des séries ou l’existence d’une dérivée sous le signe intégrale. Ce sont des points classiques en analyse de prépa, souvent exploités dans les sujets du CCINP. Sois méthodique : vérifie bien les hypothèses de régularité et mets en avant les théorèmes adaptés (comme le théorème de convergence dominée, ou d’intégration terme à terme). Pense à débloquer les corrigés pour voir des rédactions types et t’entraîner sur ces questions avec l’accompagnement Prépa Booster !

Pourquoi les fonctions paires et impaires, ou périodiques, sont-elles si souvent utilisées en mathématiques de prépa ?

Les fonctions paires, impaires et périodiques servent à exploiter des symétries dans les calculs (par exemple dans l’intégration sur des intervalles symétriques), à simplifier des développements en séries de Fourier, ou à exhiber des propriétés remarquables comme l’orthogonalité. Ce sont d’excellents terrains d’entraînement pour faire ressortir l’harmonie entre algèbre et analyse, et ces propriétés tombent très fréquemment dans les épreuves de concours.

Quels sont les pièges classiques à éviter quand tu traites l’intégrabilité ou l’étude des limites à l’infini ?

Souvent, on néglige de bien étudier la croissance ou la décroissance à l’infini des fonctions ou des séries, ce qui peut entraîner des erreurs sur la convergence. Fais attention aussi aux hypothèses sur la régularité : une fonction peut être continue mais non intégrable, ou inversement. Pour progresser et prendre de l’avance sur ces questions, tu peux débloquer les corrigés proposés par Prépa Booster, qui t’offrent l’accès à des méthodes et des astuces incontournables pour éviter ces pièges.