Questions du sujet
1. I.1/ Montrer que $f$ appartient à $E_1$. 2. I.2/ Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}_+^*$, la fonction $H_x : t \mapsto \frac{1}{(1+t^2)(1+x^2)}$ est intégrable sur $\mathbb{R}_+$, et qu’en particulier $f$ appartient à $E_2$. 3. I.3/ Calcul de $N_2(f)$.\\ Pour $x \in \mathbb{R}^*_+$, on note $\varphi(x) = \int_{\mathbb{R}_+} H_x(t) dt$. 4. I.3.1/ Montrer que la fonction $\varphi$ est continue sur $\mathbb{R}_+^*$. 5. I.3.2/ Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$, $x \neq 1$ ; décomposer en éléments simples la fraction rationnelle de la variable $T$ : $\frac{1}{(1+T^2)(1+x^2)}$.} 6. I.3.3/ En déduire l’expression explicite de $\varphi(x)$ pour $x\in\mathbb{R}_+^*$, $x \neq 1$. 7. I.3.4/ Quelle est la valeur de $N_2(f)$ ? 8. I.4/ Étudier le signe de $u – \arctan u$, pour $u \in \mathbb{R}_+$. 9. I.5/ Montrer que, pour tout $x\in \mathbb{R}_+^*$, la fonction $G_x : t \mapsto \frac{\arctan(xt)}{1+t^2}$ est intégrable sur $\mathbb{R}_+^*$. 10. I.6/ Calcul de $N_1(f)$.\\ Pour $x \in \mathbb{R}_+$, on pose $\theta(x) = \int_{\mathbb{R}_+^*} G_x(t) dt$.} 11. I.6.1/ Montrer que la fonction $\theta$ est continue sur $\mathbb{R}_+$. 12. I.6.2/ Montrer que la fonction $\theta$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$. 13. I.6.3/ Expliciter $\theta'(x)$ pour $x \in \mathbb{R}_+$. 14. I.6.4/ Expliciter $\theta(x)$ pour $x \in \mathbb{R}_+$. 15. I.6.5/ Établir une relation entre $N_1^2(f)$ et $\theta(1)$.} 16. I.6.6/ En déduire la valeur de $N_1(f)$ et celle de $\frac{N_1(f)}{N_2(f)}$. 17. II.1/ Calculer $f'(t)$ pour $t \in \mathbb{R}_+$. En déduire que $f$ appartient à $E_2$. Quelle est la valeur de $N_2(f)$ ? 18. II.2/ Déterminer un équivalent (simple !) de $f(t)$ lorsque $t \to 0^+$ (respectivement lorsque $t \to +\infty$). 19. II.3/ Montrer que $f$ appartient à $E_1$. 20. II.4.1/ Montrer que la fonction $\frac{\ln t}{t^2-1}$ est intégrable sur l’intervalle $]0,1[$.\\ On note désormais $J = \int_{]0,1[} \frac{\ln t}{t^2-1} dt$.} 21. II.4.2/ Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, la fonction $\frac{\ln t}{t^2-k^2}$ est intégrable sur l’intervalle $]0,1[$ ; expliciter la valeur de~: $J_k = \int_{]0,1[} \frac{\ln t}{t^2-k^2} dt$. 22. II.4.3/ Justifier avec soin l’égalité~: $J = \sum_{k=0}^{+\infty} J_k = \sum_{k=0}^{+\infty} \int_{]0,1[} \frac{\ln t}{t^2-k^2} dt$. 23. II.4.4/ Déduire de ce qui précède la valeur de l’intégrale $J$, sachant que la série $\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}$ converge et que $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. 24. II.5.1/ Montrer que $I = N_1^2(f) = \int_{\mathbb{R}_+^*} \frac{f(t)^2}{t^2} dt$. 25. II.5.2/ Justifier le changement de variable $u = f(t) = t + \ln(1+t)$ dans l’intégrale obtenue dans la question II.5.1 ; que devient $I$ quand on effectue ce changement ? Même question pour le changement de variable $u = e^{-v}$.} 26. II.5.3/ En déduire la valeur de $N_1(f)$, puis celle de $\frac{N_1(f)}{N_2(f)}$. 27. III.1.1/ Quelle est la limite de $h(t)$ (respectivement de $g(t)$) lorsque $t \to 0^+$ ? 28. III.1.2/ Exprimer $f”(t)t – f'(t)$ en fonction de $h(t)$ lorsque $t \in \mathbb{R}_+^*$. 29. III.1.3/ Quelle est la limite de $tg'(t)$ (respectivement de $g'(t)g(t)$) lorsque $t \to 0^+$ ? (on exprimera les résultats en fonction de $\alpha = f'(0)$). 30. III.1.4/ Établir, pour $x > 0$, la relation :} 31. $\int_{0}^{x} f”(t) dt = g(x) + 2 \int_{0}^{x} t g'(t) dt + \int_{0}^{x} h(t) dt$.\\ (après avoir justifié l’intégrabilité sur $[0,x]$ de chacune des fonctions qui interviennent). 32. III.2.1/ Déduire de la relation précédente l’inclusion~: $E_2 \subset E_1$. 33. III.2.2/ Les ensembles $E_1$ et $E_2$ sont-ils égaux ? (On pourra considérer la fonction $t \mapsto \sin t$). 34. III.3.1/ Montrer que $E_2$ est un sous-espace vectoriel du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E_0$.\\ On admettra sans justification que $N_1$ et $N_2$ sont des normes sur l’espace vectoriel $E_2$. 35. III.3.2/ Justifier l’inégalité~: $N_1(f) \leq N_2(f)$, pour $f \in E_2$.} 36. III.3.3/ Pour $n\in \mathbb{N}^*$, on définit sur $\mathbb{R}_+$ la fonction $f_n$ par $f_n(t) = e^{-t}\sin(nt)$. Vérifier que $f_n \in E_2$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ et calculer $N_2(f_n)$. 37. III.3.4/ Les normes $N_1$ et $N_2$ sont-elles équivalentes sur $E_2$ ? 38. III.4/ Soit $f$ appartenant à $E_2$ ; en utilisant la relation précédente, montrer que $g(t)$ admet une limite lorsque $t \to +\infty$ ; quelle est cette limite ?}FAQ
Les espaces fonctionnels E₁ et E₂ sont des ensembles de fonctions définies sur ℝ₊ ou ℝ₊*, munis de conditions d’intégrabilité spécifiques qui jouent un rôle central dans l’étude des intégrales et des normes (N₁, N₂). Savoir caractériser l’appartenance d’une fonction à ces espaces est fondamental pour la résolution du sujet, et représente une compétence transverse du programme de prépa PSI.
La décomposition en éléments simples est une méthode essentielle pour intégrer des fractions rationnelles complexes. Dans le sujet CCINP PSI 2004, cela permet d’obtenir des expressions explicites d’intégrales et d’en tirer des conséquences analytiques pour des fonctions associées, ce qui facilite l’évaluation concrète des propriétés des fonctions étudiées, comme la continuité ou l’intégrabilité.
Tu vas rencontrer plusieurs techniques fondamentales : intégration par parties, changement de variable ingénieux (comme u = f(t) ou u = e^{-v}), justification de l’intégrabilité sur des intervalles ouverts ou infinis avec présence de logarithmes ou d’arctangentes, et recours à la convergence des séries pour calculer une somme d’intégrales. Explorer ces méthodes t’aidera à mieux comprendre la structure globale des exercices proposés lors des concours.
Les normes N₁ et N₂ mesurent, via des intégrales bien choisies, la “taille” d’une fonction dans un espace de fonctions, ici reliées aux espaces E₁ et E₂. Elles sont un prétexte pour aborder des outils d’analyse fonctionnelle, des inégalités (comme N₁(f) ≤ N₂(f)), la continuité et la dualité entre les espaces, et permettent de familiariser avec la finesse des raisonnements demandés en concours comme le CCINP.
Prouver la continuité, ou la régularité (classe C¹) de fonctions construites par intégrales à paramètre est une vraie question de fond pour maîtriser l’analyse en prépa scientifique. Cela permet d’utiliser différentes propriétés fondamentales (théorèmes d’analyse : dérivation sous le signe intégral, théorème de continuité, etc.), compétences indispensables pour assurer le jour du concours.
Savoir déterminer rapidement un équivalent ou une limite, c’est essentiel pour majorer, minorer, ou juger de l’intégrabilité d’une fonction, surtout quand il s’agit d’intégrales sur des intervalles infinis ou de fonctions à comportement singulier autour de 0. Ces outils te servent à caractériser la convergence ou la divergence des expressions rencontrées dans le sujet.
Le sujet te fait manipuler les notions de sous-espace vectoriel, de normes et d’équivalence de normes, qui sont au cœur de l’analyse fonctionnelle. Cela permet d’aborder la structure des ensembles de fonctions testées au concours, et te donne des outils pour généraliser la résolution d’équations fonctionnelles ou d’intégrales complexes.
Associer série et intégrale, par exemple via une sommation d’intégrales utilisant la décomposition d’une fonction complexe, est une technique fréquente pour relier l’analyse réelle à l’analyse série-numérique. Dans ce sujet, ce passage est utilisé pour déterminer la valeur d’intégrales un peu délicates, en exploitant la convergence de séries connues comme la série de Bâle. Pour t’entraîner à ce type de liens, débloque les corrigés et accède à des exercices guidés sur ton dashboard Prépa Booster !
Comparer deux normes, c’est souvent pour analyser la topologie de l’espace considéré, ou déterminer la robustesse des outils analytiques développés. Savoir si les normes sont équivalentes permet de garantir que toutes les suites convergentes ou bornées pour une norme, le sont aussi pour l’autre, ce qui a des conséquences profondes sur la résolution des problèmes en analyse, que tu rencontreras à la fois en maths pures et en physique théorique.
Aborde toujours un sujet en commençant par bien lire l’intitulé, cerner les espaces fonctionnels ou les objets manipulés, puis attaque les exercices en utilisant d’abord tout ce que tu peux démontrer rapidement (intégrabilité, continuité, équivalents…). Les questions de théorie (espaces, normes, propriété de convergence) ne sont pas bonus : elles sont souvent le socle pour toute la résolution. Et pour t’entraîner sur des corrections détaillées, des annales corrigées et des exercices interactifs, pense à débloquer les corrigés pour profiter de toutes les ressources Prépa Booster.