Questions du sujet
1. Justifier qu’il existe une matrice inversible $P \in M_2(\mathbb{R})$, qu’il n’est pas nécessaire de déterminer explicitement, telle que $A = PDP^{-1}$ avec : $$ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R}). $$ 2. Montrer qu’une matrice $B \in M_2(\mathbb{R})$ est une racine cubique de $A$ si et seulement si $\Delta = P^{-1}BP$ est une racine cubique de $D$. 3. Soit $\Delta \in M_2(\mathbb{R})$ une racine cubique de $D$. Montrer que les matrices $D$ et $\Delta$ commutent, puis en déduire que la matrice $\Delta$ est diagonale. 4. Déterminer l’ensemble des racines cubiques de $D$, puis l’ensemble des racines cubiques de $A$. On pourra se contenter de décrire ce dernier ensemble en fonction de $P$ et de $\Delta$. 5. Quelle est la nature de l’endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ dont la matrice dans la base $\mathcal{B}$ est $M$ ?} 6. En déduire une racine cubique de la matrice $M$. 7. Soit $N \in M_2(\mathbb{R})$ une matrice orthogonale de déterminant $-1$. Montrer que $N$ admet une racine cubique. 8. Soient $\lambda \in \mathbb{R}$ et $p \in \mathbb{N}^*$. Déterminer une racine cubique de la matrice : $$ H_p(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \ddots & & \vdots\\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix} \in M_p(\mathbb{R}). $$ 9. Déduire de la question précédente que la matrice $A$ admet une racine cubique. On pourra remarquer que $A$ est semblable à une matrice diagonale par blocs où les blocs sur la diagonale sont de la forme $H_p(\lambda)$ avec $(p, \lambda) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{R}$. 10. Montrer que les nombres $\lambda_1,…,\lambda_d$ sont non nuls.} 11. Soit $\lambda \in \mathbb{C}^*$ que l’on écrit sous la forme $\lambda = \rho e^{i\theta}$ avec $\rho > 0$ et $\theta \in \mathbb{R}$. Montrer que l’équation $z^3 = \lambda$ d’inconnue $z \in \mathbb{C}$ admet exactement trois solutions. 12. En déduire que le polynôme $Q$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$. 13. Déduire des questions précédentes que si $B$ est une racine cubique de $A$, alors la matrice $B$ est diagonalisable dans $M_n(\mathbb{C})$. 14. Montrer que la série de fonctions $\sum_{n\geq1} u_n$ converge simplement sur $]0, +\infty[$. 15. Justifier que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est une suite de fonctions de classe $C^1$ sur $]0, +\infty[$, puis montrer qu’il existe une suite $(\varepsilon_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ telle que la série $\sum_{n\geq1}\varepsilon_n$ converge absolument et que : $$ \forall (n, x) \in \mathbb{N}^* \times ]0, +\infty[, \; u_n'(x) = \frac{x}{n(n + x)} + \varepsilon_n. $$} 16. En déduire que la série de fonctions $\sum_{n\geq1} u_n’$ converge normalement sur tout segment $[a, b]$ inclus dans $]0, +\infty[$. 17. Montrer que la fonction $\varphi$ vérifie les conditions de $(\mathcal{C})$. 18. Montrer que pour tout $x > 0$, on a $h(x + 1) = h(x)$ et $h'(x + 1) = h'(x)$. 19. Soient $x \in ]0, 1]$ et $p \in \mathbb{N}^*$. Montrer successivement que : \\ $\varphi'(p) – g'(1 + p) \leq h'(x + p) \leq \varphi'(1 + p) – g'(p)$, $\varphi'(p) – g'(1 + p) = h'(p) – \frac{1}{p}$. \\ En déduire que : \\ $\left| h'(x + p) – h'(p) \right| \leq \frac{1}{p}$. 20. Déduire des deux questions précédentes que la fonction $h’$ est constante sur $]0, +\infty[$.} 21. Conclure que $\varphi = g$. 22. Montrer que pour tout $N \in \mathbb{N}^*$, on a la relation : $$ \exp\left( \sum_{n=1}^N u_n\left( \frac{1}{2}\right) \right) = \sqrt{\frac{N+1}{2N+1}} \frac{2^{2N} N!^2}{(2N)! }. $$ 23. Déduire de la question précédente et de la formule de Stirling que $\psi(1) = 0$. 24. Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$, on a : $$ (x – 1) \ln(2) + \varphi\left(\frac{x}{2}\right) + \varphi\left(\frac{x + 1}{2}\right) = \varphi(x) + \frac{1}{2} \ln(\pi). $$ 25. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire $T_n$.} 26. Justifier que $Z$ suit la loi uniforme sur $\llbracket 1, n\rrbracket^k$. 27. Dans cette question, on considère l’évènement : $$ A = \{(a_1,…, a_k) \in \llbracket 1, n\rrbracket^k \; | \; \text{les éléments } a_1,…, a_k \text{ sont deux à deux distincts} \}. $$ Exprimer le cardinal de $A$ en fonction de $n$ et de $k$, puis en déduire que : $$ P(T_n > k) = P(Z \in A) = \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{n^k}. $$ On remarque que le résultat de la question précédente est encore valable pour $k = 0$. 28. Justifier que la variable aléatoire $T_n$ est d’espérance finie et que l’on a : $$ \mathbb{E}(T_n) = \sum_{\ell=0}^n \frac{n!}{(n-\ell)!} \frac{1}{n^\ell}. $$ 29. Soit $k \in \mathbb{N}$. Montrer que l’intégrale $I_k$ est convergente. 30. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}$, on a $I_k = k!$.} 31. En déduire que l’intégrale $$ \int_0^{+\infty} \left(1 + \frac{t}{n}\right)^n e^{-t} dt $$ converge, puis que : $$ \mathbb{E}(T_n) = \int_0^{+\infty} \left(1 + \frac{t}{n}\right)^n e^{-t} dt. $$ 32. En utilisant un changement de variable, établir que : $$ J_n = e^{-n} \int_0^{+\infty} \left(2 + \frac{v}{n}\right)^n e^{-v} dv. $$ 33. Montrer que la suite $(K_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ définie par : $$ \forall n \in \mathbb{N}^*, \quad K_n = \int_0^{+\infty} \left( 1 + \frac{v}{2n} \right)^n e^{-v} dv $$ est bornée. On pourra utiliser librement l’inégalité $1 + x \leq e^x$ valable pour tout $x \in \mathbb{R}$. 34. En déduire que la suite $(J_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge et préciser sa limite. 35. Montrer que : $$ I_n = \sqrt{n} \int_0^{\sqrt{n}} \left( 1 + \frac{u}{\sqrt{n}} \right)^n e^{-u\sqrt{n}} du = \sqrt{n} \int_0^{+\infty} f_n(u) du. $$ } 36. Montrer que pour tout $u \in ]0, \sqrt{n}[$, on a l’égalité : $$ \ln(f_n(u)) = \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} \frac{u^k}{n^{k/2-1}}. $$ 37. En déduire que pour tout $u \in ]0, \sqrt{n}[$, on a les inégalités : $$ \left| \ln(f_n(u)) + \frac{u^2}{2} \right| \leq \frac{u^3}{3\sqrt{n}}, \quad \ln(f_n(u)) \leq -\frac{u^2}{6}. $$ 38. Justifier que la fonction $u \mapsto e^{-u^2/2}$ est intégrable sur $[0, +\infty[$, puis établir que : $$ \lim_{n\to+\infty} \int_0^{+\infty} f_n(u) du = \int_0^{+\infty} e^{-u^2/2} du. $$ 39. En admettant que $$ \int_0^{+\infty} e^{-u^2/2} du = \sqrt{\frac{\pi}{2}}, $$ déterminer un équivalent de $\mathbb{E}(T_n)$ lorsque $n \to +\infty$.}FAQ
Le sujet aborde fortement la diagonalisation de matrices, la recherche de racines d’endomorphismes, et la notion de matrices semblables. Il est fondamental de connaître le lien entre formes diagonales et calculs de puissances ou racines de matrices, ainsi que la manipulation de la base de passage (changements de base, calculs liés à la matrice de passage P, etc.). Attention : la compréhension profonde de la commutativité, du spectre, et des propriétés de matrices diagonales est attendue par le jury à ce niveau. Pour maîtriser ces points et t’entraîner sur des exercices, pense à débloquer les corrigés complets sur Prépa Booster !
En CPGE scientifique, l’analyse des séries de fonctions est centrale car elle permet de tester à la fois la maîtrise de la théorie de la convergence (simple, normale, absolue…) et la capacité à manipuler des inégalités, des estimations ou à démontrer la régularité (continuité, dérivabilité) d’objets définis par séries. Ces points sont incontournables pour réussir tant en mathématiques pures qu’en applications à la physique ou à la probabilité.
Une racine cubique d’une matrice A est une matrice B telle que B³ = A. Ce concept, fréquent en CPGE, vise à faire travailler la capacité à manipuler les puissances et racines de matrices (en particulier en cas de matrices diagonalisables), à utiliser le spectre pour simplifier les calculs et à comprendre la relation fine entre algèbre linéaire et calcul matriciel. On va souvent t’amener à réfléchir sur les conditions d’existence et d’unicité des racines—aussi bien en dimension 2 qu’en dimension supérieure ou cas complexes.
C’est typique des sujets croisés du CCINP ! On retrouve le lien entre espérance d’une variable aléatoire (calculée comme somme ou intégrale) et intégrales réelles où des techniques analytiques (changements de variables, équivalents via la formule de Stirling…) viennent au secours de calculs de probabilités plus complexes. La compréhension du passage série/intégrale, et le lien entre analyse et probabilités (via moments, espérances, etc.), est fondamentale en CPGE.
Le changement de variable permet de ramener un problème d’intégrale ou de somme à une forme plus simple ou à un objet déjà connu (intégrale de Gauss, etc.). Quant à la formule de Stirling, elle est utilisée pour donner des équivalents asymptotiques des factorielles, ce qui intervient souvent dans le calcul des espérances, probabilités ou intégrales liées aux distributions discrètes ou continues. Maîtriser ces outils, c’est t’assurer de ne pas être piégé par les questions de fin de sujet exigentes sur l’analyse asymptotique.
Travaille à fond la transversalité : passe de l’algèbre à l’analyse sans hésitation, relie les matrices aux endomorphismes, entraîne-toi sur les raisonnements d’existence et de structure (diagonalisation, spectre…), et ne néglige pas l’entraînement sur la rédaction rigoureuse. Utilise les corrigés détaillés et exercices interactifs de Prépa Booster pour suivre ta progression et combler les points faibles identifiés !