Questions du sujet
1. Donner l’unité des grandeurs $\dot{W}$, $\dot{Q}$ et $D_m$ mentionnées sur la figure 1. 2. Le système considéré est supposé évoluer en régime stationnaire. Quelle est la relation entre les débits des courants de matière entrant $D_{m,A}$ et sortant $D_{m,B}$ ? Justifier. 3. Appliquer le premier principe de la thermodynamique au système ouvert stationnaire de la figure 1. Montrer qu’il peut se mettre sous la forme : \[ \left( \text{Débit d’énergie entrant} \right) = \left( \text{Débit d’énergie sortant} \right). \] On explicitera les termes débits d’énergie (homogènes à une puissance) en fonction des grandeurs introduites par la figure 1. 4. Le système étudié de la figure 1 est supposé évoluer en régime transitoire. On note $m(t)$, la fonction représentant l’évolution de sa masse $m$ en fonction du temps $t$. À partir d’un bilan de matière, déduire la relation existant entre $\dfrac{dm(t)}{dt}$, $D_{m,A}$ et $D_{m,B}$. Proposer une interprétation qualitative du bilan. 5. Proposer une interprétation qualitative du bilan d’énergie traduit par l’équation (2).} 6. Le modèle gaz parfait \begin{itemize} \item[(a)] Dans quelle situation limite un gaz réel s’identifie-t-il exactement à un gaz parfait ? \item[(b)] Donner la valeur du rapport $C_{P,m}/R$ pour un gaz parfait monoatomique. Faire de même pour un gaz parfait diatomique. \item[(c)] Pour le CO$_2$ gaz parfait, le rapport $C_{P,m}/R$ dépend de la température selon une loi notée par la suite $f(T)$. L’étude de la loi $f(T)$ sera l’objet de la partie suivante. Donner un argument physique expliquant pourquoi, pour le CO$_2$, $C_{P,m}/R$ est une fonction de la température contrairement au cas des gaz parfaits mono- et di-atomiques. \item[(d)] Donner la relation unissant les variations d’énergie interne molaire $dU_m$ et de température $dT$ à la fonction $f(T)$. En déduire l’expression de $du/dT$ où $u$ désigne l’énergie interne massique d’un gaz parfait pur. \end{itemize} 7. On suppose que les propriétés intensives du gaz dans le réservoir (entre autres, sa température $T$, sa pression $P$ et son enthalpie massique $h$) sont uniformes. On considèrera que les propriétés intensives du gaz sortant sont les mêmes que celles du gaz dans le réservoir. On s’intéresse au système \{volume contenant le gaz à $T$ et $P$ dans le réservoir, paroi non comprise\} représenté par des pointillés sur la figure 2. Montrer que l’application du bilan de matière et du premier principe au système en pointillés décrit par la figure 2 amène : \[ \begin{cases} \dfrac{dm(t)}{dt} = -D_{m,B} \\ \dfrac{dU(t)}{dt} = -D_{m,B} \cdot h(t) \end{cases} \] On supposera négligeable l’énergie cinétique massique de la matière quittant le système. 8. En introduisant la relation entre l’énergie interne massique $u$ (en J$\cdot$kg$^{-1}$) et l’énergie interne $U$ (en J) du système étudié, montrer que l’équation (3) amène : \[ \dfrac{du}{dt} = \dfrac{R \cdot T}{M \cdot m} \dfrac{dm}{dt} \] où $R$ et $M$ désignent respectivement la constante des gaz parfaits et la masse molaire du gaz. En déduire que : \[ [f(T)-1]\dfrac{dT}{dt} = \dfrac{T}{m} \dfrac{dm}{dt} \] 9. Montrer que le débit massique $D_{m,B}$ de fluide à travers la section de l’orifice est donné par : \[ D_{m,B} = \dfrac{\Omega \cdot \omega_B \cdot M \cdot P_{ext}}{R \cdot T_B} \] où la surface $\Omega$ désigne la section de passage du fluide à travers l’orifice. 10. Expression de $\omega_B$ en fonction de $T_B$\\ En appliquant l’expression du premier principe en système ouvert stationnaire, donnée par l’équation (1), au système \{orifice dans la paroi du réservoir\} délimité par des pointillés sur la figure 3, montrer que la vitesse de sortie du CO$_2$ a pour expression : \[ \omega_B = \sqrt{ 2 \dfrac{R}{M} \int_{T_B}^{T} f(T) dT } \] } 11. Méthode de calcul de $T_B$\\ \begin{itemize} \item[(a)] En négligeant les frottements au sein du système considéré, on peut supposer l’écoulement réversible. Montrer, par application du second principe, que cette hypothèse amène à supposer l’écoulement isentropique massique (ou molaire) (i.e., à entropie massique – ou molaire – constante). \item[(b)] Montrer que la variation d’entropie massique d’un gaz parfait pur s’écrit : \[ ds = \dfrac{R}{M} \left( \dfrac{C_{P,m}}{R} \dfrac{dT}{T} – \dfrac{dP}{P} \right) \] En déduire que $T_B$ est solution de l’équation : \[ \int_{T_B}^{T} \dfrac{f(T)}{T} dT + \ln \left( \dfrac{P}{P_{ext}} \right) = 0 \qquad \text{avec} \qquad P = \dfrac{m \cdot R \cdot T}{M \cdot V} \] \end{itemize} 12. Intégration numérique\\ \begin{itemize} \item[(a)] Donner le code de la fonction integ1(T1,T2) réalisant le calcul analytique de l’intégrale \[ \int_{T_1}^{T_2} f(T) dT \] ($T_1$ et $T_2$ sont des arguments d’entrée de la fonction \texttt{integ1} qui désignent les bornes de l’intégrale). \item[(b)] Donner le code de la fonction integ2(T1,T2) réalisant le calcul numérique de l’intégrale \[ \int_{T_1}^{T_2} \frac{f(T)}{T} dT \] ($T_1$ et $T_2$ sont des arguments d’entrée de la fonction \texttt{integ2} qui désignent les bornes de l’intégrale).\\ La méthode des rectangles sera adoptée pour estimer l’intégrale; l’intervalle des températures sera divisé en 100 sous-intervalles).\\ Ces deux fonctions pourront être appelées autant de fois que nécessaire par la suite. \end{itemize} 13. La fonction \texttt{chercheTB(T,m)} fournie ci-dessous renvoie, pour des valeurs connues des variables $T$ et $m$, la valeur correspondante de $T_B$ obtenue par résolution de l’équation (11) selon la méthode de Newton : \begin{verbatim} import numpy as np A1 = 8.303; A2 = -2810.; A3 = 485.6 T0 = 473.15; m0 = 11.0 Pext = 1.01e5; Mw = 44e-3; Volume = 1.0; Text = 293. R = 8.3144 def chercheTB(T,m): TB = 300. [instruction1] while residu > 1e-10: eq = [instruction2] deq = [instruction3] TBold = TB TB = TB – eq/deq residu = [instruction4] return TB \end{verbatim} Pour compléter la portion de code ci-dessus, indiquer par quelles instructions il convient de remplacer les séquences [instruction1] à [instruction4]. Justifier.\\ La fonction \texttt{chercheTB(T,m)} pourra être appelée autant de fois que nécessaire par la suite. 14. Donner l’algorithme général du calcul numérique des fonctions temporelles $T$, $m$ et $P$ entre $t=0$ et $t=10$ s, par résolution du système différentiel (10) reposant sur l’utilisation du schéma d’Euler généralisé (on choisira comme pas de temps : $\Delta t=0,10$ s).\\ Cet algorithme sera fourni sous la forme d’un logigramme. On veillera à mentionner les procédures d’initialisation des processus itératifs ainsi que leurs critères d’arrêt. Quand cela sera nécessaire, on fera appel à la fonction \texttt{chercheTB(T,m)} sans détailler sa structure. 15. Écrire le code mettant en œuvre l’algorithme proposé à la question précédente. On pourra faire appel à toutes les fonctions programmées précédemment.} 16. Intuitivement, quand la fuite s’arrêtera-t-elle en pratique ? 17. Les valeurs des capacités thermiques reportées dans le tableau 1 ont été mesurées par calorimétrie. Il existe de nombreuses techniques de mesures calorimétriques. Décrire succinctement le principe d’une technique expérimentale de mesure de la capacité thermique d’un liquide ou d’un gaz par calorimétrie que vous connaissez; en particulier, fournir un schéma pour illustrer le principe de la mesure et préciser comment la valeur de la capacité thermique est déduite de la mesure. 18. Montrer par une analyse dimensionnelle que le rapport $C_{P,m}/R$ est sans dimension. 19. Programme de lecture des données\\ Indiquer la syntaxe à utiliser pour charger le fichier \texttt{cP.txt} qui contient les données expérimentales et stocker celles-ci dans deux tableaux de réels \texttt{temp} (pour les températures) et \texttt{CpR\_exp} (pour les valeurs expérimentales du rapport $C_{P,m}/R$).\\ De plus, déterminer automatiquement le nombre de points expérimentaux $N_{exp}$ présents dans le fichier chargé. 20. Dans l’expression de la fonction objectif, pour quelle raison les écarts ont-ils été élevés au carré ?} 21. Écrire la syntaxe de la fonction \texttt{delta(vecA,temp,CpR\_exp)} qui prend comme argument d’entrée un jeu quelconque de coefficients $a$ (\texttt{vecA} désigne le tableau contenant les éléments du vecteur $a$), les tableaux \texttt{temp} et \texttt{CpR\_exp} et renvoie en sortie le vecteur $\delta$ contenant les éléments $\delta_i$ définis par l’équation (17). 22. Écrire la syntaxe de la fonction \texttt{fobj(vecA,temp,CpR\_exp)} permettant l’estimation de la fonction-objectif pour un jeu quelconque de coefficients $a$ (\texttt{vecA} désigne le tableau contenant les éléments du vecteur $a$). On pourra utiliser la fonction \texttt{delta} définie à la question précédente. 23. Donner les expressions analytiques des dérivées $\dfrac{\partial f_{\text{modèle }1}}{\partial A_1}$, $\dfrac{\partial f_{\text{modèle }1}}{\partial A_2}$ et $\dfrac{\partial f_{\text{modèle }1}}{\partial A_3}$. 24. Montrer que les expressions analytiques des dérivées $\dfrac{\partial f_{\text{obj}}}{\partial A_j}$ peuvent se mettre sous la forme : \[ \dfrac{\partial f_{\text{obj}}}{\partial A_j} = 2 \sum_{i=1}^{N_{exp}} \delta_i \times \dfrac{\partial f_{\text{modèle }1}}{\partial A_j} \] pour $1\leq j \leq 3$, et fournir explicitement leurs expressions. 25. Écrire la syntaxe d’une fonction \texttt{deriv\_fobj(vecA,temp,CpR\_exp)} permettant l’estimation de $f’$ (le gradient). Cette fonction pourra faire appel aux fonctions programmées précédemment.} 26. Écrire la syntaxe d’une fonction \texttt{hessienne\_fobj(vecA,temp,CpR\_exp)} permettant l’estimation de la matrice hessienne de la fonction-objectif en un point $a$ quelconque. Cette fonction pourra faire appel aux fonctions programmées précédemment. On prendra $\epsilon = 10^{-5}$. 27. On choisit comme point de départ de la procédure itérative : $a^{(0)} = (5 ; -1\,000 ; 500)$. Écrire un code permettant de mettre en œuvre le calcul du $a$ optimal (noté $a^*$) à partir d’une méthode de type Newton. On proposera en particulier un critère d’arrêt pertinent des itérations (ce choix sera justifié). 28. Pour s’assurer que l’extremum obtenu est un minimum, il convient de vérifier que la matrice $H$ évaluée en $a^*$ est semi-définie positive (i.e., que ses valeurs propres sont positives ou nulles). Pour ce faire, écrire une fonction prenant comme argument d’entrée $H(a^*)$ et renvoyant en sortie 0 si la plus petite des valeurs propres de $H(a^*)$ est positive ou nulle et 1 si ce n’est pas le cas. Le calcul des valeurs propres sera effectué à l’aide d’une fonction-intrinsèque adaptée (voir annexe). 29. Déduire le degré $n$ du polynôme du nombre de données expérimentales. Justifier brièvement. 30. Écrire le système d’équations que doivent vérifier les coefficients $B_i$ du polynôme de manière à reproduire exactement les données expérimentales.} 31. Montrer que ce système est linéaire en le mettant sous la forme : \[ y_{exp} = M b \] où $y_{exp}$ est le vecteur contenant les mesures expérimentales de $\left(\frac{C_{P,m}}{R}\right)_{exp}$, $b$ le vecteur contenant les coefficients $B_i$ du polynôme et $M$ une matrice carrée dont les coefficients ne dépendent que des valeurs expérimentales de $T_r = T/T_c$. Donner explicitement l’expression de la matrice $M$. 32. Mathématiquement, quelle opération algébrique faut-il effectuer pour accéder aux valeurs des coefficients $B_i$ ? 33. Donner la syntaxe du code permettant de générer cette figure (la courbe du modèle 1 sera représentée par un trait pointillé tandis que celle du modèle 2 sera représentée par un trait continu). On rappelle que les coordonnées des points expérimentaux sont contenues dans les tableaux \texttt{temp} et \texttt{CpR\_exp}; les 3 coefficients du modèle 1 sont stockés dans \texttt{vecA}; les 6 coefficients du modèle 2 sont supposés être stockés dans un vecteur \texttt{vecB}. 34. Commentez le graphe de la figure 4. Finalement, parmi les deux modèles proposés, lequel retiendriez-vous et pourquoi ?\\ Vous pourrez prendre en considération l’influence des incertitudes expérimentales sur les valeurs des paramètres des deux modèles considérés précédemment.}FAQ
Dans ce sujet, tu vas particulièrement mobiliser le premier principe de la thermodynamique appliqué à des systèmes ouverts, l’interprétation et le calcul des bilans de matière et d’énergie, ainsi que la notion de régime stationnaire et transitoire. On y traite aussi le travail et la chaleur échangé par le système, ainsi que la modélisation de gaz réels et parfaits, ce qui te permet de réviser des points majeurs du programme de physique-chimie des CPGE scientifiques.
En prépa PC, maîtriser l’étude des écoulements de gaz parfaits est fondamental, car cela permet d’aborder des situations concrètes comme les décompressions, les moteurs thermiques, le fonctionnement des turbines, ou l’étude des orifices. Ces questions croisent la thermodynamique, la mécanique des fluides et l’analyse dimensionnelle : autant d’outils incontournables dans la résolution de problèmes ouverts au concours. Si tu veux progresser ou accéder à des corrigés détaillés, pense à débloquer les corrigés Prépa Booster afin d’avoir toutes les explications pas à pas.
Le régime stationnaire correspond à un état où les grandeurs d’intérêt (masse, énergie, température…) ne varient plus au cours du temps et où les bilans, comme celui de matière ou d’énergie, conduisent à des équations simplifiées. En régime transitoire, les quantités évoluent avec le temps, il faut alors formuler des équations différentielles pour décrire l’évolution du système. Cette distinction est omniprésente dans les sujets CCINP et te sera utile dans la résolution de nombreux exercices standards ou ouverts.
En général, la capacité thermique molaire $C_{P,m}$ (J·mol⁻¹·K⁻¹) décrit l’énergie à fournir pour élever d’un kelvin un mole d’un gaz. La capacité thermique massique $C_P$ (J·kg⁻¹·K⁻¹) s’obtient simplement en divisant $C_{P,m}$ par la masse molaire $M$ : $C_P = C_{P,m}/M$. Cette conversion est essentielle pendant la résolution des problèmes d’énergie interne ou d’enthalpie, et elle revient dès que tu passes de l’échelle moléculaire à l’échelle macroscopique.
Dans le contexte des concours comme le CCINP, un gaz parfait monoatomique est un gaz dont les atomes sont isolés (ex : argon, hélium), alors qu’un gaz parfait diatomique possède des molécules formées de deux atomes (ex : O₂, N₂). Cela influe directement sur les degrés de liberté et donc sur la valeur de $C_{P,m}/R$. Cette distinction sert dans les calculs d’énergie, notamment pour l’énergie interne, l’entropie et la capacité thermique — des points systématiques au programme de PC en prépa !
L’analyse dimensionnelle est un réflexe de premier ordre en CPGE ! Elle permet non seulement de vérifier la cohérence de tes équations, mais aussi d’anticiper la forme de certaines relations clés, comme le rapport $C_{P,m}/R$ qui est sans dimension. C’est également indispensable pour traduire correctement les grandeurs physiques lors de l’implémentation de calculs ou dans des programmes informatiques liés à la résolution des sujets d’épreuve.
La programmation, notamment en Python, est aujourd’hui au cœur des épreuves de sciences industrielles et de physique en CPGE. L’objectif est de te rendre autonome pour modéliser, automatiser ou tester de nouveaux algorithmes dans la résolution de problèmes physiques — comme l’intégration numérique, la gestion de données expérimentales ou l’application de méthodes numériques (Euler, Newton, etc). Maîtriser cela t’ouvre la porte à une résolution plus rapide, efficace et sûre le jour du concours.
On mesure expérimentalement la capacité thermique d’un liquide ou d’un gaz majoritairement par calorimétrie : on impose une quantité d’énergie connue à la substance et on mesure sa variation de température. Selon que ton système est gazeux ou liquide, le dispositif varie légèrement, mais le principe reste identique : la pente de la courbe énergie/température donne accès à la capacité thermique. Comprendre ces méthodes t’aide à interpréter les tables de données et à vérifier les hypothèses de modélisation dans les sujets du concours.
Un schéma ou un logigramme te permet de clarifier la chronologie de la résolution, de visualiser la succession des états et d’éviter les erreurs de logique, surtout dans la programmation numérique (par exemple pour l’implémentation d’un schéma d’Euler généralisé). Cela montre aussi ta capacité à organiser un raisonnement rigoureux : la clarté graphique et la pertinence sont des attendus majeurs des correcteurs aux concours d’écoles d’ingénieurs. Pour approfondir ces méthodes et progresser efficacement, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
La méthode de Newton est l’un des algorithmes de base pour résoudre numériquement des équations non linéaires ou optimiser des fonctions (trouver des minimums). Savoir la programmer (notamment en Python) et l’utiliser efficacement pour ajuster des modèles à des données expérimentales est souvent valorisé dans les sujets CCINP, car cela montre ta double compétence en mathématiques appliquées et en sciences physiques.