Questions du sujet
1. Déterminer la loi de $X_1$. 2. Déterminer la loi conditionnelle de $X_2$ sachant l’évènement $(X_1 = 1)$. En déduire la loi de $X_2$. 3. Soit $n \in \mathbb{N}$. Que représente la variable aléatoire $S_n$ ? Quel est l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $S_n$ ? 4. Pour tout $k \in \llbracket b, n + b \rrbracket$, calculer $\mathbb{P}(X_{n+1} = 1 \mid S_n = k)$. 5. À l’aide de la formule des probabilités totales, justifier que : \[\mathbb{P}(X_{n+1} = 1) = \frac{\mathbb{E}(S_n)}{b + r + n}.\]} 6. Montrer par récurrence que $X_n$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $\dfrac{b}{b + r}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. 7. Exprimer l’évènement $(S_n = 1)$ avec les évènements $(X_k = 0)$ pour $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$. 8. Montrer que $\mathbb{P}(S_n = 1) = \dfrac{1}{n + 1}$. 9. Soit $(k, \ell) \in \llbracket 1, n + 2 \rrbracket \times \llbracket 1, n + 1 \rrbracket$. Calculer la probabilité $\mathbb{P}(S_{n+1} = k \mid S_n = \ell)$ dans chacun des trois cas suivants :\\ (i) $\ell \notin \{k – 1, k\}$,\quad (ii) $\ell = k – 1$,\quad (iii) $\ell = k$. 10. Montrer que pour tout $k \in \llbracket 2, n + 1 \rrbracket$, on a la relation : \[\mathbb{P}(S_{n+1} = k) = \frac{k – 1}{n + 2} \mathbb{P}(S_n = k – 1) + \frac{n + 2 – k}{n + 2} \mathbb{P}(S_n = k).\]} 11. Montrer par récurrence que $S_n$ suit la loi uniforme sur $\llbracket 1, n + 1 \rrbracket$. 12. Montrer que la série de fonctions $\sum_{k \ge 0} \varphi_k$ converge simplement sur $]0, +\infty[$. 13. Montrer que pour tout $x \in ]0, +\infty[$, on a $\varphi(x + 1) + \varphi(x) = \frac{1}{x^2}$. 14. En utilisant le théorème spécial des séries alternées, montrer que : \[\forall x \in ]0, +\infty[,\, \forall n \in \mathbb{N},\qquad \left| \sum_{k=n+1}^{+\infty} \varphi_k(x) \right| \leq \frac{1}{(x + n + 1)^2}.\] 15. Montrer que la fonction $\varphi$ est une solution de $(P)$.} 16. Montrer que si $f : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ est une solution de $(P)$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a~: \[\forall x \in ]0, +\infty[,~ f(x) = (-1)^{n+1} f(x + n + 1) + \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{(x + k)^2}.\] 17. En déduire que la fonction $\varphi$ est l’unique solution de $(P)$. 18. Soit $\varepsilon > 0$. Montrer que la série de fonctions $\sum_{k \ge 0} \varphi_k$ converge uniformément sur $[\varepsilon, +\infty[$. 19. Montrer que la fonction $\varphi$ est continue sur $]0, +\infty[$. En utilisant le fait que $\varphi$ est une solution du problème $(P)$, en déduire un équivalent simple de $\varphi$ au voisinage de $0^+$. 20. Justifier que la fonction $\varphi$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et que l’on a : \[\forall x \in ]0, +\infty[,~ \varphi'(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{2(-1)^{k+1}}{(x + k)^3}.\]} 21. En déduire que la fonction $\varphi$ est décroissante sur $]0, +\infty[$. 22. En utilisant le résultat de la question précédente et la relation $(P)$, montrer que : \[\forall x \in ]1, +\infty[,~ \frac{1}{x^2} \leq 2\varphi(x) \leq \frac{1}{(x-1)^2}.\] En déduire un équivalent de $\varphi$ en $+\infty$. 23. Pour tout $k \in \mathbb{N}$, montrer que la fonction $t \mapsto \dfrac{t^{x + k – 1}}{\ln(t)}$ est intégrable sur $]0, 1]$ et que l’on a : \[\int_0^1 \frac{t^{x + k – 1}}{\ln(t)}\,dt = -\frac{1}{(x + k)^2}.\] 24. En déduire que la fonction $t \mapsto \frac{t^{x-1}}{\ln(t)} \frac{1}{1 + t}$ est intégrable sur $]0, 1]$ et que : \[\varphi(x) = – \int_0^1 \frac{t^{x-1}}{\ln(t)}\,\frac{dt}{1 + t}.\] 25. On admet que la suite $(f_k)_{k \in \mathbb{N}}$ est correctement définie par les relations ci-dessus. Dans la suite, on pourra utiliser sans la démontrer l’inégalité : \[\forall k \in \mathbb{N},\,\forall x \in \mathbb{R}_+,~ f_k(x) > 0.\]} 26. Soit $x \in \mathbb{R}_+$. En calculant $(f_k(x))^2 – x$, montrer que $f_k(x) \geq \sqrt{x}$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$. 27. Soit $x \in \mathbb{R}_+$. Montrer que la suite $(f_k(x))_{k \in \mathbb{N}^*}$ est décroissante. 28. Déduire des deux questions précédentes que la suite de fonctions $(f_k)_{k \in \mathbb{N}}$ converge simplement vers la fonction $f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \sqrt{x}$ pour tout $x \in \mathbb{R}_+$. 29. Soit $x \in \mathbb{R}_+$. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}$, on a : \[ f_{k+1}(x) – \sqrt{x} = \frac{f_k(x) – \sqrt{x}}{2} \left(1 – \frac{\sqrt{x}}{f_k(x)}\right). \] 30. Soit $x \in \mathbb{R}_+$. En déduire que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, on a : \[ |f_k(x) – \sqrt{x}| \leq \frac{1 + x}{2^k}. \]} 31. Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$. Montrer que si $A$ admet une racine carrée, alors $\det(A) \geq 0$. 32. Étudier la réciproque de la propriété établie dans la question précédente dans le cas où $n = 2$. On pourra considérer la matrice : \[ A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R}) \] et écrire $B = \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ avec $(a, b, c, d) \in \mathbb{R}^4$. 33. Justifier que la matrice $S$ est diagonalisable dans $M_n(\mathbb{R})$. 34. Vérifier que $R$ est une matrice symétrique et une racine carrée de $S$. 35. Vérifier que $I_n \in CP$. Montrer que si $M \in CP$, alors $M$ est une matrice inversible et on a :\\ \[ \frac{1}{2}\left(M + S M^{-1}\right) \in CP. \]} 36. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Exprimer $V_k$ en fonction de $D$ et $V_{k-1}$. En déduire par récurrence sur $k \in \mathbb{N}$ que : \[ V_k = \begin{pmatrix} f_k(\lambda_1) & (0) & \cdots & (0) \\ \vdots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & (0) \\ (0) & \cdots & (0) & f_k(\lambda_n) \end{pmatrix} \] où $f_k$ est la fonction définie dans la partie I de cet exercice. 37. On considère l’application $N : M_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ définie par :\\ $\forall B \in M_n(\mathbb{R}), N(B) = \sqrt{\operatorname{Tr}(B B^T)}$.\\ On admet que l’application $N$ est une norme sur $M_n(\mathbb{R})$.\\ Soit $k \in \mathbb{N}$. Montrer que $N(R – U_k) = N(\Delta – V_k)$. 38. En déduire à l’aide de la question Q29 que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, on a l’inégalité :\\ \[ N(R – U_k) \leq \frac{\operatorname{Tr}(S) + n}{2^k}. \] 39. Conclure que la suite $(U_k)_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers $R$.}FAQ
Dans ce sujet, tu rencontres des probabilités conditionnelles appliquées à des processus stochastiques, typiques des chaînes de Markov. Pour t’en sortir, il faut bien maîtriser l’utilisation de la loi des probabilités totales, le raisonnement par récurrence sur les lois de variables aléatoires, et la capacité à manipuler des lois de Bernoulli, voire des lois uniformes discrètes. En t’entraînant régulièrement sur ce genre d’enchaînements, tu gagneras en agilité pour résoudre ces exercices en concours.
Ce sujet met en avant plusieurs notions incontournables des suites et séries de fonctions : la convergence simple et uniforme, les critères usuels (séries alternées, estimations d’erreur), mais aussi l’étude de la régularité (continuité, dérivabilité) des sommes de séries. Savoir jongler avec les définitions, repérer les outils adaptés à chaque question et bien argumenter autour des notions d’équivalents locaux t’aideront à tirer ton épingle du jeu. Besoin de méthodes et d’astuces sur ce chapitre ? Débloque les corrigés sur Prépa Booster pour avoir des corrections détaillées et personnalisées.
Pour réussir les questions sur les racines carrées de matrices, il est primordial de bien connaître la diagonalisation, la notion de matrices symétriques, ainsi que les propriétés de la trace, du déterminant et des normes matricielles. Pense à vérifier si la matrice est diagonalisable avant de chercher une racine carrée, car cela simplifie beaucoup la démarche via une réduction en blocs diagonaux. N’hésite pas à t’entraîner avec des exercices variés pour être à l’aise avec la méthode générale et les cas particuliers.
La récurrence est un outil fondamental en maths de prépa, car elle permet de généraliser une propriété sur un nombre entier ou sur la construction pas à pas d’une suite, d’une loi ou d’un raisonnement combinatoire. Dans ce sujet, elle est essentielle pour justifier la stabilité d’une loi ou l’uniformité d’une distribution à chaque étape. Savoir rédiger proprement une récurrence (initialisation, hérédité, conclusion) et l’intégrer dans un raisonnement global, c’est la clé pour obtenir tous les points dans ce type de question.
Ce genre de sujet t’oblige à croiser analyse, algèbre et probabilités. Tu vas renforcer ton sens de la rigueur, ta capacité à organiser et structurer une solution, à mobiliser des outils variés (propriétés de convergence, relations matricielles, intégration impropre…) et à justifier chaque étape. C’est exactement cette polyvalence qu’attendent les correcteurs du concours et que tu retrouveras dans tous les problèmes type CCINP. Pour progresser efficacement, consulte les corrigés détaillés et travaille régulièrement sur les thèmes récurrents.