Questions du sujet
1. Interpréter concrètement chacun des trois termes du bilan d’énergie en précisant leur signification physique et vérifier qu’ils sont homogènes à des puissances. 2. Donner l’expression de $T-T_p$ en régime permanent. Il est rappelé que la température de la paroi, $T_p$, est maintenue constante tout au long des essais. Il est précisé que la température de la phase liquide à l’instant initial est égale à $T_p$. 3. D’après les résultats obtenus lors de la première expérience (figure 2a), donner la valeur de la différence de température $T-T_p$ lorsqu’on atteint le régime permanent. Calculer la valeur du coefficient de transfert de chaleur à la paroi dans les unités SI. On donne $T_p=320,0~\text{K}$, $\rho=1~000,0~\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$, $V=0,1 \times 10^{-3}~\text{m}^3$ et $C_p=1~800,0~\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$, $P_{th}=96,0~\text{W}$ et $S=8,0 \times 10^{-3}~\text{m}^2$. 4. On souhaite faire apparaître un temps caractéristique d’échange thermique $\tau_c$ du système. Montrer que le bilan d’énergie peut se mettre sous la forme suivante (équation (2)) :} \[ \frac{dT}{dt} = A + \frac{T_p – T}{\tau_c}. \] Donner les expressions de $A$ et $\tau_c$. Vérifier que $\tau_c$ est homogène à un temps. 5. Le bilan d’énergie établi à la question Q4 est-il modifié ? Si oui, donner la nouvelle expression de $\frac{dT}{dt}$.} 6. Donner l’expression de $T-T_p$ en fonction du temps $t$ par résolution de l’équation différentielle. On notera $T_{max}$ la température initiale lors de la phase de refroidissement. 7. Le tracé de $\ln((T-T_p)$ (avec $T-T_p$ en K) en fonction du temps $t$ (figure 3) donne une droite d’équation $y = -1,33\times 10^{-2}\times x + 3,68$ (avec $x$ en secondes). En déduire la valeur du temps caractéristique d’échange thermique $\tau_c$. Calculer la valeur du coefficient de transfert de chaleur à la paroi et vérifier que cette valeur correspond à celle obtenue avec la première expérience. 8. On considère que la réaction est d’ordre 1 par rapport au réactif $R$. Donner l’expression de la vitesse de la réaction (exprimée par unité de volume de mélange réactionnel) que l’on notera $r$ (on notera $C_R$ la concentration molaire du réactif $R$ et $k$ la constante cinétique). Préciser la dimension et l’unité de $r$ dans le Système International. 9. Rappeler la loi d’Arrhenius donnant les variations de la constante de réaction en fonction de la température. On notera $k_0$ le facteur pré-exponentiel et $E_a$ l’énergie d’activation. Préciser les dimensions et les unités SI de $k$, $k_0$ et $E_a$. 10. Écrire le bilan de matière sous la forme $\frac{dC_R}{dt} = f(C_R,T)$. Préciser l’expression de $f(C_R,T)$. Il est rappelé que le volume de la phase réactionnelle reste constant au cours du temps.} 11. Dans le cas où le réacteur fonctionnerait en marche isotherme, résoudre l’équation différentielle et donner l’expression de la concentration de $R$ en fonction du temps sous la forme $C_R = g(t)$. On notera $C_{R0}$ la concentration initiale en $R$. 12. Pour simplifier les bilans, on introduit le taux de conversion de $R$, noté $X_R$, défini par la relation suivante : $X_R = \frac{C_{R0} – C_R}{C_{R0}}$. Exprimer l’évolution de taux de conversion $X_R$ en fonction du temps pour le cas de la marche isotherme. 13. Donner l’expression de l’équation différentielle qui régit l’évolution du taux de conversion $X_R$ en fonction du temps dans le cas général (marche quelconque, c’est-à-dire non isotherme), sans chercher à la résoudre. 14. Donner la dimension du terme source $Q(t,X,T)$. 15. Montrer qu’un bilan enthalpique appliqué à un système que l’on précisera avec soin permet d’aboutir à la relation suivante (équation (4)) } \[ \frac{dT}{dt} = J\frac{dX_R}{dt} – \frac{T-T_p}{\tau_c}, \] où l’on exprimera $J$ et $\tau_c$ en fonction de $\Delta H_{r}$, $C_{R0}$, $\rho$, $C_p$, $V$, $U$ et $S$. On admettra qu’il est légitime de négliger la contribution des réactifs, des produits et des accessoires situés à l’intérieur du réacteur au travers de leur capacités thermiques devant celle du solvant. } 16. Donner l’expression du paramètre $J$ ainsi que sa dimension. 17. Calculer la valeur du paramètre $J$ en unité SI. On donne $\Delta H_r = -360,0~\text{kJ}\cdot\text{mol}^{-1}$, $\rho = 1~000,0~\text{kg}\cdot\text{m}^{-3}$, $C_p = 1~800,0~\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}$ et $C_{R0}=500,0~\text{mol}\cdot\text{m}^{-3}$. 18. Exprimer l’équation différentielle (équation (4)) dans le cas d’un fonctionnement adiabatique. 19. Déterminer alors l’expression de la température $T$ en fonction du taux de conversion $X_R$, du paramètre $J$ et de $T_0$ la température initiale du mélange réactionnel. 20. Donner l’expression de la température $T_f$ atteinte en fin de réaction dans le cas d’une marche adiabatique sachant que $T_0 = T_p = 320,0~\text{K}$. Conclure quant à la stabilité du réacteur dans le cas de cette étude. Donner la signification physique du paramètre $J$.} 21. Donner les expressions de $A_1$ et $A_2$. En déduire la valeur des coefficients de la matrice $A$. 22. On suppose que les vecteurs colonnes $Y$ et $X$, qui contiennent les valeurs $y_i$ et $x_i$ ($1\leq i\leq n$), sont déjà créés. Donner le code permettant de créer la matrice $A$. 23. Donner le code permettant de déterminer les coefficients de la matrice $B=A^T \times A$. Préciser les dimensions de la matrice $B$. 24. Donner le code permettant de déterminer les coefficients de la matrice $C=A^T \times Y$. Préciser les dimensions de la matrice $C$. 25. Donner le code permettant de créer une fonction inv_mat(M) qui renvoie la matrice inverse de la matrice $M$ de dimension $(2\times2)$ donnée comme argument d’entrée.} 26. On note $D$ la matrice inverse de $B$. Donner le code permettant de déterminer les coefficients $a_0$ et $a_1$ de la matrice $W$. 27. À l’aide d’un développement limité rétrograde de la fonction $X_R(t)$, donner l’expression de $X_R(t + \Delta t)$ à l’ordre 1 en fonction de $X_R(t)$ et de sa dérivée partielle par rapport à $t$, $\frac{dX_R}{dt} (t + \Delta t)$ évaluée en $t + \Delta t$. 28. En déduire une valeur approchée de $\frac{dX_R}{dt} (t + \Delta t)$ à l’ordre 0 en fonction de $X_R(t)$, $X_R(t + \Delta t)$ et $\Delta t$. 29. À l’aide d’un développement limité rétrograde de la fonction $T(t)$, donner l’expression de $T(t + \Delta t)$ à l’ordre 1 en fonction de $T(t)$ et de sa dérivée partielle par rapport à $t$, $\frac{dT}{dt}(t + \Delta t)$. 30. En déduire une valeur approchée de $\frac{dT}{dt} (t + \Delta t)$ à l’ordre 0 en fonction de $T(t)$, $T(t + \Delta t)$ et $\Delta t$.} 31. Donner l’expression de $\frac{dX_R}{dt}|_{t_{i+1}}$ en fonction de $X_{Ri}$, $X_{R_{i+1}}$ et $\Delta t$. 32. Donner l’expression approchée de $X_{R_{i+1}}$ en fonction de $X_{Ri}$, $\Delta t$ et de la fonction $f_1(t_{i+1}, X_{R_{i+1}}, T_{i+1})$, évaluée en $t_{i+1}$. 33. Donner l’expression de $\frac{dT}{dt}|_{t_{i+1}}$ en fonction de $T_i$, $T_{i+1}$ et $\Delta t$. 34. Donner l’expression approchée de $T_{i+1}$ en fonction de $T_i$, $\Delta t$ et de la fonction $f_2(t_{i+1}, X_{R_{i+1}}, T_{i+1})$, évaluée en $t_{i+1}$. 35. Transformer les expressions obtenues aux questions Q32 et Q34 pour les mettre sous la forme $g_1(X_{R_{i+1}}, T_{i+1}) = 0$ et $g_2(X_{R_{i+1}}, T_{i+1}) = 0$.} 36. Donner les expressions de $\frac{\partial g_1}{\partial X_{R_{i+1}}}$, $\frac{\partial g_1}{\partial T_{i+1}}$, $\frac{\partial g_2}{\partial X_{R_{i+1}}}$ et $\frac{\partial g_2}{\partial T_{i+1}}$ permettant de construire la matrice Jacobienne $J_{g}(X_{R_{i+1}}, T_{i+1})$. 37. Écrire une fonction mat_Dg(x) qui a pour argument d’entrée un vecteur $x$ contenant les valeurs de $X_{R_{i+1}}$ et $T_{i+1}$ à l’itération $j$ et qui retourne la matrice Jacobienne $J_{g}(x)$. On supposera que les paramètres suivants ont été au préalable déclarés comme variables globales : $\Delta t = 0,01$ s, $k_0 = 5,0$ s$^{-1}$, $E_a = 20~000,0$ J.mol$^{-1}$, $J = 100,0$ K, $\tau_c = 75$ s et $R = 8,314$ J.K$^{-1}$.mol$^{-1}$. 38. Écrire le code permettant de calculer les valeurs du vecteur $x$ à l’itération $j+1$ à l’aide de l’équation (8) lors d’une boucle de l’algorithme de Newton-Raphson. On notera x_old la valeur de $x$ a l’itération $j$ et x_new la valeur de $x$ à l’itération $j+1$. De même, on notera X_euleri et T_euleri les vecteurs contenant les valeurs de $X_{R_i}$ et $T_i$ à l’itération $i$ de la méthode d’Euler implicite. Pour l’inversion de matrice, on utilisera la fonction inv_mat(M) écrite à la question Q25. 39. Pour obtenir la valeur de x_new par la méthode de Newton-Raphson, on souhaite créer une boucle itérative avec condition. La condition d’arrêt porte sur la valeur absolue de la différence des températures $T_{i+1}^{(j)}$ et $T_{i+1}^{(j+1)}$ que l’on souhaite inférieure à $10^{-5}$ K. Pour les valeurs initiales de $X_{R_{i+1}}^{(0)}$ et $T_{i+1}^{(0)}$ on prendra respectivement 0,5 et $T_p + J/2$. Écrire le code correspondant. Il est inutile de recopier l’intégralité du code écrit à la question précédente ; on indiquera néanmoins sa place dans le code de cette question. 40. Donner le code permettant de calculer le nombre $N$ d’intervalles $\Delta t$ compris dans l’intervalle $[t_0, t_f]$ ($N$ est un entier).} 41. Écrire le code permettant de calculer les valeurs des éléments des vecteurs X_euleri, T_euleri et t_euleri à chaque itération de la méthode d’Euler implicite. 42. Donner le code permettant de tracer les graphes de la figure 5 montrant l’évolution de la conversion et de la température en fonction du temps que l’on obtiendrait en réalisant la résolution numérique du système d’équations différentielles (simulation réalisée avec $k_0 = 5,0~\text{s}^{-1}$, $E_a = 20~000,0~\text{J}\,\text{mol}^{-1}$, $J = 100,0~\text{K}$, $\tau_c = 75~\text{s}$).}FAQ
Le sujet de mathématiques CCINP Physique-Chimie 2018 aborde de façon transversale la thermodynamique appliquée (bilans d’énergie, échanges thermiques, modèles différentiels), la cinétique chimique (réactions d’ordre 1, loi d’Arrhenius, taux de conversion), la résolution d’équations différentielles (résolution analytique et numérique), ainsi que l’algorithmique appliquée avec le codage Python de méthodes numériques (méthode d’Euler implicite, Newton-Raphson, inversions de matrices, utilisation de la Jacobienne). Ces notions sont au cœur des classes préparatoires et permettent de faire le lien entre théorie et applications dans un contexte d’ingénierie.
Dans un problème de réacteur chimique, l’étude des bilans d’énergie et de matière permet d’établir les relations fondamentales liant température, degré d’avancement (ou taux de conversion), et évolution temporelle du système. Elle sert notamment à prédire la stabilité et la sécurité du réacteur, à anticiper les variations de température dues aux réactions exothermiques ou endothermiques et, enfin, à optimiser le rendement. Ces bilans constituent également un excellent prétexte pour manipuler les équations différentielles et les notions de modélisation couplée, incontournables en CPGE comme aux concours.
La résolution numérique d’équations différentielles intervient dès que le système modélisé n’admet pas de solution analytique simple, typiquement lorsqu’on couple les bilans matière et énergie avec des lois cinétiques non linéaires. Les méthodes itératives (Euler implicite, Newton-Raphson) sont alors indispensables, d’où la place croissante du Python dans les concours. Au CCINP comme dans d’autres banques, tu es clairement censé(e) maîtriser l’algorithmique, la manipulation des tableaux numériques, la résolution d’équations implicites, et même la structure d’un code lisible et documenté. Maîtriser Python, ce n’est pas seulement savoir coder : c’est aussi comprendre comment traduire un problème physique complexe en algorithme efficace.
La méthode de Newton-Raphson est l’un des piliers des méthodes numériques lorsqu’il s’agit de résoudre des systèmes d’équations non linéaires, typiques des bilans couplés en génie chimique et thermique. Dans le cadre du sujet, elle permet d’approcher efficacement les valeurs des inconnues à chaque pas de temps, même quand les équations sont implicites. Comprendre son fonctionnement, la construction de la jacobienne, et l’implémentation de la condition d’arrêt est fondamental en CPGE et te servira tout au long de tes études scientifiques.
Les changements de variables, comme l’introduction du temps caractéristique ou du taux de conversion, sont essentiels pour simplifier et interpréter un modèle. Ils permettent souvent de donner une vision physique aux grandeurs étudiées, d’identifier l’échelle de temps pertinente pour la dynamique du système, ou de ramener une équation complexe à une forme plus universelle. Cette pratique est fondamentale dans l’ingénierie, la physique appliquée et les concours comme le CCINP, où il s’agit de jongler entre rigueur mathématique et compréhension physique.
Vérifier systématiquement les homogénéités d’unités et de dimensions, c’est le réflexe qui t’évitera maintes erreurs, en particulier dans les bilans d’énergie, de matière ou encore dans l’implémentation numérique. Cela sert à valider la cohérence de tes raisonnements, à détecter les éventuelles incohérences (cas classiques dans les sujets mêlant plusieurs domaines), et à mieux interpréter physiquement les coefficients ou paramètres calculés.
Les modèles de réacteur chimique sont des exercices de choix en PC, car ils croisent plusieurs champs disciplinaires : modélisation physique, mathématiques appliquées, chimie physique et algorithmique. Ils sont concrets, permettent de poser des questions de raisonnement, de calcul, de programmation, et illustrent parfaitement l’interdisciplinarité exigée par la filière. C’est aussi un excellent terrain pour tester ta rigueur méthodologique et ton sens physique.
L’essentiel est de toujours partir de la situation physique, d’identifier les grandeurs en jeu, de poser proprement les bilans, et de te souvenir que la majorité des difficultés vient du passage de l’un à l’autre (physique ↔ maths ↔ algorithmique). Ne te précipite pas sur le code ; prends le temps de comprendre chaque terme, de justifier chaque approximation. Enfin, entraîne-toi à coder régulièrement des modèles similaires : c’est la meilleure façon de transformer la méthode en automatisme. Sur Prépa Booster, tu trouveras une bibliothèque d’exercices corrigés et de simulations pour t’y entraîner !
Au-delà de la maîtrise du cours et des classiques, il est indispensable d’être polyvalent : sois à l’aise aussi bien avec des questions « classiques » qu’avec les modélisations plus originales ou interdisciplinaires (thermodynamique, modélisations couplées, Python). Travaille la rédaction, la justification des approximations et des hypothèses, entraîne-toi sur la résolution numérique, et structure bien tes raisonnements. Le corrigé détaillé de cette épreuve sur Prépa Booster t’offre l’occasion de progresser efficacement, question par question, et de t’entraîner dans des conditions proches de celles du concours.
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