Questions du sujet
1. Déterminer $L_0$, $L_1$ et vérifier que $L_2 = \frac{1}{2} (3X^2 – 1)$. 2. Justifier que $L_n$ est de degré $n$ et préciser la valeur de $a_n$. 3. Montrer que la famille $(L_0,…,L_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$. 4. Pour $n \in \mathbb{N^*}$, déterminer les racines de $U_n$, en précisant leur ordre de multiplicité, puis justifier qu’il existe un réel $\alpha \in ]-1, 1[$ et un réel $\lambda$, que l’on ne cherchera pas à déterminer, tels que : $$ U’_n = \lambda(X-1)^{n-1}(X+1)^{n-1}(X-\alpha). $$ On pourra utiliser le théorème de Rolle. 5. Dans cette question seulement, $n \geq 2$. Soit $k \in \llbracket 1, n-1\rrbracket$. On suppose qu’il existe des réels $\alpha_1,…, \alpha_k$ deux à deux distincts dans $]-1,1[$ et un réel $\mu$ tels que : $$ U^{(k)}_n = \mu(X-1)^{n-k}(X+1)^{n-k}(X-\alpha_1)\cdots(X-\alpha_k). $$ Justifier qu’il existe des réels $\beta_1, …, \beta_{k+1}$ deux à deux distincts dans $]-1,1[$ et un réel $\nu$ tels que : $$ U^{(k+1)}_n = \nu(X-1)^{n-k-1}(X+1)^{n-k-1}(X-\beta_1)\cdots(X-\beta_{k+1}). $$} 6. En déduire que, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $L_n$ admet $n$ racines réelles simples, toutes dans $[-1, 1]$. On les note $x_1, …, x_n$, en convenant que $x_1 < ... < x_n$. On note $A_n = \prod_{k=1}^n (X-x_k)$.\\ En convenant que $A_0 = 1$, on a donc : $\forall n \in \mathbb{N},\ L_n = a_nA_n$. 7. Prouver que $\varphi$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$. 8. Justifier que $\mathbb{R}_n[X]$ est stable par $\varphi$.\\ On note $\varphi_n$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ induit par $\varphi$. Cet endomorphisme $\varphi_n$ est donc défini par : $\forall P \in \mathbb{R}_n[X],\ \varphi_n(P) = \varphi(P)$. 9. On note $M = (m_{i,j})_{0 \leq i,j \leq n}$ la matrice de $\varphi_n$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$. Montrer que $M$ est triangulaire supérieure et que : $\forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket,\ m_{k,k} = k(k+1)$. 10. Montrer que $\varphi_n$ est diagonalisable. On pourra utiliser la question Q9.} 11. Vérifier que : $\forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket, \ (X^2 - 1)U''_k - 2kXU_k = 0$. 12. Soit $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$. En dérivant $(k+1)$ fois la relation de la question Q11, montrer grâce à la formule de dérivation de Leibniz que : $(X^2 - 1)U^{(k+2)}_k + 2XU^{(k+1)}_k - k(k+1)U^{(k)}_k = 0$. 13. Montrer que, pour $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$, le polynôme $L_k$ est un vecteur propre de $\varphi_n$, en précisant la valeur propre associée. On pourra utiliser la question Q12. 14. Déduire de ce qui précède les valeurs propres et les sous-espaces propres associés de $\varphi$. 15. Justifier que $\langle ., . \rangle$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$.} 16. Établir que : $\forall(P, Q) \in \mathbb{R}[X]^2,\, \langle \varphi(P), Q \rangle = -\int_{-1}^1 (t^2-1)P'(t)Q'(t)dt$, puis que : \[ \forall (P, Q) \in \mathbb{R}[X]^2, \langle \varphi(P), Q \rangle = \langle P, \varphi(Q) \rangle. \] 17. Montrer que la famille $(L_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de polynômes de $\mathbb{R}[X]$ est orthogonale pour le produit scalaire $\langle ., . \rangle$. On pourra utiliser la question Q13. 18. Montrer que : $\forall n \in \mathbb{N}^*,\ \forall P \in \mathbb{R}_{n-1}[X],\ \langle P, L_n \rangle = 0$. 19. On admet que $\|L_n\|^2 = \frac{2}{2n+1}$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $Q_n = \sqrt{\frac{2n+1}{2}} L_n$. Que peut-on dire de la famille $(Q_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de polynômes de $\mathbb{R}[X]$ pour le produit scalaire $\langle ., . \rangle$ ? 20. Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $d(P, \mathbb{R}_n[X]) = \inf_{Q \in \mathbb{R}_n[X]} \|P - Q\|$ la distance de $P$ au sous-espace $\mathbb{R}_n[X]$.\\ Soit $n \in \mathbb{N}$. En utilisant un résultat de votre cours, justifier qu’il existe un unique polynôme $T_n$ de $\mathbb{R}_n[X]$ tel que : $d(P, \mathbb{R}_n[X]) = \|P - T_n\|$, puis justifier l’égalité : \[ d(P, \mathbb{R}_n[X])^2 = \|P\|^2 - \sum_{k=0}^n |c_k(P)|^2, \ \text{où}\ c_k(P) = \langle P, Q_k \rangle. \]} 21. Prouver que la série $\sum |c_k(P)|^2$ converge et que : \[ \sum_{k=0}^{+\infty} |c_k(P)|^2 \leq \|P\|^2. \] 22. On admet dans la suite du problème que $\forall n \in \mathbb{N}^*,\, (n+1)L_{n+1} - (2n+1)X L_n + n L_{n-1} = 0$ et on considère la série entière de la variable $t$ : $\sum L_n(x) t^n$. On note $r$ la racine positive du polynôme $X^2 - 2X - 1$.\\ Montrer que : $\forall x \in [-1,1],\ \forall n \in \mathbb{N}$, $|L_n(x)| \leq r^n$. On pourra raisonner par récurrence et utiliser la relation admise au début de cette partie. 23. Pour $x \in [-1,1]$, on note $R(x)$ le rayon de convergence de la série entière $\sum L_n(x) t^n$. Montrer que : $R(x) \geq \frac{1}{r}$. 24. Pour $x \in [-1,1]$ et $t \in \left] -\frac{1}{r}, \frac{1}{r} \right[$, on pose $S_x(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} L_n(x) t^n$. Montrer que $S_x$ est solution sur $\left] -\frac{1}{r}, \frac{1}{r} \right[$ de l’équation différentielle linéaire du premier ordre : \[ (1 - 2 t x + t^2) y' + (t-x) y = 0. \] 25. En déduire que : $\forall x \in [-1,1],\, \forall t \in \left] -\frac{1}{r}, \frac{1}{r} \right[$ \[ \sum_{n=0}^{+\infty} L_n(x)t^n = \frac{1}{\sqrt{t^2 - 2 x t + 1}}. \]} 26. Indiquer une méthode permettant, à partir du seul résultat de la question Q25, de retrouver l’expression des polynômes $L_0$, $L_1$ et $L_2$. 27. Pour $\theta \in [0, \pi]$ et $n \in \mathbb{N}$, on pose : $w_n(\theta) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (\cos \theta + i \sin \theta \cos u)^n\, du$.\\ Soit $t \in ]-1,1[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on considère la fonction $v_n$ de $[-\pi, \pi]$ dans $\mathbb{C}$ définie par : $v_n(u) = t^n (\cos \theta + i \sin \theta \cos u)^n$. Montrer que $(v_n)$ converge normalement sur $[-\pi, \pi]$. 28. Justifier l’égalité : $\forall t \in ]-1,1[$, \[ \sum_{n=0}^{+\infty} w_n(\theta) t^n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\! \frac{du}{1 - t \cos \theta - i t \sin \theta \cos u}. \] 29. Dans les questions Q29 et Q30, $a$ désigne un réel strictement positif.\\ Montrer que $\int_0^{\pi} \frac{\cos u}{1 + a^2 \cos^2 u} du = 0$. On pourra utiliser le changement de variable défini par $v = \pi - u$. 30. Montrer que : \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{du}{1 + a^2 \cos^2 u} = \frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}. \] On pourra utiliser le changement de variable défini par $u = \arctan v$.} 31. En déduire que : \[ \forall t \in ]-1,1[,\, \forall \theta \in [0, \pi],\quad \int_{-\pi}^\pi \frac{du}{1 - t \cos\theta - i t \sin\theta \cos u} = \frac{2\pi}{\sqrt{t^2 - 2t\cos\theta + 1}}. \] 32. Déduire de ce qui précède que : $\forall n \in \mathbb{N},\, \forall \theta \in [0, \pi],\ L_n(\cos \theta) = w_n(\theta)$. 33. Justifier que : $\forall x \in [-1,1], \forall t \in ]-1,1[$, \[ \sum_{n=0}^{+\infty} L_n(x)t^n = \frac{1}{\sqrt{t^2-2xt+1}}. \] 34. Prouver que : $\forall x \in [-1,1],\, R(x)=1$. On pourra raisonner par l’absurde et montrer qu’alors, pour tout $z$ de $\mathbb{C}$ tel que $|z| < R(x)$, on a : $(z^2 - 2xz + 1)\left(\sum_{n=0}^{+\infty} L_n(x)z^n\right)^2 = 1$. 35. Dans les questions Q35 à Q43, $n$ désigne un entier naturel non nul.\\ Soit $h$ une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ de classe $C^{2n-1}$ sur $\mathbb{R}$ telle qu’il existe $2n$ réels $t_1 < \cdots < t_{2n}$ vérifiant : $\forall i \in \llbracket 1, 2n\rrbracket,\, h(t_i)=0$. Montrer qu’il existe un réel $c$ tel que : $h^{(2n-1)}(c) = 0$.} 36. Pour $i \in \llbracket 1, n\rrbracket$, on note $\ell_i$ l’application linéaire définie sur $\mathbb{R}_{n-1}[X]$, à valeurs dans $\mathbb{R}$, par : $\forall P \in \mathbb{R}_{n-1}[X],\ \ell_i(P) = P(x_i)$ (on rappelle que $x_1, ..., x_n$ désignent les racines de $L_n$ et qu’elles sont deux à deux distinctes). Montrer que $(\ell_1,...,\ell_n)$ est libre dans $\mathcal{L}(\mathbb{R}_{n-1}[X], \mathbb{R})$. 37. En déduire que pour toute application linéaire $\psi$ de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ dans $\mathbb{R}$, il existe un unique $n$-uplet $(\beta_1, ..., \beta_n)$ de réels tel que : $\psi = \sum_{k=1}^n \beta_k \ell_k$. 38. Montrer qu’il existe un unique $n$-uplet $(\alpha_1, ..., \alpha_n)$ de réels tel que : \[ \forall P \in \mathbb{R}_{n-1}[X],\quad \int_{-1}^1 P(t)dt = \alpha_1 P(x_1) + \dots + \alpha_n P(x_n). \] 39. Montrer que la relation de la question Q38 reste vérifiée pour tout $P$ de $\mathbb{R}_{2n-1}[X]$. On pourra, pour $P \in \mathbb{R}_{2n-1}[X]$, utiliser la division euclidienne de $P$ par $L_n$ et la question Q18. 40. Dans la suite du problème, $f$ désigne une application de $[-1,1]$ dans $\mathbb{R}$, de classe $C^{2n}$ sur $[-1,1]$. Montrer que : $\exists! H_n \in \mathbb{R}_{2n-1}[X],\, \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\ \left\{ \begin{array}{l} H_n(x_i) = f(x_i)\\ H'_n(x_i) = f'(x_i) \end{array}\right.$. On pourra commencer par déterminer le noyau de l’application linéaire de $\mathbb{R}_{2n-1}[X]$ dans $\mathbb{R}^{2n}$ qui à $P$ associe : $(P(x_1),...,P(x_n),P'(x_1),...,P'(x_n))$.\\ On rappelle que $A_n$ a été défini à la question Q6.} 41. Soit $x \in [-1,1]$ tel que : $\forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\, x \neq x_i$.\\ Montrer que : $\exists c \in [-1,1],\ f(x) - H_n(x) = \frac{A_n(x)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(c)$.\\ On pourra considérer l’application $g$ définie sur $[-1,1]$ par $g(t) = f(t) - H_n(t) - \frac{A_n(t)^2}{(2n)!}K$, où $K$ est un réel dépendant de $x$ à préciser, et appliquer le résultat de la question Q35 à la fonction $g$. 42. Montrer que : $\forall y \in [-1,1],\ \exists c \in [-1,1],\ f(y) - H_n(y) = \frac{A_n(y)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(c)$. 43. Justifier l’existence de $M_{2n}(f) = \max_{t \in [-1,1]} |f^{(2n)}(t)|$, puis prouver que : \[ \left|\int_{-1}^1 f(t)dt - \left(\alpha_1 f(x_1)+\dots+\alpha_n f(x_n)\right)\right| \leq \frac{M_{2n}(f)}{(2n)!}\int_{-1}^1 A_n(t)^2 dt. \] 44. Déterminer un équivalent simple au voisinage de $+\infty$ de $\int_{-1}^1 A_n(t)^2 dt$.}FAQ
Les polynômes de Legendre sont des familles classiques de polynômes orthogonaux. On les utilise en analyse, en probabilité et surtout en physique (mécanique, équations de la chaleur, etc.), car ils sont solutions d’équations différentielles fondamentales. Dans le contexte de la CPGE physique-chimie, ils permettent de mettre en place des calculs d’intégrales, des développements fonctionnels et l’approximation de fonctions. Travailler sur les polynômes de Legendre, c’est aussi maîtriser les changements de bases dans les espaces vectoriels de polynômes.
L’orthogonalité (au sens du produit scalaire) est un outil puissant pour simplifier les calculs analytiques. Quand tu travailles avec des bases orthogonales, chaque composante est indépendante des autres, ce qui rend les décompositions et projections très simples. C’est la clé pour développer une fonction en série de polynômes orthogonaux, comme les séries de Legendre : chaque coefficient se calcule de façon indépendante, et cela fait gagner un temps précieux en écrits.
La diagonalisation est centrale dans l’étude des espaces de polynômes, car c’est ce qui permet de comprendre facilement le comportement des applications linéaires (ici, des opérateurs différentiels). Si une famille de polynômes est formée de vecteurs propres pour un endomorphisme, alors on a souvent accès immédiatement aux valeurs propres et à leur signification (ici, dans l’étude des équations différentielles vérifiées par les polynômes de Legendre). D’ailleurs, ce genre de structure revient souvent aux concours pour tester ta vision linéaire globale.
Le théorème de Rolle, et plus généralement les théorèmes des accroissements finis, sont souvent utilisés dans l’étude des racines de polynômes, pour garantir l’existence et la régularité de certaines propriétés autour des racines. Ici, ils servent à démontrer l’existence de zéros successifs pour les dérivées, à contrôler la multiplicité des racines et à justifier l’expression factorisée des dérivées des polynômes étudiés.
Ça signifie que tout polynôme de degré inférieur ou égal à \(n\) peut s’écrire de façon unique comme combinaison linéaire de cette famille. Par exemple, grâce aux polynômes de Legendre (ou tout autre base adaptée), tu peux remplacer la base canonique \((1, X, X^2, …, X^n)\) par une base plus pratique pour certains calculs (intégrations, projections…). C’est une vision d’espace vectoriel très exploitable en épreuve.
Ce produit scalaire rend l’espace des polynômes très maniable : il permet par exemple de définir l’orthogonalité, de discuter de normes, de développer des familles orthogonales (essentiel ici avec les Legendre). C’est la pierre angulaire de la théorie des développements en séries orthogonales, omniprésente en analyse et en physique.
La quadrature de Gauss, qui apparaît dans la dernière partie du sujet, c’est une technique d’approximation efficace des intégrales : on choisit intelligemment les points d’évaluation (les racines d’un polynôme orthogonal) et des poids associés, ce qui permet d’intégrer exactement tous les polynômes jusqu’à un certain degré. Pour les écrits CCINP, c’est un incontournable dès qu’on croise des polynômes orthogonaux.
Fais toujours attention à bien te représenter la structure de l’espace vectoriel : degré, base canonique vs base de polynômes de Legendre. Vérifie les propriétés d’orthogonalité grâce au produit scalaire proposé, puis cherche à voir quels outils algébriques (endomorphismes, diagonalisation, valeurs propres) tu peux exploiter. Les questions sont souvent construites en escalier, donc bien comprendre le début facilite grandement la suite ! Pour t’entraîner sur ce type de raisonnement et accéder à la totalité des corrigés rédigés étape par étape, tu peux débloquer les corrigés et profiter de tous les outils de Prépa Booster.
La formule de dérivation de Leibniz (pour la dérivation d’un produit) est très utile dès qu’on traite une équation différentielle ou qu’on dérive plusieurs fois des produits de polynômes. C’est l’outil qu’il te faut pour démontrer les récurrences sur les dérivées de polynômes, particulièrement dans l’étude des relations de récurrence des Legendre, comme dans ce sujet.
Bien sûr ! À partir d’une série génératrice (comme celle du sujet, où tu as \(\sum L_n(x)t^n\)), il suffit de développer le côté droit en série entière en \(t\) pour lire les coefficients devant chaque \(t^n\) : c’est précisément les \(L_n(x)\). C’est une méthode puissante pour retrouver les premiers polynômes d’une suite, avant d’enchaîner sur les propriétés spécifiques ; n’hésite pas à l’utiliser sur d’autres familles (Hermite, Tchebychev…) aux écrits !