Questions du sujet
1. Q1. Reconnaître la loi de $Y$ et préciser en particulier $\mathbb{P}(Y = n)$ pour $n \in \mathbb{N}^*$. 2. Q2. Montrer que $R_Y = \frac{1}{p} > 1$ et que : $\forall t \in \left[ -\frac{1}{p}, \frac{1}{p} \right]$, $G_Y(t) = \frac{q t}{1 – p t}$. 3. Q3. Montrer que $G_Y$ est 2 fois dérivable en 1 et que $G_Y'(1) = \frac{1}{q}$ et $G_Y”(1) = \frac{2p}{q^2}$. 4. Q4. Donner les valeurs de $\mathbb{E}(Y)$ et de $\operatorname{Var}(Y)$. 5. Q5. Montrer que $\sum u_n(a) z^n$ est une série entière de rayon de convergence égal à $|a|$.} 6. Q6. Montrer que si $|z| < |a|$, on a : $$\frac{1}{z - a} = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n(a) z^n.$$ 7. Q7. Montrer que l’on a : $$v_n = \frac{1}{ab^{n+1}} \sum_{k=0}^n \left( \frac{b}{a} \right)^k = \frac{1}{b - a} \left( \frac{1}{a^{n+1}} - \frac{1}{b^{n+1}} \right).$$ 8. Q8. Trouver un équivalent simple de $v_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 9. Q9. En déduire que le rayon de convergence de $\sum v_n z^n$ est égal à $|a|$ et que si $|z| < |a|$, alors $$\frac{1}{(z - a)(z - b)} = \sum_{n=0}^{+\infty} v_n z^n.$$ 10. Q10. Justifier que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$ et que la série entière qui lui est associée possède un rayon de convergence $R_f$ tel que $R_f = |a|$.} 11. Q11. Justifier que $g$ est développable en série entière au voisinage de 0 et que la série entière qui lui est associée possède un rayon de convergence $R_g$ tel que $R_g \geq |a|$. 12. Q12. Calculer $p_1$, $p_2$ et $p_3$. 13. Q13. Justifier que $(P_1, C_1 \cap P_2, C_1 \cap C_2)$ est un système complet d’événements. 14. Q14. En déduire que pour tout $n \geq 3$, on a : $p_n = p p_{n-1} + p q p_{n-2}$. 15. Q15. En déduire que pour tout $t \in [-1, 1]$, on a : $G_Z(t)(1 - p t - p q t^2) = q^2 t^2$.} 16. Q16. Montrer que $Q(-1) = 1 + p^2 > 0$ et que $Q(1) = q^2 > 0$. 17. Q17. Montrer que, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $Q(t) = -p q (t – a)(t – b)$. 18. Q18. Montrer que $1 < |a| < |b|$. 19. Q19. Montrer à l’aide de la question Q10 que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0, que sa série entière associée est $G_Z$ et que $R_Z = |a|$. 20. Q20. Montrer que, pour tout $t \in ]- |a|, |a|[$, on a : $G_Z(t) = \frac{q^2 t^2}{1 - p t - p q t^2}$.} 21. Q21. Montrer que $Z$ admet une espérance et une variance puis que $\mathbb{E}(Z) = q^{-1} + q^{-2}$. 22. Q22. Vérifier, à l’aide des questions Q4 et Q21, que $\mathbb{E}(Z) \geq \mathbb{E}(Y) + 1$ où $Y$ est la variable aléatoire définie en partie I. 23. Q23. Pouvait-on prévoir ce résultat ? 24. Q24. Montrer que 0 est valeur propre de $A$ et donner un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre 0. 25. Q25. Trouver les réels $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ tels que, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $\chi_A(t) = t^4 - t^3 + \alpha t^2 + \beta t + \gamma$.} 26. Q26. Montrer que, pour tout $t \in \mathbb{R}$, $S$ est solution de $(E_t)$ si et seulement si $(I_4 - tA)S = L$. 27. Q27. Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}^*$, $\psi_A(t) = t^4 \chi_A(1/t)$. 28. Q28. Vérifier que pour tout $t \in \mathbb{R}$, $\psi_A(t) = -p^2 q t^3 + p q t^2 - t + 1$. 29. Q29. En déduire que, pour $t$ au voisinage de 0, l’équation $(E_t)$ possède une unique solution $S$. 30. Q30. Vérifier que $L = U_1 S_0 + U_2 S_1 + U_3 S_2 + U_4 S_3$.} 31. Q31. En déduire que $\det_B(U_1, U_2, U_3, L) = S_3 \cdot \det_B(U_1, U_2, U_3, U_4) = S_3 \cdot \psi_A(t)$. 32. Q32. Montrer que, pour $t$ au voisinage de 0, on a l’égalité : $$S_3 = \frac{p q^2 t^3}{-p^2 q t^3 + p q t^2 - t + 1}.$$ 33. Q33. Montrer que $\lambda$ est valeur propre de la matrice transposée de $A$. 34. Q34. En déduire qu’il existe trois complexes non tous nuls $x_1, x_2$ et $x_3$ tels que : \begin{align*} (H) \left\{ \begin{array}{l} p x_1 + q x_2 = \lambda x_1 \\ q x_2 + p x_3 = \lambda x_2 \\ p x_1 = \lambda x_3 \\ \end{array} \right. \end{align*} 35. Q35. Montrer, en distinguant ces trois cas, que $|\lambda| < 1$.} 36. Q36. Montrer l’existence de nombres complexes $\lambda_1$, $\lambda_2$ et $\lambda_3$ tels que : $$0 < |\lambda_1| < |\lambda_2| < |\lambda_3| < 1$$ et $\forall t \in \mathbb{R}$, $\chi_A(t) = t (t - \lambda_1)(t - \lambda_2)(t - \lambda_3)$. 37. Q37. Montrer l’existence de nombres complexes $\mu, a, b$ et $c$ tels que : $\mu \neq 0, 1 < |a| < |b| < |c|$ et $\forall t \in \mathbb{R}$, $\psi_A(t) = \mu (t - a)(t - b)(t - c)$. 38. Q38. Reproduire, sur votre copie, la figure 3 suivante en la complétant pour résumer l’expérience de cette partie V. $$0 \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3$$ 39. Q39. Déterminer $p_{0,0}$, $p_{0,1}$, $p_{0,2}$ et $p_{0,3}$. 40. Q40. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a : \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} p_{n,0} = p \cdot p_{n-1,0} + p \cdot p_{n-1,2} \\ p_{n,1} = q \cdot p_{n-1,0} + q \cdot p_{n-1,1} \\ p_{n,2} = p \cdot p_{n-1,1} \\ p_{n,3} = q \cdot p_{n-1,2} \end{array} \right. \end{align*} } 41. Q41. Montrer que \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} S_0(t) = t p \cdot S_0(t) + t p \cdot S_2(t) + 1 \\ S_1(t) = t q \cdot S_0(t) + t q \cdot S_1(t) \\ S_2(t) = t p \cdot S_1(t) \\ S_3(t) = t q \cdot S_2(t) \end{array} \right. \end{align*} 42. Q42. Montrer que la matrice colonne $S(t)$ est solution de l’équation $(E_t)$ définie en partie IV. 43. Q43. Montrer que $\forall t \in ] - R_T, R_T [,\quad G_T(t) = \frac{p q^2 t^3}{-p^2 q t^3 + p q t^2 - t + 1}$ et montrer que $R_T > 1$. 44. Q44. Montrer que $T$ admet une espérance et une variance. 45. Q45. Donner l’expression de $\mathbb{E}(T)$ en fonction de $q$ seulement.} 46. Q46. Proposer une méthode permettant de déterminer le temps d’attente moyen de la première réalisation par l’automate de la séquence $\text{CCPPC}$ : on précisera notamment le schéma des six niveaux correspondants et la matrice analogue à $A$ que l’on peut faire intervenir dans ce problème.}FAQ
Dans ce sujet, tu vas rencontrer notamment la loi géométrique, les séries génératrices et des raisonnements impliquant l’utilisation de lois discrètes. Savoir identifier et manipuler ces lois est fondamental pour réussir dans tout exercice de probabilités en filière PC.
Les séries génératrices, et en particulier les fonctions génératrices de probabilités (GFP), sont un outil puissant pour calculer les moments d’une variable aléatoire, obtenir rapidement espérance et variance, et résoudre certaines récurrences. On te demandera souvent de les manipuler et d’étudier leur rayon de convergence dans les sujets de ce type.
Le rayon de convergence permet de déterminer la zone où une série entière définit une fonction analytique, ce qui est essentiel pour traiter les développements en séries et garantir la validité des manipulations mathématiques réalisées dans une résolution. Dans ce concours, comme dans beaucoup d’autres sujets de CPGE, tu dois toujours bien justifier ce type de propriété !
Les matrices sont ici abordées via le calcul de polynômes caractéristiques, la recherche de valeurs propres, la diagonalisation ainsi que la résolution d’équations matricielles. Bien maîtriser ces notions, y compris la manipulation des matrices transposées et l’analyse spectrale, est capital pour affronter sereinement les exercices et problèmes de concours.
Le système complet d’événements permet de décomposer l’étude d’événements complexes en cas simples et mutuellement exclusifs. Cela facilite énormément les calculs de probabilités conditionnelles et l’utilisation de la formule des probabilités totales, deux outils incontournables des écrits en CPGE scientifique.
Les équations de récurrence interviennent dans l’étude de suites définies par des relations liant plusieurs termes. Elles permettent de modéliser l’évolution de systèmes probabilistes, de suites matricielles, ou encore d’attentes dans les automates, comme tu le vois dans ce sujet. Savoir les établir et les résoudre est indispensable, autant pour les probabilités que pour l’algèbre.
Les automates mettent en jeu de nombreux états et transitions ; il faut donc bien comprendre la structure du graphe d’états, bien poser les systèmes d’équations associés et vérifier la cohérence des conditions initiales. Penser également à justifier chaque étape (unicité, existence des solutions, valeurs de départ, etc.). Pour approfondir ta compréhension et t’entraîner sur ce type de questions, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
Les fonctions génératrices de séries sont au carrefour entre probabilité et analyse : elles traduisent des suites ou lois discrètes sous forme de séries, dont on étudie la convergence, la régularité, les dérivées, etc. L’analyse permet ainsi d’obtenir de puissants outils pour manipuler la discrétisation des phénomènes probabilistes.
Les valeurs propres donnent des informations capitales sur la dynamique d’un système linéaire, que ce soit dans le contexte d’une chaîne de Markov, de résolutions d’équations ou d’étude de stabilité. Dans ce sujet, tu es confronté à la recherche de spectres, déterminants, formules de Cayley-Hamilton… C’est un classique en PC et tu dois t’y entraîner régulièrement !
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