Questions du sujet
1. 1.a) D\’eterminer l’expression de $p_{0,2}(t)$, $p_{1,2}(t)$ et $p_{2,2}(t)$ en fonction de $t$. 2. 1.b) D\’eterminer les coordonn\’ees de $A(t)$, $B(t)$ et v\’erifier que $C(t) = (2t – t^2, 1 – t^2)$. 3. 1.c) Montrer que $C(t) = \sum_{k=0}^2 p_{k,2}(t)A_k$. 4. 2. Montrer que $T$ est une partie convexe de $\mathbb{R}^2$. 5. 3.a) Justifier que tous les points de $\mathcal{C}$ sont dans $T$.} 6. 3.b) Pour $t \in [0,1]$, d\’eterminer un vecteur directeur de la tangente $D_t$ à $\mathcal{C}$ en $C(t)$. 7. 3.c) Montrer que, pour tout $t \in [0,1]$, le segment $[A(t), B(t)]$ est inclus dans $D_t$. 8. 3.d) Repr\’esenter dans un m\^{e}me rep\`ere orthonorm\’e la courbe $\mathcal{C}$, la partie $T$ et les segments $[A(t), B(t)]$ pour $t=0$, $t=1/2$ et $t=1$. 9. 4.a) Montrer que $\varphi_n$ et $B_n$ sont des endomorphismes de $\mathbb{R}_n[X]$. 10. 4.b) V\’erifier que, pour tout $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$, $\varphi_n(p_{k,n})(X) = k~ p_{k,n}(X)$.} 11. 4.c) En d\’eduire que $\mathcal{F}$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$ et que $\varphi_n$ est diagonalisable. 12. 4.d) Montrer que $\varphi_n$ n’est pas bijectif et que $B_n$ est bijectif. 13. 5.a) Donner un exemple de situation probabiliste qui peut \^{e}tre d\’ecrite par une variable al\’eatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(r,t)$. 14. 5.b) Donner $T_r(\Omega)$ et justifier que, pour tout $k \in \llbracket 0, r \rrbracket$, on a : $\mathbb{P}(T_r = k) = p_{k,r}(t)$. 15. 5.c) Donner l’expression simplifi\’ee des quantit\’es suivantes : $\mathbb{E}(T_r)$, $\mathbb{E}(\overline{T}_r)$, $V(T_r)$, $V(\overline{T}_r)$, $E(T_r^2)$ et $E((\overline{T}_r)^2)$ ; v\’erifier en particulier que $E\left((\overline{T}_r)^2\right) = \frac{t}{r} + t^2 \frac{r-1}{r}$.} 16. 5.d) En d\’eduire que les \’egalit\’es suivantes sont valables pour tout $t \in [0, 1]$ :\\ $\sum_{k=0}^r p_{k, r}(t) = 1$,\\ $\sum_{k=0}^r \frac{k}{r} p_{k, r}(t) = t$,\\ $\sum_{k=0}^r \left(\frac{k}{r}\right)^2 p_{k, r}(t) = \left(1-\frac{1}{r}\right) t^2 + \frac{1}{r} t$. 17. 5.e) Montrer que les trois \’egalit\’es pr\’ec\’edentes sont encore valables pour tout $t \in \mathbb{R}$. 18. 6. Montrer que $\mathbb{R}_2[X]$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_n[X]$ qui est stable par $B_n$. 19. 7. Montrer que $A_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{n} \\ 0 & 0 & 1 – \frac{1}{n} \end{pmatrix} = \left(1 – \frac{1}{n}\right) I_3 + \frac{1}{n} H$. 20. 8.a) La matrice $H$ est-elle diagonalisable ?} 21. 8.b) Soit $a$ et $b$ deux r\’eels et $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Justifier que $Q$ est inversible. 22. 8.c) D\’eterminer (sans chercher à calculer $Q^{-1}$) deux r\’eels $a$ et $b$ tels que $H = Q D Q^{-1}$. 23. 9.a) Montrer que $\lim_{n \to +\infty} (A_n) = I_3$. 24. 9.b) Montrer que l’application $\psi$ d\’efinie sur $M_3(\mathbb{R})$ par $\psi(M) = Q M Q^{-1}$ est lin\’eaire. 25. 9.c) En d\’eduire que si $\lim_{\ell \to +\infty} (M_\ell) = M$, alors $\lim_{\ell \to +\infty} (Q M_\ell Q^{-1}) = Q M Q^{-1}$.} 26. 9.d) Montrer que $A_n = Q D_n Q^{-1}$. 27. 9.e) D\’eterminer explicitement, pour $n \geq 2$, $\lim_{\ell \to +\infty} (A_\ell^n)$. 28. 9.f) D\’eterminer explicitement $\lim_{n \to +\infty} (A_n^n)$. 29. 10.a) Montrer que pour toute variable al\’eatoire discr\`ete $Y$ admettant une variance, on a l’in\’egalit\’e suivante : $\mathbb{E}(Y)^2 \leq \mathbb{E}(Y^2)$. 30. 10.b) En d\’eduire que, pour tout $t \in [0, 1],\ \mathbb{E}(|t – T^n|) \leq \sqrt{ \frac{ t(1 – t)}{n} }$.} 31. 11.a) Justifier l’existence d’un r\’eel $M_f$ tel que : $\forall (a, b) \in [0,1]^2$, $|f(a)-f(b)|\leq M_f |a-b|$.\\ Dans toute la suite de cette question, on suppose que $M_f$ est un r\’eel choisi de telle sorte que :\\ $\forall (a, b) \in [0,1]^2,\ |f(a) – f(b)| \leq M_f |a-b|$. 32. 11.b) Montrer que, pour tout $t \in [0,1]$, $\mathbb{E}(|f(t) – f(T^n)|) \leq M_f \sqrt{\frac{t(1-t)}{n}}$. 33. 11.c) En d\’eduire que, pour tout $t \in [0,1]$, $|f(t) – B_n(f)(t)| \leq \frac{M_f}{2\sqrt{n}}$. 34. 11.d) Montrer que $(B_n(f))_{n\in\mathbb{N}^*}$ converge uniform\’ement vers $f$ sur $[0,1]$. 35. 12. Montrer que $\lim_{n\to+\infty} \left( \int_0^1 B_n(f)(x)\,dx \right) = \int_0^1 f(x)\,dx$.} 36. 13.a) Montrer que, pour tout $a\in\mathbb{N}^*$ et $b\in\mathbb{N}$, \[ \int_0^1 x^a (1-x)^b dx = \frac{a}{b+1} \int_0^1 x^{a-1} (1-x)^{b+1} dx. \] 37. 13.b) En d\’eduire que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$, le r\’eel $\int_0^1 p_{k,n}(x) dx$ est ind\’ependant de l’entier $k$ et que $\int_0^1 p_{k,n}(x) dx = \frac{1}{n+1}$. 38. 13.c) En d\’eduire que $\lim_{n \to +\infty} S_n(f) = \int_0^1 f(x)dx$. 39. 14. Montrer que le r\’esultat de la question 13.c) reste vrai pour la seule hypoth\`ese que $f$ est continue sur $[0,1]$. 40. 15.a) Montrer que, pour tout $x \in [0,1]$, l’int\’egrale $\int_0^{+\infty} \frac{u^a (1 + x u)^b}{(1 + u)^c} du$ est convergente.} 41. 15.b) Montrer que, pour $b \geq 1$, la fonction $F : x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{u^a (1 + x u)^b}{(1 + u)^c} du$ est de classe $C^1$ sur $[0,1]$. 42. 15.c) Montrer que la fonction $h:t \mapsto \frac{t}{1-t}$,\quad $[0,1[\rightarrow[0,+\infty[$ est une fonction de classe $C^1$ qui est strictement croissante et bijective. 43. 15.d) En utilisant le changement de variable $u = \frac{t}{1-t}$, calculer $F(0)$; en d\’eduire la valeur de $F(1)$. 44. 16. Montrer que $\binom{n}{k} \sim \frac{n^k}{k!}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et en d\’eduire, pour tout $t \in ]0,1[$, un \’equivalent de $f_n(t)$ quand $n$ tend vers $+\infty$. 45. 17. \’Etablir que $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$.} 46. 18. D\’eterminer $S(t)$ pour $t=0$ et pour $t=1$. 47. 19.a) Donner le d\’eveloppement en s\’erie enti\`ere au voisinage de $0$ de la fonction $u \mapsto \frac{1}{1-u}$. 48. 19.b) En d\’eduire que, pour tout $u \in [0,1[$, $\sum_{n=k}^{+\infty} n(n-1)\cdots(n-k+1) u^{n-k} = \frac{k!}{(1-u)^{k+1}}$. 49. 19.c) Montrer que, pour tout $t \in ]0,1]$, $S(t) = \frac{1}{t}$. 50. 19.d) La s\’erie $(f_n)$ converge-t-elle normalement sur $[0,1]$~?}FAQ
Le sujet de mathématiques du CCINP 2016 pour la filière PC balaye des notions fondamentales que tu dois absolument connaître : polynômes de Bernstein, convexité, étude de courbes et de tangentes, probabilités (loi binomiale), propriétés des endomorphismes, convergence et approximation de fonctions, et enfin, calculs d’intégrales et séries. Ces thèmes classiques reviennent régulièrement dans les sujets d’oraux et d’écrits de concours. Si tu veux progresser, rien de tel que de débloquer les corrigés détaillés sur Prépa Booster pour t’entraîner de manière ciblée.
Les polynômes de Bernstein sont incontournables en analyse et en probabilités. Ils servent notamment à montrer l’approximation uniforme des fonctions continues sur [0,1] (théorème de Bernstein) et fournissent un lien naturel avec les lois binomiales. Ces outils sont très présents en concours pour aborder à la fois la partie pure d’analyse et celle de probabilités. En pratique, ils jouent aussi un rôle en informatique graphique (courbes de Bézier), preuve que ces notions dépassent largement le cadre du concours.
Commence toujours par bien identifier la loi utilisée (ici la loi binomiale), puis calcule les paramètres comme l’espérance et la variance, qui sont souvent demandés. Pense aussi à relier ces notions aux polynômes de Bernstein, car l’énoncé fait le lien, notamment lorsque tu dois retrouver des sommes qui retombent sur l’espérance ou des inégalités de variance (comme l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev). Pour aller plus loin et t’exercer efficacement sur ce type de questions, débloque les corrigés des exercices sur Prépa Booster et bénéficie d’un dashboard personnalisé qui suivra tes progrès.
Un espace vectoriel est dit stable par un endomorphisme si l’image de n’importe quel vecteur de cet espace est encore dans l’espace. C’est crucial car cela permet de restreindre l’étude d’un endomorphisme à un sous-espace, facilitant sa diagonalisation ou sa réduction. En concours, cette propriété simplifie la résolution des questions sur les applications linéaires et matricielles.
La convergence uniforme est essentielle car elle garantit que les approximations de fonctions (par des polynômes par exemple) sont robustes et contrôlées sur tout l’intervalle. C’est une clé de voûte de l’analyse et beaucoup de résultats classiques (comme le théorème de Weierstrass ou de Bernstein) sont au programme pour cette raison. Maîtriser ces notions, c’est se donner les moyens d’aborder sereinement de nombreux sujets d’écrits ou d’oraux.
Oui, car de nombreuses questions d’épreuve s’appuient sur l’étude de la convergence de suites de matrices, leur diagonalisation et les changements de bases (comme avec les matrices Q et H du sujet). Ces techniques reviennent dans énormément d’applications, que ce soit en mathématiques pures, physique ou probabilité. Savoir jongler avec ces outils, c’est te donner un vrai avantage le jour J.
Oui, ils permettent de relier l’analyse, les probabilités et l’algèbre dans de nombreux sujets. Savoir manipuler une intégrale à l’aide d’un changement de variable ou prouver la convergence de fonctions par intégration, c’est souvent la clé pour débloquer un exercice difficile. Ces compétences sont indispensables pour réussir les épreuves de maths du CCINP et pour t’entraîner, rien de tel que d’étudier les corrigés commentés.
Absolument ! La convexité est une propriété géométrique fondamentale : elle intervient dans de nombreux contextes en maths comme en physique ou en optimisation. Pour les concours, il faut savoir la reconnaître, la prouver, et utiliser ses propriétés (par exemple pour garantir l’existence de barycentres ou l’inclusion de courbes et de segments).
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