Questions du sujet
1. I.1 Déterminer suivant les valeurs de $a$, le rang de la matrice $A(a) – \lambda I_3$. Quelle valeur propre de $A(a)$ a-t-on ainsi mise en évidence ? Préciser la dimension du sous-espace propre associé. 2. I.2 Montrer que $u_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ est vecteur propre de $A(a)$, puis déterminer les valeurs propres de $A(a)$. 3. I.3 \begin{itemize} \item[(a)] Montrer que pour tout $a \in \mathbb{R}$, $A(a)$ est trigonalisable. \item[(b)] Déterminer l’ensemble des valeurs de $a$ pour lesquelles $A(a)$ est diagonalisable. \end{itemize} 4. I.4 Dans cette question, on suppose $a=1$. \begin{itemize} \item[(a)] Déterminer $P$ inversible et $D$ diagonale dans $\mathbb{M}_3(\mathbb{R})$ telles que $P^{-1}A(1)P = D$, puis déterminer une racine carrée de $A(1)$. \item[(b)] Montrer que la matrice $M = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ admet une infinité de racines carrées dans $\mathbb{M}_2(\mathbb{R})$. En déduire que $A(1)$ admet une infinité de racines carrées dans $\mathbb{M}_3(\mathbb{R})$. \end{itemize} 5. I.5 Dans cette question, on suppose $a = -2$ et on pose $B = A(-2)$. Calculer $B^2$ et en déduire l’existence de $K$ et $L$ réels tels que $K I_3 + L B$ soit une racine carrée de $B$ dans $\mathbb{M}_3(\mathbb{R})$.} 6. I.6 Dans cette question, on suppose $a = \dfrac{1}{2}$ et on note $M = A\left(\dfrac{1}{2}\right)$. \begin{itemize} \item[(a)] Déterminer tous les éléments $X = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}$ de $\mathbb{R}^3$ tels que $M X = 0$. \item[(b)] Déterminer une base $\mathcal{U}$ de $\mathbb{R}^3$ telle que la matrice de $M$ dans cette base soit $V = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$. \item[(c)] Déterminer les matrices commutant avec $V$. En déduire que $V$ ne possède pas de racine carrée dans $\mathbb{M}_3(\mathbb{R})$. \item[(d)] La matrice $M$ possède-t-elle une racine carrée dans $\mathbb{C}^{3 \times 3}$ ? \end{itemize} 7. II.1 Soient $x_1, \dots, x_n$ réels distincts deux à deux et $V$ l’application de $\mathbb{R}_n[X]$ dans $\mathbb{R}^n$ définie par \[ V(P) = (P(x_1), P(x_2), \dots, P(x_n)). \] \begin{itemize} \item[(a)] Montrer que $V$ est une application linéaire injective. \item[(b)] En déduire que quels que soient les réels $y_1, \dots, y_n$, il existe un unique polynôme $P$ de $\mathbb{R}_n[X]$ vérifiant $P(x_i) = y_i$ pour $i = 1, \dots, n$. \end{itemize} 8. II.2 Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $\mathbb{R}_n[X]$ diagonalisables et vérifiant $f \circ g = g \circ f$. \begin{itemize} \item[(a)] Démontrer, sans se contenter d’énoncer le résultat du cours, que tout sous-espace propre de $f$ est stable par $g$. \item[(b)] Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ les valeurs propres distinctes de $f$ et $E_1, \dots, E_r$ les sous-espaces propres de $f$ respectivement associés. Pour tout $1 \leq i \leq r$, on note $g_i$ l’endomorphisme de $E_i$ induit par $g$. Montrer que pour tout $i$, il existe une base de $E_i$ formée de vecteurs propres de $g$. En déduire qu’il existe une base de $\mathbb{R}_n[X]$ telle que les matrices de $f$ et $g$ dans cette base soient toutes deux diagonales. \end{itemize} 9. II.3 Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathbb{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisables et vérifiant $AB = BA$. Montrer qu’il existe $P \in \mathbb{GL}_n(\mathbb{R})$ telle que $P^{-1}AP$ et $P^{-1}BP$ soient toutes deux diagonales. 10. II.4 Soit $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. \begin{itemize} \item[(a)] Montrer que $S$ est positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives. \item[(b)] Montrer de même que $S$ est définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. \end{itemize}} 11. II.5 Soit $S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. On note $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ les valeurs propres deux à deux distinctes de $S$. \begin{itemize} \item[(a)] Montrer qu’il existe un unique polynôme $f$ de degré inférieur ou égal à $r-1$ vérifiant $f(\lambda_i) = \sqrt{\lambda_i}$ pour $i=1,\dots,r$. \item[(b)] Montrer que $f(S)$ est symétrique positive. \item[(c)] Montrer que $(f(S))^2 = S$. \item[(d)] On souhaite montrer l’unicité d’une matrice symétrique positive qui soit une racine carrée de $S$. Soit donc $P \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ telle que $P^2 = S$. Montrer que $P$ commute avec $S$ puis avec $f(S)$ et conclure. \item[(e)] Dans cette question, on suppose que $S$ admet seulement deux valeurs propres distinctes $\lambda_1$ et $\lambda_2$. Montrer que \[ \sqrt{S} = \frac{\sqrt{\lambda_1} – \sqrt{\lambda_2}}{\lambda_1 – \lambda_2}(S – \lambda_2 I_n) + \sqrt{\lambda_2} I_n. \] \end{itemize} 12. II.6 Soit $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. \begin{itemize} \item[(a)] Montrer que $|S|^2 = S^2$, où $|S| = \sqrt{S^2}$. On note alors $|S| = \sqrt{S^2}$ et cette matrice est appelée valeur absolue de la matrice $S$. \item[(b)] Montrer que les matrices $|S| + S$ et $|S| – S$ sont dans $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. \item[(c)] Soient $S_1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ et $S_2 = \begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$. Calculer $|S_1|$ et $|S_2|$. \end{itemize} 13. III.1 Montrer que pour tout $n \geq 0$, $a_n \geq 0$ et $b_n \geq 0$. 14. III.2 On définit les suites $(c_n)$ et $(d_n)$ en posant pour tout $n \geq 0$, $c_n = a_nb_n$, $d_n = \frac{a_n}{b_n}$. \begin{itemize} \item[(a)] Étudier la suite $(d_n)$. \item[(b)] Établir une relation de récurrence vérifiée par les termes de la suite $(c_n)$. \item[(c)] Montrer que pour tout entier $n \geq 0$, $c_n \leq a_0 b_0$. \item[(d)] Étudier la convergence de la suite $(c_n)$. \end{itemize} 15. III.3 Déduire des questions précédentes que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ convergent et préciser leurs limites respectives.} 16. III.4 \begin{itemize} \item[(a)] Montrer que toute matrice symétrique définie positive est inversible. \item[(b)] Montrer que l’inverse d’une matrice symétrique définie positive est symétrique et définie positive. \item[(c)] Montrer que la somme de deux matrices symétriques définies positives est symétrique définie positive. \end{itemize} 17. III.5 Soit $S$ une matrice symétrique définie positive d’ordre $n$. On considère les deux suites de matrices $(S_n)$ et $(T_n)$ définies par leurs premiers termes $S_0 = S$, $T_0 = I_n$ et les relations de récurrence : \[ S_{k+1} = \frac{1}{2}(S_k + T_k^{-1}), \quad T_{k+1} = \frac{1}{2}(T_k + S_k^{-1}) \] Montrer que pour tout $n \geq 0$, $S_n$ et $T_n$ sont symétriques définies positives. 18. III.6 Soit $D$ diagonale et $Q$ orthogonale telle que $S = Q D Q^{-1}$. \begin{itemize} \item[(a)] Montrer que $D$ est symétrique définie positive. \item[(b)] On pose, pour tout $n \geq 0$, $D_n = Q^{-1} S_n Q$ et $E_n = Q^{-1} T_n Q$. Montrer que les matrices $D_n$ et $E_n$ sont des matrices diagonales inversibles vérifiant \[ D_{k+1} = \frac{1}{2}(D_k + E_k^{-1}), \quad E_{k+1} = \frac{1}{2}(E_k + D_k^{-1}). \] \item[(c)] Montrer que les suites $(D_n)$ et $(E_n)$ sont toutes deux convergentes dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vers une même limite qu’on précisera. \end{itemize} 19. III.7 \begin{itemize} \item[(a)] Montrer que l’application de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dans lui-même qui à $A$ associe $Q A Q^{-1}$ est continue. \item[(b)] En déduire que les suites $(S_n)$ et $(T_n)$ sont aussi convergentes dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et préciser leur limite. \end{itemize}}FAQ
Pour déterminer si une matrice est diagonalisable, il faut vérifier que la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension totale de l’espace. En pratique, ça revient à voir si le nombre de vecteurs propres indépendants atteint le rang de la matrice. Si ce n’est pas le cas mais que tous ses coefficients caractéristiques se factorisent en polynômes de degré un (s’il y a suffisamment de valeurs propres, mais pas assez de vecteurs propres), alors la matrice reste trigonalisable sur le corps considéré (en général ℝ ou ℂ). Ces notions sont incontournables pour réussir ton concours CCINP en filière PC.
La racine carrée d’une matrice A est toute matrice B telle que B² = A. Ce concept intervient souvent lorsque tu travailles avec des matrices symétriques ou positives, notamment pour des questions de stabilité ou lors du calcul de normes et valeurs absolues matricielles. Dans le sujet CCINP 2007, tu as pu remarquer qu’on te demande d’exhiber des racines carrées dans différents contextes (matrice diagonalisable, matrice nilpotente, matrices symétriques réelles). Comprendre ce point, c’est t’armer pour réussir aussi bien l’écrit que l’oral.
Les matrices symétriques définies positives jouent un rôle fondamental, que ce soit pour démontrer des propriétés d’inversibilité, pour calculer des racines carrées ou pour assurer certaines convergences de suites matricielles. Retenir que toutes leurs valeurs propres sont strictement positives facilite l’étude de nombreux algorithmes (notamment ceux qui recourent à des suites récurrentes de matrices, comme dans ce sujet CCINP). Si tu veux maîtriser tous ces outils, je t’encourage à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour accéder à des corrections détaillées, des techniques propres aux concours et des exercices supplémentaires ciblés sur les matrices symétriques, leur inversion et les propriétés associées.
La commutativité de deux matrices A et B (c’est-à-dire AB = BA) permet d’affirmer sous certaines conditions un résultat puissant : il existe une base dans laquelle les deux matrices sont simultanément diagonales. C’est crucial, car cela simplifie énormément les calculs d’applications composées, d’endomorphismes, ou de puissances matricielles, toutes des situations fréquentes au concours CCINP. Ce point est abordé en filière PC dans de nombreux sujets pour tester ta maîtrise des bases de l’algèbre linéaire appliquée.
Pour des suites définies par récurrence, surtout quand elles sont couplées (exemple : cₙ = aₙbₙ, dₙ = aₙ/bₙ), il faut commencer par étudier la croissance ou la décroissance, puis chercher à borner la suite (par inégalités, récurrence, monotonicité) et enfin appliquer le théorème de convergence adaptée (théorème des suites monotones par exemple). Ce type de question est très classique en concours CCINP filière PC : il combine rigueur de raisonnement et finesse de calcul. Pour t’entraîner efficacement, pense à l’espace d’exercices et de corrections détaillées disponible dès que tu débloques les corrigés sur Prépa Booster.
L’épreuve CCINP valorise ta capacité à manipuler les matrices (diagonalisabilité, racines carrées, suites récurrentes), à maîtriser les applications linéaires et leurs propriétés fondamentales (injectivité, stabilité des sous-espaces propres), à travailler sur les polynômes d’interpolation, et à établir des convergences d’algorithmes numériques. Tout ceci s’inscrit dans des raisonnements rigoureux attendus au niveau CPGE scientifique, qui sont essentiels pour les épreuves écrites mais aussi pour préparer la suite, comme l’oral ou la poursuite en école d’ingénieur.