Questions du sujet
1. I.1 Soit $A$ la matrice de $M_5(\mathbb{R})$ donnée par : \[ A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \] \begin{enumerate} \item[a)] Déterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels $\ker A$ et $\ker A^2$. Existe-t-il une relation d’inclusion entre les noyaux $\ker A$ et $\ker A^2$ ? \item[b)] Déterminer une base de chacun des sous-espaces vectoriels $\mathrm{Im} A$ et $\mathrm{Im} A^2$. Existe-t-il une relation d’inclusion entre les images $\mathrm{Im} A$ et $\mathrm{Im} A^2$ ? \end{enumerate} 2. I.2 Soit $U \in M_n(\mathbb{R})$ symétrique. \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que $\ker U^2 = \ker U$ et $\ker (U^2) = \ker (U^2)$. \item[b)] Montrer que $\mathrm{Im} (U^2) = \mathrm{Im}(U^2) = \mathrm{Im}(U)$. \item[c)] Montrer que $\mathrm{Im}(U^2) = \mathrm{Im}(U)$ et $\mathrm{Im}(U^2) = \mathrm{Im}(U)$. \end{enumerate} 3. I.3 Soit $k$ un entier naturel non nul et $\mathcal{F} = (x_1, \ldots, x_k)$ un système de $k$ vecteurs de $\mathbb{R}^n$. On note $a$ le sous-espace vectoriel engendré par $\mathcal{F}$, $b = \dim a$ et $G = (g_{ij})$ la matrice de $M_k(\mathbb{R})$ définie par $g_{ij} = \langle x_i, x_j\rangle$ pour tout $1 \leq i,j \leq k$. Le déterminant de $G$ est appelé déterminant de Gram du système $\mathcal{F}$ et sera noté $\operatorname{Gram}(\mathcal{F})$. Soit $e_1, \ldots, e_b$ une base orthonormale de $a$, on note pour tout $i\in\{1,\ldots,k\}$, $y_i = (x_i|e_1, \ldots, x_i|e_b)$ et $H$ la matrice de $M_{b,k}(\mathbb{R})$ de terme général $h_{ij} = (x_i|e_j)$. \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que $G= {}^tH H$ et en déduire $\operatorname{rank} (G) = \operatorname{rank} (H)$. \item[b)] Montrer que $G$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes positives. \item[c)] En déduire que $\operatorname{Gram}(\mathcal{F}) \geq 0$ et que $\operatorname{Gram}(\mathcal{F})=0$ si et seulement si la famille $(x_1,\ldots,x_k)$ est liée. \item[d)] Montrer que l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec sa condition nécessaire et suffisante d’égalité est un cas particulier de ce résultat. \end{enumerate} 4. I.4 Montrer que $\operatorname{Gram}(\mathcal{F})$ reste invariant si l’on ajoute à l’un des vecteurs $x_i$ une combinaison linéaire des autres. 5. I.5 Dans cette question $k \geq 2$. \begin{enumerate} \item[a)] On note $v$ le sous-espace vectoriel engendré par $(x_2,\ldots,x_k)$ et $p_{x_1}$ la projection orthogonale de $x_1$ sur $v$, puis on pose $z_1 = x_1 – p_{x_1}$. Montrer que : \[ \operatorname{Gram}(x_1,x_2,\ldots,x_k) = \|z_1\|^2\operatorname{Gram}(x_2,\ldots,x_k) \] \end{enumerate} } 6. I.5 b) En déduire successivement : \begin{enumerate} \item[i)] $|x_1, x_2| \leq \|x_1\|\|x_2\|$ avec égalité si et seulement si $x_1$ est orthogonal à $x_2$. \item[ii)] $|x_1, x_2, \ldots, x_k| \leq \|x_1\|\|x_2\|\ldots\|x_k\|$, avec égalité si et seulement si les vecteurs $x_1,\ldots, x_k$ sont deux à deux orthogonaux. \end{enumerate} 7. I.6 Soit $A = (a_{ij}) \in M_{k,n}(\mathbb{R})$ et $(x_1,\ldots,x_n)$ ses vecteurs colonnes. \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que \[ \det ({}^tA A) \leq \prod_{i=1}^n \|x_i\|^2 \] avec égalité si et seulement si les vecteurs $x_1,\ldots,x_n$ sont deux à deux orthogonaux. \item[b)] On suppose de plus : $k=n$ et $\det ({}^tA A) \neq 0$. Montrer que \[ |\det A| \leq \prod_{i=1}^n \|x_i\| \] avec égalité si et seulement si $A$ est une matrice à coefficients dans $\mathbb{R}$ dont les vecteurs colonnes sont deux à deux orthogonaux. \end{enumerate} 8. II.1 Déterminer explicitement toutes les matrices éléments de $\Omega_1$. 9. II.2 \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que toute matrice $A$ de $\Omega_n$ vérifie $A^tA = D$ où $D$ est une matrice diagonale d’ordre $n$ à coefficients positifs ou nuls. \item[b)] Réciproquement, toute matrice carrée $A$ vérifiant $A^tA = D$ où $D$ est diagonale, est-elle dans $\Omega_n$ ? \item[c)] Montrer que si $A$ est à coefficients dans $\mathbb{R}$ et vérifie $A^tA = D$ où $D$ est diagonale à coefficients strictement positifs, alors $A$ est dans $\Omega_n$. \end{enumerate} 10. II.3 On appelle permutation $\sigma$ de $J_n$ toute bijection de $J_n$ sur lui-même et matrice de permutation $P_\sigma$ associée à la permutation $\sigma$, la matrice d’éléments $P_{\sigma_{ij}}$ donnés par : \[ P_{\sigma_{ij}} = \delta_{j, \sigma(i)} \] où $\delta$ désigne le symbole de Kronecker. } 11. II.4 Soit $\sigma$ une permutation de $J_n$ et $A \in M_{n,p}(\mathbb{R})$. \begin{enumerate} \item[a)] Donner le terme général de la matrice $P_\sigma A$. Comment obtient-on cette matrice $P_\sigma A$ à partir de $A$ ? \item[b)] Donner le terme général de la matrice $A P_\sigma$. Comment obtient-on cette matrice $A P_\sigma$ à partir de $A$ ? \item[c)] Montrer que si $A$ appartient à $\mathscr{O}_n$, il en est de même de $P_\sigma A$, des matrices $P_\sigma A$ et $A P_\sigma$ pour toute permutation $\sigma$ ainsi que des matrices $AK$ et $KA$ pour toute matrice $K \in \mathscr{D}_n$. \end{enumerate} 12. II.4 On définit le produit direct de $A \in M_{n}(\mathbb{R})$ et $B \in M_{p}(\mathbb{R})$ par : \[ A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11}B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{p1}B & \cdots & a_{pn}B \\ \end{pmatrix} \] \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que si $A \in \mathscr{O}_n$ et $B \in \mathscr{O}_p$, alors $A\otimes B \in \mathscr{O}_{np}$. \item[b)] En déduire que $\mathscr{O}$ contient toutes les puissances de $O$. \item[c)] Montrer que l’ensemble $\{A\otimes B \,|\, A\in \mathscr{O}_n,\, B\in \mathscr{O}_p\}$ est strictement inclus dans $\mathscr{O}_{np}$. \end{enumerate} 13. II.5 Soit $n \in \mathbb{N}^{\ast}, n \geq 2$. \begin{enumerate} \item[a)] Montrer qu’il existe un élément de $\mathscr{O}_{n}$ dont tous les coefficients de la première colonne valent 1. Déduire alors de l’orthogonalité des vecteurs colonnes 1 et 2 d’une telle matrice que $n$ est pair. On pose $n = 2q$. \item[b)] Montrer qu’il existe un élément de $\mathscr{O}_{n}$ dont tous les coefficients de la première colonne valent 1 et dont la deuxième colonne est constituée de $q$ coefficients égaux à 1 suivis de $q$ coefficients égaux à $-1$. Déduire alors de l’orthogonalité du troisième vecteur colonne avec les vecteurs colonnes 1 et 2 que $n$ est un multiple de 4. \end{enumerate} 14. III.1 Soit $A \in S_n^{++}$. Montrer que $A \in S_n^{++}$ si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. 15. III.2 Soit $B \in M_n(\mathbb{R})$. On souhaite montrer l’existence de $Q$ orthogonale et $A$ symétrique définie positive telle que $B=QA$. \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que la matrice ${}^tB B$ est symétrique définie positive. \item[b)] En déduire qu’il existe $A \in S_n^{++}$ tel que ${}^tB B = A^2$. \item[c)] Montrer que $A$ est inversible et que $QB^{-1}A$ est orthogonale. \item[d)] Conclure. Dans toute la suite du problème, on admettra l’unicité d’une telle factorisation. \end{enumerate} } 16. III.3 Soit $A \in S_n^{++}$, $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ ses valeurs propres non nécessairement distinctes, $D$ la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ et $P \in O_n(\mathbb{R})$. \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que $\det(PAP^{-1}) = \det(A)$. \item[b)] Montrer qu’il existe une matrice orthogonale $P$ telle que $PAP^{-1} = D$ et en déduire : \[ \det(PAP^{-1}) = \det A \] \item[c)] Montrer que $\operatorname{tr}(PAP^{-1}) = \operatorname{tr}(A)$. \end{enumerate} 17. III.4 Soit $n \in \mathbb{N}^{\ast}$. Pour toute matrice $A = (a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ de $M_n(\mathbb{R})$, on pose : \[ S(A) = \sup\{\|Av\|\,|\, v \in \mathbb{R}^n, \|v\| = 1\} \] \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que l’application $A\mapsto S(A)$ ainsi définie de $M_n(\mathbb{R})$ dans $\mathbb{R}^+$ admet une borne supérieure que l’on notera $M_n$. \item[b)] Soit $T = (t_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ la matrice triangulaire inférieure d’ordre $n$ définie par $t_{ij} = 1$ si $i\geq j$ et $t_{ij}=0$ si $iFAQ
Dans le sujet CCINP Maths PC 2004, tu travailles sur des notions essentielles telles que le noyau (ker) et l’image (Im) d’une matrice, la diagonalisabilité, les propriétés des matrices symétriques, les valeurs propres, ainsi que les bases des sous-espaces vectoriels. On retrouve aussi l’étude des matrices définies positives et orthogonales, qui sont incontournables pour maîtriser l’algèbre linéaire en prépa scientifique.
Une matrice réelle symétrique est dite définie positive si, pour tout vecteur non nul x, le produit scalaire xᵗAx est strictement positif. Dans le sujet, tu constates que toutes ses valeurs propres doivent être positives, et cette condition est équivalente à la positivité définie. Cette notion revient très souvent dans les concours scientifiques car elle intervient dans la factorisation des matrices (comme la décomposition de Cholesky ou la factorisation orthogonale-symétrique du type B=QA) et dans les inégalités fondamentales de l’algèbre linéaire.
Le déterminant de Gram, associé à une famille de vecteurs, mesure le ‘volume’ du parallélépipède généré par ces vecteurs dans un espace euclidien. Il est nul si et seulement si la famille de vecteurs est liée (donc non libre), et il intervient dans de nombreux résultats importants comme l’inégalité de Cauchy-Schwarz. C’est aussi un outil précieux pour aborder l’orthogonalisation ou l’évaluation de distances/vecteurs dans l’espace. Besoin d’exercices corrigés sur le déterminant de Gram ? Pense à débloquer les corrigés depuis Prépa Booster pour maîtriser ce concept !
Les matrices de permutation servent à réarranger les lignes ou colonnes d’une matrice, alors que le produit de Kronecker permet de construire de grandes matrices à partir de matrices plus petites, tout en conservant certaines propriétés comme l’orthogonalité. Dans l’épreuve du CCINP PC 2004, tu dois prouver que ces opérations peuvent faire apparaître des structures orthogonales plus complexes, un point fréquemment interrogé au concours. Prends le temps de bien relier ces outils aux problématiques de transformations linéaires et de symétries dans l’espace.
L’inégalité de Cauchy-Schwarz est un résultat fondamental en algèbre linéaire et en analyse, car elle structure toute l’étude des espaces vectoriels euclidiens. Sa version matricielle ou vectorielle intervient dès qu’on parle de normes ou de produits scalaires. Au concours comme dans les sujets du CCINP, elle met en évidence l’importance de l’orthogonalité et de la norme. Maîtriser cette inégalité et ses cas d’égalité, c’est se donner les moyens de réussir dans l’intégralité des chapitres de maths en prépa.
Pour cartonner sur les matrices orthogonales et les applications linéaires, commence par revoir les définitions et propriétés de base (produit scalaire, orthogonalité, symétrie), puis entraîne-toi à démontrer des propriétés à partir des axiomes (par exemple, l’invariance de la norme, la diagonalisabilité des matrices symétriques, etc.). Enfin, consacre du temps sur les exercices types concours, disponibles sur Prépa Booster. Débloque les corrigés pour accéder à un panel d’annales corrigées, d’exercices variés et à un dashboard qui t’aidera à cibler tes points faibles !