Questions du sujet
1. Écrire une fonction produit A B ( , ) prenant en arguments deux matrices carrées A et B de mêmes dimensions et qui renvoie AB le produit de la matrice A par la matrice B . 2. Écrire une fonction oriente A( ) prenant en argument la matrice d’adjacence A d’un graphe et qui retourne True si le graphe est orienté et False sinon. 3. On admet que le nombre de chemins de longueur p reliant i et j dans un graphe de matrice d’adjacence A est égal au coefficient d’indice (\(i,j\)) de la matrice \(A^p\).\\ Écrire une fonction distance A i j ( , , ) où A est la matrice d’adjacence d’un graphe et qui renvoie le nombre minimal d’arêtes que l’on doit parcourir pour atteindre le sommet j depuis le sommet i (on suppose qu’un tel chemin existe). 4. Écrire une requête SQL permettant d’extraire les identifiants de tous les clients provenant de la ville de « Toulouse ». 5. Écrire une requête SQL permettant d’extraire les emails de tous les clients ayant « SCEI » comme partenaire.} 6. Établir que l’équation \( x e^{-x} = \) admet une unique solution sur \( \mathbb{R} \). 7. Démontrer que \( f \) possède un unique point critique \( (x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2 \). 8. À l’aide de la matrice hessienne, démontrer que \( f \) admet un extremum local en \( (x_0, y_0) \).\\ Est-ce un minimum ou un maximum ? 9. Démontrer que \(\frac{x^{\alpha-1}}{x+1}\) est intégrable sur \(]0,1]\) et sur \([1,+\infty[\). 10. Démontrer que \(J(\alpha)=I(1-\alpha)\).} 11. Pour tout \( x \in ]0,1[ \), on pose \(f_n(x) = x^{n+\alpha-1} – x^{n}\). Montrer que :\\ Pour tout \(x \in ]0,1[\), \(\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x) = \frac{x^{\alpha-1}}{x+1}\).\\ La série de fonctions \(\sum f_n\) converge-t-elle uniformément sur \(]0,1[\) ? 12. Pour tout \( x \in ]0,1[ \), on pose : \( S_n(x) = \sum_{k=0}^n (x^{k+\alpha-1} – x^{k+\alpha}) \).\\ À l’aide du théorème de convergence dominée, montrer que : \(\lim_{n\to+\infty} \int_0^1 S_n(x) dx = I(\alpha)\).\\ En déduire une expression de \(I(\alpha)\) sous forme d’une somme de série. 13. En déduire que :\\ \(I(\alpha) – J(\alpha) = \int_0^{+\infty} \frac{x^{\alpha-1}}{x+1}\, dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n+\alpha} – \frac{1}{n+1}\). 14. On admet la formule suivante :\\ Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(0 < \alpha < 1\), \( \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sin((n+1)\pi\alpha)}{n+1} = \frac{\pi}{\sin(\pi\alpha)}\).\\ Démontrer que :\\ \( \int_0^{+\infty} \frac{x^{\alpha-1}}{x+1}dx = \frac{\pi}{\sin(\pi\alpha)} \). 15. Dans toute la suite, on pose :\\ \( \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt \) sur \(]0,+\infty[\),\\ et\\ \(f_\alpha(x) = \int_0^{+\infty} \frac{t^{x-1} e^{-t}}{t+\alpha} dt \) sur \([0,+\infty[\).\\ Démontrer que \( \Gamma \) est bien définie sur \(]0, +\infty[\).} 16. Démontrer que \(f_\alpha\) est bien définie et continue sur \([0, +\infty[\). 17. Démontrer que \(f_\alpha\) est de classe \(C^1\) sur \(]0, +\infty[\) et calculer sa dérivée. 18. Déterminer \( \lim_{x \to +\infty} f_\alpha(x) \). 19. Démontrer que \( \frac{e^{-t}}{t+\alpha} \) est intégrable sur \(]0, +\infty[\). En déduire :\\ \( \lim_{x \to +\infty} \int_0^{+\infty} \frac{t^{x-1} e^{-t}}{t+\alpha} dt \). 20. Pour tout \(x \in ]0, +\infty[\), démontrer que :\\ \( \Gamma(x) f_\alpha(x) - f_\alpha'(x) = 0 \).} 21. Pour tout \(x \in ]0, +\infty[\), on pose :\\ \(g_\alpha(x) = \Gamma(x) \int_0^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} \frac{dt}{t+\alpha}\).\\ Vérifier que \(g_\alpha\) est une solution particulière de l’équation différentielle \( y' = \Gamma(x) - y \).\\ En déduire que \( \forall x \in ]0, +\infty[ ~,~ f_\alpha(x) = g_\alpha(x) \). 22. En déduire que :\\ \(\int_0^{+\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} dt \cdot \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t+\alpha}dt = \Gamma(\alpha) \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t+\alpha} dt\). 23. Démontrer l’identité suivante (formule des compléments) :\\ \( \Gamma(\alpha) \Gamma(1-\alpha) = \frac{\pi}{\sin(\pi\alpha)} \). 24. En déduire la valeur de l’intégrale de Gauss :\\ \(\int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt\).}FAQ
Dans ce sujet, tu dois maîtriser l’algèbre linéaire (produit de matrices, graphe et matrices d’adjacence), l’analyse (intégrales, séries de fonctions, étude des extrema), ainsi que la combinatoire appliquée aux graphes. Le sujet fait aussi appel à des connaissances sur la fonction Gamma, les équations différentielles, et des applications de l’analyse complexe (identités classiques comme la formule des compléments).
On t’attendait notamment sur la programmation de fonctions manipulant des matrices (produit de matrices, tests sur des graphes à partir de matrices d’adjacence) et l’algorithmique liée à la théorie des graphes (calcul de distance minimale, parcours de graphe). Savoir traduire un énoncé mathématique en code efficace et lisible fait vraiment la différence au concours.
La fonction Gamma t’ouvre la porte à tout un pan de l’analyse avancée, notamment pour relier séries, intégrales et fonctions spéciales. Elle apparaît dans la résolution d’intégrales de Gauss, mais aussi dans les relations de symétrie, la formule des compléments ou le prolongement analytique. Pour la travailler, reprends bien sa définition, ses propriétés (continuité, différentiabilité…), et amuse-toi à démontrer les identités classiques. Et si tu veux vraiment aller plus loin, débloque les corrigés sur Prépa Booster : tu accéderas aux solutions détaillées, aux exercices corrigés et à des explications sur-mesure !
Reprends les théorèmes classiques : convergence dominée, intégration terme à terme, théorème d’intégration sous le signe somme, etc. Entraîne-toi sur des cas variés : intégrales sur ]0,1], intégrales sur [1,+infini[, intégrales généralisées. Essaie de traduire chaque étape en raisonnement clair, et rédige toujours la justification de l’existence de tes intégrales avant de manipuler la fonction !
La théorie des graphes est abordée à travers des matrices d’adjacence, des parcours, le calcul de distances ou encore l’étude des chemins d’une certaine longueur. On s’intéresse aussi à l’orientation des graphes, aux algorithmes (BFS, DFS), et à leur traduction algorithmique. Avoir de bons réflexes sur la structure des graphes et la manipulation de leur matrice d’adjacence fait clairement gagner du temps le jour J.
Attention à la distinction entre convergence simple et convergence uniforme ! Pour les fonctions définies sur des parties de ]0,1[, utilise les critères (Weierstrass, Dini, Cauchy) et n’oublie jamais de vérifier l’existence de la limite des sommes intégrales quand tu passes à la limite. Lis bien l’énoncé et justifie toujours l’application de la convergence dominée, c’est un incontournable.
Commence par trouver tous les points critiques (annulation du gradient), puis calcule la matrice hessienne en ces points. Utilise son déterminant et son signe pour caractériser le type d’extremum (minimum local, maximum local, point selle). Fais bien attention à la régularité de la fonction (C² exigé en général sur l’ouvert d’étude), et rédige la justification du signe de la hessienne pour décrocher les points du barème.
Assure-toi de bien comprendre la logique des requêtes SQL : sélection (SELECT), conditions (WHERE), et manipulations de bases de données simples. Les questions type CCINP sont conçues pour tester ta rigueur et ta syntaxe. Relis l’énoncé pour bien distinguer ce qui relève de la structure logique et ce qui doit être adapté selon le schéma de la base.