Questions du sujet
1. Calculer les deux intégrales doubles suivantes : a. $\iint_{T} (x + y) \, dx \, dy$ où $T = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2,\, x \leq 1 ,\, y \leq 1 ,\, x + y \geq 0 \}$. b. $\iint_{C} (x+y)\, dx\, dy$ où $C = [-1,1] \times [-1,1]$. 2. Pour $n$ entier naturel non nul, on considère l’équation différentielle linéaire $(E_n): xy’ – ny = 0$.\\ 1. Donner l’espace vectoriel des solutions de l’équation $(E_n)$ sur chacun des intervalles $I = ]-\infty, 0[$ et $J = ]0,+\infty[$. 3. Dans le cas où $n = 1$, déterminer uniquement par des considérations graphiques, l’espace vectoriel des solutions de $E_1$ sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Quelle est la dimension de cet espace vectoriel ? 4. Dans le cas où $n \geq 2$, déterminer avec soin l’espace vectoriel des solutions de $(E_n)$ sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Quelle est la dimension de cet espace vectoriel ? 5. En utilisant des développements en série entière « usuels », donner dans chaque cas, un exemple de suite $(a_n)$ telle que :\\ a. $(a_n)$ vérifie (P1) et (P2) ;\\ b. $(a_n)$ ne vérifie pas (P1) et vérifie (P2) ;\\ c. $(a_n)$ ne vérifie ni (P1) ni (P2) ;\\ d. La série $\sum a_n x^n$ ne converge pas uniformément sur l’intervalle $]-1,1[$ (justifier).} 6. On suppose que la série $\sum a_n$ est absolument convergente ; montrer alors que la fonction $f$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures et que $$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n. $$ 7. Déduire de la question précédente la somme de la série $$ \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n^2-n}. $$ 8. On suppose dans cette question que la série $\sum a_n$ converge.\\ a. Simplifier, pour tout $x \in [0,1]$, $\sum_{p=n+1}^{+\infty} r_p x^p – r_{n+1} x^{n+1}$.\\ b. En déduire que, pour tout $x \in [0,1[$, $$ R_n(x) = \sum_{p=n+1}^{+\infty} r_p (x^p – x^{n+1}) = (1-x) \sum_{p=n+1}^{+\infty} r_p x^{p} + r_{n+1} x^{n+1}. $$ c. Soit un réel $\varepsilon > 0$, justifier qu’il existe un entier $n_0$ tel que pour tout entier $n \geq n_0$ et tout entier naturel $p$ on ait $|r_{n+p}| \leq \varepsilon$, puis que :\\ pour tout entier $n \geq n_0$ et pour tout réel $x \in [0,1]$, $|R_n(x)| \leq \varepsilon$.\\ d. Conclure que la fonction $f$ admet une limite lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures et que $$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n. $$ 9. Que peut-on dire de la série $\sum a_n$ si $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ ? 10. Retrouver le développement en série entière en 0 de la fonction $x \mapsto \arctan x$ puis utiliser le théorème d’Abel pour écrire $\frac{\pi}{4}$ comme somme d’une série numérique.} 11. On rappelle que le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est une série absolument convergente.\\ a. Le produit de Cauchy de deux séries convergentes est-elle une série convergente ? (On pourra examiner le cas $u_n = v_n = \frac{1}{n}$ pour $n \geq 1$).\\ b. Soit $\sum u_n$, $\sum v_n$ deux séries de nombres réels, on pose pour $n$ entier naturel, $$ w_n = \sum_{k=0}^n u_k v_{n-k} $$ et on suppose que les trois séries $\sum u_n$, $\sum v_n$ et $\sum w_n$ convergent. Montrer, à l’aide du théorème d’Abel, qu’alors $$ \sum_{n=0}^{+\infty} w_n = \left(\sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right) \left(\sum_{n=0}^{+\infty} v_n \right). $$ 12. Justifier que la réciproque du théorème d’Abel est fausse.\\ On cherche à rajouter une condition (Q) à la condition (P2) de telle sorte que si $(a_n)$ vérifie (P2) et (Q), alors elle vérifie (P1). 13. On prend pour (Q) la propriété : pour tout entier $n$, $a_n \geq 0$.\\ Montrer que si $(a_n)$ vérifie les propriétés (P2) et (Q), alors elle vérifie la propriété (P1).\\ (On pourra montrer que $$ \sum_{k=0}^{n} a_k \leq \lim_{x \to 1^-} f(x). $$\\ Si on prend pour (Q) la propriété : la suite $(a_n)$ vérifie $a_n = \mathcal{O}(1/n)$ au voisinage de $+\infty$, on obtient le théorème de Littlewood dont on admettra la démonstration pour l’appliquer dans la partie suivante.) 14. Pour $p$ entier naturel non nul, on considère une suite $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ périodique de période $p$ formée d’éléments de l’ensemble $\{-1,1\}$.\\ Donner, en justifiant leur valeur, les rayons de convergence des séries entières $\sum_{n\geq 1} \varepsilon_n x^n$ et $\sum_{n\geq 1} \frac{\varepsilon_n}{n} x^n$.\\ On pose, pour $x \in ]-1,1[$ : $$ f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\varepsilon_n}{n} x^n \quad \text{et} \quad g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \varepsilon_n x^n $$ 15. Établir que la série $\sum_{n \geq 1} \frac{\varepsilon_n}{n}$ converge si et seulement si la fonction $F$ définie par : $$ F(x) = \int_0^x g(t) dt $$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $1$ par valeurs inférieures.} 16. Montrer que $g$ est une fraction rationnelle à déterminer. 17. Retrouver, uniquement par les deux questions précédentes, que la série harmonique $\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n}$ diverge et que la série alternée $\sum_{n\geq 1} \frac{(-1)^n}{n}$ converge en précisant sa somme. 18. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur la somme $\sum_{i=1}^p \varepsilon_i$ pour que la série $\sum_{n\geq 1} \frac{\varepsilon_n}{n}$ converge.\\ Que peut-on en conclure dans les cas où la période $p$ est un entier impair ? 19. Dans le cas où la suite $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ est périodique de période $6$ avec $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = \varepsilon_3 = \varepsilon_4 = 1$, $\varepsilon_5 = \varepsilon_6 = -1$, déterminer $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\varepsilon_n}{n}$ (il est demandé de détailler les calculs).}FAQ
L’épreuve CCINP Maths MP fait systématiquement appel à des outils fondamentaux de l’analyse réelle, notamment l’étude des suites et séries numériques, les développements en série entière, les intégrales simples et doubles, ainsi qu’à la résolution d’équations différentielles linéaires. On retrouve aussi des questions d’algèbre linéaire appliquée à la résolution de problèmes analytiques, et bien sûr, de l’analyse de convergence, d’uniformité, et de passage à la limite.
Dans les sujets de concours comme celui du CCINP MP 2005, l’étude des séries numériques, qu’elles soient d’ordre classique, alternées ou périodiques, montre à quel point comprendre la convergence (simple, absolue, uniforme) est fondamental. Ces outils servent aussi bien à l’analyse qu’à l’application directe pour calculer certaines sommes remarquables ou évaluer le comportement de solutions de certaines équations. Savoir manipuler les critères de convergence et la notion de rayon de convergence est absolument indispensable !
Le théorème d’Abel est un outil-clé pour relier la convergence d’une série (en particulier à la frontière de son intervalle de convergence) et le comportement de la fonction associée à sa série entière. Il permet souvent de justifier des passages à la limite délicats, par exemple pour garantir que la somme d’une série égale la valeur limite de la fonction générée à l’approche d’un bord. Comprendre ce théorème en profondeur permet d’éviter de nombreuses erreurs de raisonnement en analyse. D’ailleurs, pour t’entraîner sur cette notion et voir des corrections détaillées, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !
L’essentiel est d’analyser la définition du domaine d’intégration : s’agit-il d’un rectangle, d’un triangle, d’un domaine borné par des droites ou des courbes ? Savoir reformuler les inégalités et choisir le bon ordre d’intégration (dx puis dy ou l’inverse), ainsi qu’identifier si un changement de variables peut simplifier le calcul, sont des réflexes primordiaux. Mémorise les méthodes sur des domaines symétriques ou triangles, ce sont de grands classiques des sujets CCINP.
Les équations différentielles linéaires du premier ordre (E.D.L.) apparaissent partout au concours, que ce soit en analyse, en physique ou en probabilités. Savoir reconnaître leur forme, les résoudre avec le bon changement de variables, et surtout interpréter l’espace vectoriel des solutions (dimension, base) est indispensable pour gagner du temps et éviter les erreurs. N’hésite pas à t’entraîner sur des exercices classiques et à consulter les corrigés détaillés pour t’assurer de maîtriser chaque cas possible.
Le produit de Cauchy intervient dès qu’on veut calculer le développement en série entière d’un produit de deux fonctions analytiques. C’est aussi un exemple parfait pour travailler les notions de convergence simple, absolue, et de passage à la limite. Attention, la somme du produit de Cauchy n’est égale au produit des sommes que sous certaines hypothèses de convergence : un classique à maîtriser pour ne pas tomber dans les pièges du concours !
Les séries à termes périodiques, comme celles impliquant des $\varepsilon_n$ de période donnée, servent à explorer la frontière entre convergence et divergence, et permettent d’illustrer l’interaction entre structure de la suite et comportement de la série. Elles offrent des cas élégants pour appliquer la théorie des fractions rationnelles, la recherche de rayons de convergence, et même des critères nécessaires et suffisants de sommabilité. Travailler ces exemples apporte une vraie valeur ajoutée pour le jour J.
Entraîne-toi à retrouver les développements usuels par cœur (exponentielle, logarithme, arctan, sinus, etc.), mais aussi à justifier leur validité (rayon de convergence, unicité, applications du théorème d’Abel). Les questions de concours testent aussi ta capacité à manipuler la série dans des situations inattendues, à la transformer, voire à évaluer sa convergence ou sa somme en un point précis. Utilise le dashboard personnalisé de Prépa Booster pour te challenger sur ces points précis, et cible tes révisions efficacement.
Oui, c’est même un classique qui combine le développement en série entière de la fonction arctangente, l’application du théorème d’Abel, et un passage à la limite subtil. Cela entraîne à faire des liens entre analyse, calcul effectif de sommes, et comportement asymptotique. Tes entraînements sur ce genre de questions, via les corrigés complets de Prépa Booster, renforceront ta capacité à repérer ce type de piège ou de clin d’œil dans d’autres sujets.